精品解析： 天津市泰达实验学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

2024-2025学年天津市泰达实验学校八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中华书法源远流长，下列四个选项分别是我国古代书法角篆所写“吉”“祥”“如”“意”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键． 根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：由题意可知，只有选项的文字能找到一条直线，使图形沿直线对折后两边能完全重合，故选项是轴对称图形，选项不是轴对称图形． 故选：． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4；5，6 C. 7，8，16 D. 9，10，20 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查构成三角形的三边的数量关系，掌握其判定方法是解题的关键．根据构成三角形三边长的数量关系即可求解，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解． 【详解】解：、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵， ∴能构成三角形，符合题意； 、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 3. 某流感病毒曾经在我国引起了广泛关注，这种病毒的形状一般为球形，直径大约是，这个数用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：． 故选：C． 4. 化简的结果是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： 故选D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，分别根据负整数指数幂的相关运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故原选项计算错误，不合题意； B. ，故原选项计算错误，不合题意； C. ，故原选项计算错误，不合题意； D. ，故原选项计算正确，符合题意． 故选：D． 6. 下列计算错误的是（） A. B. C. D. ( 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，整式的除法，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键．根据平方差公式、完全平方公式、多项式除以单项式的法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D 7. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是(　　) A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 【答案】C 【解析】 【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解． 【详解】解：设所求多边形边数为n，由题意得 （n﹣2）•180°＝360°×2 解得n＝6． 则这个多边形是六边形． 故选C． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n﹣2）•180°． 8. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 9. 如图，在中，，是角平分线，若，，则点D到的距离是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，正确作出辅助线是解决本题的关键．过点D作于点E，再根据角平分线的性质得出，然后由比例求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ，是的角平分线，， ， ， ， ， 到的距离为， 故选：A 10. 如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（ ） A. 以点C为圆心，为半径的弧 B. 以点C为圆心，为半径的弧 C. 以点E为圆心，为半径的弧 D. 以点E为圆心，为半径的弧 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图－作一个角等于已知角．根据尺规作图：作一个角等于已知角的方法步骤逐一判断即可得到答案． 【详解】解：根据作一个角等于已知角的方法步骤可知，是以点E为圆心，为半径的弧， 故选：D． 11. 如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设与交于点，连接，根据点B与D关于对称得，可得，即P在与的交点上时最小，即的长度，根据正方形的面积为得，根据等边三角形的性质即可得． 【详解】解：如图所示，设与交于点，连接， ∵点B与D关于对称， ∴， ∴， 即P在与的交点上时最小，即的长度， ∵正方形的面积为， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，正方形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 12. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确； 根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确； 由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴平分，④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM ∵△AOC≌△BOD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB ∴OA＝OC 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 当x______时,分式有意义. 【答案】x≠1 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得x-1≠0，再解即可． 【详解】由题意得：x-1≠0，解得：x≠1，故答案为x≠1． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是通过条件列出不等式求解. 14. 已知等腰三角形的一个顶角为，则它的底角为______（度）． 【答案】55 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 根据等腰三角形的两底角相等以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：等腰三角形的一个顶角为， 这个等腰三角形的底角． 故答案为：55． 15. 如图，在中，，，是的中垂线，垂足为D，交于E，，则______，______，______． 【答案】 ①. 5 ②. 30 ③. 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．先根据线段垂直平分线的性质得出的长，再由等腰三角形的性质得出的度数，由三角形外角的性质可求出的度数；根据直角三角形的性质可得出的长． 【详解】解：是的中垂线，， ； 是等腰三角形， ， ； ， 故答案为：5；30； 16. 分解因式： （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法、十字相乘法分解因式是解题的关键． （1）根据平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可； （3）根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 17. 若a3m+n＝54，am＝3，则an＝_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则，即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查幂的乘方和同底数幂的乘法法则，熟练掌握上述运算法则的逆运用，是解题的关键． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，O，P均在格点上．点M在射线上，点N在射线上，当的周长最小时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】作点P关于直线的对称点，点P关于直线的对称点，连接交于点M，N，连接，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了复杂作图-无刻度直尺作图、轴对称最短问题等知识点，学会利用轴对称解决最短问题是解题的关键．根据轴对称的性质解决最短问题即可． 【详解】解：如图，即为所求． 方法：作点P关于直线的对称点，点P关于直线的对称点，连接交于点M，N，连接，即为所求． 故答案为：作点P关于直线的对称点，点P关于直线的对称点，连接交于点M，N，连接，即为所求． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）先化简，再求值：，其中，； （2）解分式方程： 【答案】（1），1 （2）方程无解． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，平方差公式，分式的化简求值，解分式方程，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先利用多项式除以单项式的法则，平方差公式进行计算，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ， 当，时，原式； 【小问2详解】 解：， ， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的增根， 原方程无解． 20. 如图，在平面直角坐标系中，，， （1）请画出关于y轴对称的； （2）直接写出三点的坐标：___，__， __，__； （3）直接写出的面积______． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2），4，，2 （3）2 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）根据点的位置写出坐标即可； （3）利用三角形面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 故答案为：，4，，2； 【小问3详解】 解：的面积 21. 如图，中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点 （1）求证：为中点； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：是边的中点， ， ， ，， ， ， 为DF中点． （2）4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用线段中点的定义可得：，再利用平行线的性质可得，，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，即可解答； （2）先利用线段中点的定义可得：，再利用等角对等边可得：，然后利用全等三角形的性质可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是边的中点，， ， ， ， ， ， ． 22. 小刚到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有20分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了2分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟． （1）小刚步行的速度是每分钟多少米？ （2）小刚能否在电影放映前赶到电影院？ 【答案】（1）小刚步行的速度是每分钟80米； （2）小刚不能在电影放映前赶到电影院． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设小刚步行的速度是每分钟米，则小刚骑自行车的速度是每分钟米，利用时间路程速度，结合小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用时间路程速度，结合在家拿钱包用了2分钟，可求出小刚回到电影院所需时间，再将其与20分钟比较后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设小刚步行的速度是每分钟米，则小刚骑自行车的速度是每分钟米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴小刚步行的速度是每分钟80米． 【小问2详解】 解：小刚不能在电影放映前赶到电影院，理由如下： 根据题意小刚回到电影院所需时间为（分钟）， ， 小刚不能在电影放映前赶到电影院． 23. 如图，为等边三角形，，、相交于点，于． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：为等边三角形， ，， 在与中， ， ； （2）； （3）12． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理证得结论； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得； （3）利用（2）的结果求得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，则易求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，由（2）知． ， ， ， ， ， ， ． 24. 在等边△ABC中，点D是边BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E．连接CE并延长，交射线AD于点F． （1）如图①，连接AE， ①AE与AC的数量关系是　　； ②设∠BAF=a，用a表示∠BCF的大小； （2）如图②，用等式表示线段AF，CF，EF之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①AE=AC；②∠BCF=α； （2）结论：AF=EF+CF． 证明：如图，作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF． ∵∠BAF=∠BCF=α，∠ADB=∠CDF， ∴∠ABC=∠AFC=60°， ∴△FCG是等边三角形， ∴GF=FC． ∵△ABC是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACB=60°， ∴∠ACG=∠BCF=α， 在△ACG和△BCF中， ， ∴△ACG≌△BCF（SAS）， ∴AG=BF． ∵点B关于射线AD的对称点为E， ∴BF=EF， ∴AF﹣AG=GF， ∴AF=EF+CF． 【解析】 【分析】（1）①可得AE=AB，AB=AC，则AE=AC； ②根据∠BCF=∠ACE-∠ACB，求出∠ACE，∠ACB即可． （2）结论：AF=EF+CF．如图，作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF．证明△ACG≌△BCF即可解决问题． 【详解】（1）①∵点B关于射线AD的对称点为E， ∴AE=AB． ∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC， ∴AE=AC． 故答案为：AE=AC． ②解：∵∠BAF=∠EAF=α，△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°， ∴∠EAC=60°﹣2α，AE=AC， ∴∠ACE= [180°﹣（60°﹣2α）]=60°+α，∴∠BCF=∠ACE﹣∠ACB=60°+α﹣60°=α． （2）略 【点睛】此题考查几何变换综合题，作图-轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年天津市泰达实验学校八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中华书法源远流长，下列四个选项分别是我国古代书法角篆所写“吉”“祥”“如”“意”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 4；5，6 C. 7，8，16 D. 9，10，20 3. 某流感病毒曾经在我国引起了广泛关注，这种病毒的形状一般为球形，直径大约是，这个数用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 4. 化简的结果是 A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算错误的是（） A. B. C. D. ( 7. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是(　　) A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 8. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，是角平分线，若，，则点D到的距离是（） A. B. C. D. 10. 如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（ ） A. 以点C为圆心，为半径的弧 B. 以点C为圆心，为半径的弧 C. 以点E为圆心，为半径的弧 D. 以点E为圆心，为半径的弧 11. 如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 12. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 当x______时,分式有意义. 14. 已知等腰三角形的一个顶角为，则它的底角为______（度）． 15. 如图，在中，，，是的中垂线，垂足为D，交于E，，则______，______，______． 16. 分解因式： （1）______； （2）______； （3）______． 17. 若a3m+n＝54，am＝3，则an＝_________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，O，P均在格点上．点M在射线上，点N在射线上，当的周长最小时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）______． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算： （1）先化简，再求值：，其中，； （2）解分式方程： 20. 如图，在平面直角坐标系中，，， （1）请画出关于y轴对称的； （2）直接写出三点的坐标：___，__， __，__； （3）直接写出的面积______． 21. 如图，中，是边上一点，是边的中点，作交的延长线于点 （1）求证：为中点； （2）若，，，求的长． 22. 小刚到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有20分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了2分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟． （1）小刚步行的速度是每分钟多少米？ （2）小刚能否在电影放映前赶到电影院？ 23. 如图，为等边三角形，，、相交于点，于． （1）求证：； （2）求的度数； （3）若，，求的长． 24. 在等边△ABC中，点D是边BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E．连接CE并延长，交射线AD于点F． （1）如图①，连接AE， ①AE与AC的数量关系是　　； ②设∠BAF=a，用a表示∠BCF的大小； （2）如图②，用等式表示线段AF，CF，EF之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $