精品解析：福建省福州市闽清县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期中适应性练习 九年级数学 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂．） 1. 如图所示图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、B、D三个选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A、B、D不符合题意; C、图形旋转180°后的能够与原来的图形重合，是中心对称图形，故C符合题意. 故选: C. 2. 如图，，，是上的三点，连接，，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键． 根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵， ， 故选：D． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据抛物线的顶点式进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的顶点坐标为：， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知抛物线的三种表示形式是解题的关键． 4. 一组数据：0，1，2，3，3，5，5，10的中位数是（ ）． A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，再求出最中间两个数的平均数即可． 【详解】试题分析将这组数据从小到大排列为：0，1，2，3，3，5，5，10，最中间两个数的平均数是：（3+3）÷2=3，则中位数是3； 故选B． 【点睛】本题考查中位数的定义，熟记定义是解题的关键. 5. 已知圆的直径为，若点与圆心的距离是，则（ ） A. 当时，点在外 B. 当时，点在内 C. 当时，点在内 D. 当时，点在外 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，先得到圆的半径为，根据点与圆的位置关系的判定方法即可求解，正确理解点与圆心的距离是和圆的半径为的关系，当时，点在外；当时，点在上；当时，点在内． 【详解】解：∵圆的直径为， ∴的半径， 、当时，点在外，原选项符合题意； 、当时，点在上，原选项不符合题意； 、当时，点在外，原选项不符合题意； 、当时，点在上，原选项不符合题意； 故选：． 6. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项分别计算得出答案． 【详解】解：A、与2不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； B、原计算错误，该选项不符合题意； C、原计算错误，该选项不符合题意； D、正确，该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键． 7. 据统计，某市年月底机动车保有量为万辆，年月底机动车保有量为万辆，如果该市机动车保有量年平均增长率为，那么符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用年月底机动车保有量年月底机动车保有量(该市机动车保有量年平均增长率)，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】依题意得：， 故选：． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理得，掌握知识点的应用及能根据题意添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为， 故选：． 9. 如图，在平面直角坐标系中，线段与轴正方向夹角为，且，若将线段绕点沿逆时针方向旋转到线段，则此时点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平角的定义，解直角三角形等知识，正确做出辅助线是解题的关键．过点作轴于点B，求出，解直角三角形得到的长度即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点B． 将线段绕点O沿逆时针方向旋转到线段， ， ． 在中， ， ． 根据勾股定理，得， 点的坐标为． 故选：C． 10. 矩形中，，点在边上，，．分别以点，为圆心，大于长为半径在直线的两侧作弧，使两弧分别交于点，，作直线交的延长线于点，交于点，连接，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】由线段的垂直平分线的性质证明即可判断①；利用等腰三角形的性质以及平行线的性质证明即可判断②；利用相似三角形的性质求出、即可判断③④． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ，故①正确； ， 四边形是矩形， ，， ， ， 平分，故②正确； ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，故③正确； ， ，故④正确． 综上所述，其中正确的有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡相应位置作答．） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，根据关于原点对称的两个点的横坐标及纵坐标均互为相反数的特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 计算= _________________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据平方差公式计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，灵活利用平方差公式计算是解题的关键． 13. 如图，四边形内接于，点在的延长线上，若的度数为，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，邻补角的性质，同角的补角相等，先通过圆周角定理得，又四边形是圆内接四边形， 则，再由邻补角得，最后根据同角的补角相等即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为______．（结果用“>”号连接） 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据函数解析式的可得抛物线开口向下，对称轴为直线，根据三点与对称轴的距离求解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，函数开口向下， ∴点关于对称轴的对称点为． ∵， ∴当时，随的增大而减小． ， ， 故答案为：． 15. 已知，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于是解题的关键．根据根与系数的关系和一元二次方程的解可得出，再将化成，最后整体代入即可解答． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ，， ， 故答案为：2026． 16. 如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米．身高为米的小吉站在距点О水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立直角坐标系，提取出点的坐标求出抛物线解析式，根据能跳绳及高度大于米列不等式即可得到m的值． 【详解】解：以O为坐标原点，所在直线为y轴所在直线为x轴，由题意可得， ，，， 设抛物线解析式为 ，将点代入可得， ， 解得：， ∴， ∵身高为米的小吉站在距点О水平距离为m米处能够正常跳大绳， 即跳绳高度要高于米， ∴， 当时， 整理得， 解得，， 即身高为米的小吉站在距点О水平距离1米处和5米处时，绳子恰好在头顶上， ∵绳子甩到最高时要超过他的头顶， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查二次函数的应用及坐标求法，解题的关键是建立适当的直角坐标系，会根据题意得出点的坐标． 三、解答题（本题共9小题，满分86分，请在答题卡相应位置作答．） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】利用配方法解方程即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查利用配方法解一元二次方程，熟悉相关性质是解题的关键． 18. 已知，关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程无实数根．根据一元二次方程有实数根得到，解不等式即可得到实数的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， ． 19. 如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵由旋转得，，而， ∴， ∴. 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质． 由题意易得，，则有，然后问题可求证； 【详解】略 20. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，正方形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，二次函数的图象经过点． （1）求这个二次函数的解析式，并画出符合题意的函数图象； （2）将正方形向左平移，当点落在这个二次函数的图象上时，平移的距离为______． 【答案】（1）二次函数的解析式为；函数图象如图所示 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质以及平移的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）将点坐标代入即可求解； （2）根据（1）中解析式，令，解方程求出的值，即可求平移距离． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 画出二次函数的图象如图所示： 【小问2详解】 解：当时，， 解得：或（舍去）， ∴当点落在这个二次函数的图象上时，正方形向左平移了个单位， 故答案为：． 21. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，靠墙围成一块矩形实验田，墙长为，栅栏安装过程不重叠、无损耗．矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求出矩形实验田的长和宽；如果不能，请说明理由． 【答案】试验田的面积能达到，此时矩形实验田的长为，宽为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出方程． 先表示出，再根据面积相等列出方程，求出解即可； 【详解】解：设矩形实验田的宽为，与墙平行的一边长， 根据题意，， 整理得， 解得：． ， ， ， 所以试验田的面积能达到，此时矩形实验田的长为，宽为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，线段是绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分． （1）补全，并写出点的坐标； （2）为在轴上的一个动点，连接，，若的和最小，求点的坐标． 【答案】（1）补全见解答；的坐标 （2） 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，坐标与图形变化-旋转，待定系数法求一次函数解析式，掌握旋转的特点，待定系数法求一次函数解析式的方法，以及将军饮马模型是解题的关键． （1）根据旋转的特点确定点的位置即可解决问题； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则为所求的使的和最小的点，再利用待定系数法求出的解析式，令，求出的值，即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示，； 【小问2详解】 解：作点关于轴的对称点， 连接交轴于点，此时，则为所求的使的和最小的点， 设的解析式为， 则， 解得：， ∴的解析式为：， 令，得， 解得：， ∴． 23. 如图，在中，，的平分线交于点，以点为圆心，长为半径的圆与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：过点作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的半径，， ∴是的切线； （2）的长为． 【解析】 【分析】（）过点作于点，根据角平分线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （）根据切线的性质得到，在中，设，根据和勾股定理列方程即可得到结论； 本题考查了切线的判定，切线长定理，角平分线的性质定理，勾股定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴与相切， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴，， 在中，设， 则，即， 解得：， ∴， ∴， ∴的长为． 24. 已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． （1）求的长； （2）点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标； （3）过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）4或2 （3） 【解析】 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）根据对称轴为直线，求出的值，即可得出抛物线的表达式，令，即可得到，两点的横坐标，即可求解． （2）由，，三点的坐标可求的面积，设点，将的面积表示出来，即可求解； （3）设直线与轴交于点，证明，则，得到，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ， ． ． 令，则， ，． ，． ． 【小问2详解】 解：当时，， ． ． ． 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入得：，则． 则直线的表达式为：． 如图，过点作轴交于， 设，则， ． ， ，． ∴点的横坐标为4或2． 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴交于点， 则， ． ∴． ． ． 由点的坐标得，， 解得． ∴直线的解析式为：． 令， 解得：，． ． 25. “综合与实践”课上，老师将一张长为4，宽为3的矩形卡纸沿一条对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和（如图①），然后把这两张全等的三角形纸片完全重合叠放，其中点与点重合（标记为点），在点处订个钉子，将逆时针旋转．在旋转的过程中，发现了以下问题，请你帮忙解答： （1）如图②，若旋转的角度为时，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图③，若旋转的角度为锐角，的延长线交于，交于，若为等腰三角形，求的长； （3）将旋转一周，点为的中点，点为的中点，请直接写出的最大值是多少． 【答案】（1） 四边形为正方形，理由如下∶ ∵旋转角度为， ∴， ， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形． （2）或1． （3） 【解析】 【分析】(1)由旋转的性质可得，，由正方形的判定可求解； (2)分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解， (3)由勾股定理可求的长，则点M在以B为圆心，为半径的圆上运动，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意得，， ∴， ①若，则， 由旋转的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②若，则 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， ∵，， ∴ ∴， ③若，则， 同理①可得旋转角 ，不为锐角不合题意． 综上所述，若为等腰三角形，的长为或1． 【小问3详解】 解：如图，连接，， ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴，， ∴， ∴点M在以B为圆心，为半径的圆上运动，当点M在的延长线上时，有最大值为， ∴的最大值是． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的定义等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中适应性练习 九年级数学 （完卷时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂．） 1. 如图所示图形中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，是上的三点，连接，，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 一组数据：0，1，2，3，3，5，5，10的中位数是（ ）． A. 2.5 B. 3 C. 3.5 D. 5 5. 已知圆的直径为，若点与圆心的距离是，则（ ） A. 当时，点在外 B. 当时，点在内 C. 当时，点在内 D. 当时，点在外 6. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 据统计，某市年月底机动车保有量为万辆，年月底机动车保有量为万辆，如果该市机动车保有量年平均增长率为，那么符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，线段与轴正方向夹角为，且，若将线段绕点沿逆时针方向旋转到线段，则此时点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 矩形中，，点在边上，，．分别以点，为圆心，大于长为半径在直线的两侧作弧，使两弧分别交于点，，作直线交的延长线于点，交于点，连接，下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，请在答题卡相应位置作答．） 11. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 12. 计算= _________________． 13. 如图，四边形内接于，点在的延长线上，若的度数为，则的度数为______． 14. 若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为______．（结果用“>”号连接） 15. 已知，是方程的两个实数根，则的值为______． 16. 如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为米．身高为米的小吉站在距点О水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是___________． 三、解答题（本题共9小题，满分86分，请在答题卡相应位置作答．） 17. 解方程：． 18. 已知，关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 19. 如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，求证：． 20. 如图，在单位长度为1的正方形网格中，正方形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，二次函数的图象经过点． （1）求这个二次函数的解析式，并画出符合题意的函数图象； （2）将正方形向左平移，当点落在这个二次函数的图象上时，平移的距离为______． 21. 如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，靠墙围成一块矩形实验田，墙长为，栅栏安装过程不重叠、无损耗．矩形实验田的面积能达到吗？如果能，求出矩形实验田的长和宽；如果不能，请说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，线段是绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分． （1）补全，并写出点的坐标； （2）为在轴上的一个动点，连接，，若的和最小，求点的坐标． 23. 如图，在中，，的平分线交于点，以点为圆心，长为半径的圆与相交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. 已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． （1）求的长； （2）点为上方抛物线上的一动点，若的面积是面积的一半，求点的横坐标； （3）过点的直线与抛物线的另一个交点为，若，求点的坐标． 25. “综合与实践”课上，老师将一张长为4，宽为3的矩形卡纸沿一条对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和（如图①），然后把这两张全等的三角形纸片完全重合叠放，其中点与点重合（标记为点），在点处订个钉子，将逆时针旋转．在旋转的过程中，发现了以下问题，请你帮忙解答： （1）如图②，若旋转的角度为时，延长交于点，试判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图③，若旋转的角度为锐角，的延长线交于，交于，若为等腰三角形，求的长； （3）将旋转一周，点为的中点，点为的中点，请直接写出的最大值是多少． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $