精品解析：上海市青浦区第一中学2024-2025学年上学期八年级数学期中试卷

青浦一中2024学年第一学期期中学业质量调研 初二年级数学试卷 （考试时间：90分钟，满分100分）2024.11 一、选择题：（本大题共6题，每小题2分，满分12分） [每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂] 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 它的图象是双曲线 B. 它的图象在第一、三象限 C. 的值随的值增大而减小 D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 在中，、、为三角形三边的长，若，则是直角三角形． B. 关于某个点中心对称的两个三角形全等． C. 两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直． D. 全等三角形的对应角相等． 5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么大正方形的面积为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，等腰直角位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边平行于x轴、y轴，若双曲线与有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每小题2分，满分24分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7. 化简：________． 8. 函数的定义域是___________． 9. 如果，那么________． 10. 已知关于x的一元二次方程的一个根是0，那么__． 11. 在实数范围内分解因式：__． 12. 某种产品原来每件100元，经过两次降价，现在每件售价为81元，如果每次降价的百分率相同，设这个百分率为，则根据题意，可列出方程为__． 13. 经过定点P，且半径等于2cm的圆的圆心的轨迹__________． 14. 在直角坐标系内，已知点，，且，那么的值是_______ ． 15. 如图，点A在反比例函数图象上，轴，垂足为B，且，则___________． 16. 如图，在中，，平分，若，，则的面积是______． 17. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为___________． 18. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，如图所示. 如果将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，其中点A、B的对应点分别为点D、E，联结BD，那么BD的长等于_______________. 三、解答题（本大题共5题，每题6分，满分30分） [请将解题过程填入答题纸的相应位置] 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 已知方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 22. 如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．求此绿地的面积． 23. 小明爸妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．步行的路程是缆车所经线路长的倍，妈妈在爸爸出发后分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟米．图中反映了爸爸整个过程中步行的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系． （1）爸爸行走的总路程是________米，他途中休息了________分钟； （2）当时，与之间的函数关系式是________； （3）爸爸休息之后，行走的速度是每分钟________米；当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是________米． 四、解答题（本大题共4题，第24、25、26题每题8分，第27题10分，满分34分） 24. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC＝6．求AB的长． 25. 已知：如图，点是的边上的一点，过点作，，、为垂足，再过点作，交于点，且． （1）求证：； （2）当点是边的中点时，求证：． 26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2）在反比例函数的图象上，点B在OA延长线上，轴，垂足为点C，直线BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AC，AD． （1）求该反比例函数解析式； （2）若，求线段BD的长度； （3）在第（2）问的条件下，x轴上是否存在一点使，若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 27. 如图所示，已知：在中，，点D是边上的动点(点D与点A、B不重合)，过点D作垂直于交射线与E，连接，点F是的中点，连接． （1）当点E在边上（点E与点C不重合）时，设． ①直接写出y关于x的函数解析式及定义域； ②求证：是等边三角形； （2）如果BE=，求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青浦一中2024学年第一学期期中学业质量调研 初二年级数学试卷 （考试时间：90分钟，满分100分）2024.11 一、选择题：（本大题共6题，每小题2分，满分12分） [每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂] 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】A 【解析】 【分析】结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．进行解答即可． 【详解】A. ，是最简二次根式，符合题意； B. ，故该选项不是最简二次根式，不符合题意； C. ，故该选项不是最简二次根式，不符合题意； D. ，故该选项不是最简二次根式，不符合题意；． 故选A 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键. 2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A、未知数的最高次数是1，故不是一元二次方程，不符合题意； B、方程化为，是一元二次方程，符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 3. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 它的图象是双曲线 B. 它的图象在第一、三象限 C. 的值随的值增大而减小 D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象上点的坐标特征，以及该函数的图象的性质进行分析． 【详解】A．反比例函数的图象是双曲线，正确，不符合题意； B．，图象位于一、三象限，正确，不符合题意； C．在每一象限内，y的值随x的增大而减小，错误，符合题意； D．，若点在它的图象上，则点也在它的图象上，故正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质．注意：描述反比例函数的增减性时要指明在每一象限内． 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 在中，、、为三角形三边的长，若，则是直角三角形． B. 关于某个点中心对称的两个三角形全等． C. 两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直． D. 全等三角形的对应角相等． 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理，中心对称图形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质一一判断即可． 【详解】解：A、在中，、、为三角形三边的长，若，则是直角三角形．它的逆命题是假命题，不一定是直角，本选项不符合题意； B、关于某个点中心对称的两个三角形全等，它的逆命题是假命题，全等三角形不一定是中心对称图形，本选项不符合题意； C、两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直，它的逆命题是真命题，本选项符合题意； D、全等三角形的对应角相等，它的逆命题是假命题，对应角相等的三角形不一定是全等三角形，本选项发不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，中心对称图形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽创制了《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果小正方形的面积是，直角三角形的直角边长分别为、，且，那么大正方形的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、正方形的性质以及完全平方公式等知识，求出是解题的关键． 由正方形性质和勾股定理列方程即可得到结论． 【详解】解：设大正方形的边长为，则大正方形的面积是， ， ， ， ， 小正方形的面积为：， 即， ， ， ， 故选D． 6. 如图，等腰直角位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边平行于x轴、y轴，若双曲线与有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 先根据题意求出点的坐标，再根据分别平行于轴，轴求出两点的坐标，再根据双曲线分别经过两点时的取值范围即可． 【详解】解：点在直线上，其中点的横坐标为1， 则把代入，解得：， 则的坐标是， ∵， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴的中点坐标为， 当双曲线经过点时，， 当双曲线经过点时，， 因而． 故选：D． 二、填空题：（本大题共12题，每小题2分，满分24分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和乘法法则化简即可 【详解】有意义， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质和乘法法则，掌握以上知识是解题的关键． 8. 函数的定义域是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、自变量的取值范围等知识点，掌握二次根式被开方数大于等于零成为解题的关键． 根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵函数， ∴，解得：， ∴函数的定义域是． 故答案为：． 9. 如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入中进行计算即可得到的值． 【详解】解：将代入，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的计算，计算过程中进行分母有理化是解题的关键． 10. 已知关于x的一元二次方程的一个根是0，那么__． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到，由方程的解的定义，把代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为0， ∴，且， 解得，， 故答案是：3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意二次项系数不等于零． 11. 在实数范围内分解因式：__． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案． 【详解】解:原式 故答案为： 【点睛】本题考查了因式分解，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键． 12. 某种产品原来每件100元，经过两次降价，现在每件售价为81元，如果每次降价的百分率相同，设这个百分率为，则根据题意，可列出方程为__． 【答案】 【解析】 【分析】设每次降价百分率为x，根据原来每件售价为100元，经过两次降价后，现在每件售价为81元，可列出方程． 【详解】解：每次降价百分率为x， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查理一元二次方程的应用，是个增长率问题，根据两次降价前的结果，和现在的价格，列出方程是关键． 13. 经过定点P，且半径等于2cm的圆的圆心的轨迹__________． 【答案】以P点为圆心，2cm为半径的圆 【解析】 【分析】求圆心的轨迹实际上是求距P点2厘米能画一个什么图形． 【详解】解：所求圆心的轨迹，就是到P点的距离等于2厘米的点的集合， 因此应该是一个以点P为圆心，2cm为半径的圆； 故答案为：以点P为圆心，2cm为半径的圆． 【点睛】此题所求圆心的轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆． 14. 在直角坐标系内，已知点，，且，那么的值是_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】结合两点间的距离公式根据的长列等式，计算可求解的值． 【详解】∵、， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，掌握两点间的距离公式是解题的关键． 15. 如图，点A在反比例函数图象上，轴，垂足为B，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．设点的坐标为，则，先根据三角形的面积公式可得，再将点代入计算即可得． 【详解】解：设点的坐标为， ∵轴，且点在第二象限， ∴， ∵， ∴，即， 解得， 将点代入反比例函数得：， 故答案为：． 16. 如图，在中，，平分，若，，则的面积是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过作于点，由角平分线的性质得，再根据三角形面积公式即可求解，解题的关键是掌握角平分线的有关性质． 【详解】解：如图，过作于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴的面积为：， 故答案为：8． 17. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为___________． 【答案】5或10 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，由等题意得，，设，得，，然后根据“好点”定义及勾股定理得到是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∵， ∴， 设，如图，可得，， ∵点是边上的“好点”， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 则，即：， 解得：，， 即：或10； 故答案为：5或10． 18. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，如图所示. 如果将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，其中点A、B的对应点分别为点D、E，联结BD，那么BD的长等于_______________. 【答案】； 【解析】 【分析】过D作DH⊥BC交BC延长线于H，根据旋转的性质，可得CD=AC，并可求出∠DCH=30°，再在Rt△CDH中求出CH、DH，则可得BH，利用勾股定理即可求得BD． 【详解】解：如图，过D作DH⊥BC交BC延长线于H， 依题可知∠BCE=60°，∠ACB=90°=∠DCE， ∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=30°， ∵∠ACH=∠ACB=90°=∠DCE， ∴∠ACD＝∠DCE-∠ACE=60°， ∴∠DCH＝∠ACH-∠ACD=30°， ∵根据旋转的性质，CD=AC=， ∴在Rt△DCH中，DH=CD=， 则CH=DH=6， ∴BH=BC+CH=3+6=9， ∴BD=＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识，充分利用勾股定理是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共5题，每题6分，满分30分） [请将解题过程填入答题纸的相应位置] 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，先根据完全平方公式，分母有理化和二次根式的性质将原式化简，再进行合并即可．掌握相应的运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解： ． ． ． 20. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：由题意可得：或. ∴或 解得：或. ∴.原方程的解是：， 21. 已知方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式与一元二次方程的定义．根据一元二次方程有两个不相等的实数根时，，以及二次项系数不为0，建立式子，求出m的取值范围即可． 【详解】解： . 方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得， 综上所述，m的取值范围为且． 22. 如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．求此绿地的面积． 【答案】234 【解析】 【分析】连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则四边形的面积直角的面积直角的面积． 【详解】解：连接如图所示： ，，， ； 在中， ，，， ，即， 是直角三角形． ； 即绿地的面积为234． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理的逆定理由边与边的关系可证明直角三角形，正确分割四边形的面积是解题关键． 23. 小明爸妈上山游玩，爸爸步行，妈妈乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合．步行的路程是缆车所经线路长的倍，妈妈在爸爸出发后分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟米．图中反映了爸爸整个过程中步行的路程(米)与时间(分钟)之间的函数关系． （1）爸爸行走的总路程是________米，他途中休息了________分钟； （2）当时，与之间的函数关系式是________； （3）爸爸休息之后，行走的速度是每分钟________米；当妈妈到达缆车终点时，爸爸离缆车终点的路程是________米． 【答案】（1）； （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据图象获取信息：爸爸到达山顶用时分钟，中途休息了分钟，行程为米； （2）利用待定系数法解答正比例函数解析式即可； （3）休息前分钟行走米，休息后分钟行走米，利用路程、时间得出速度即可，先求妈妈到达缆车终点的时间，再计算爸爸行走路程，从而求出爸爸离缆车终点的路程． 【小问1详解】 根据图象知：爸爸行走的总路程是米，他途中休息了 分钟． 故答案为 ，； 【小问2详解】 设函数关系式为，图像过 可得：， 解得：， 所以解析式为：， 故答案为； 【小问3详解】 爸爸休息之后行走的速度是米分钟， 妈妈到达缆车终点的时间：分， 此时爸爸比妈妈迟到分， 妈妈到达终点时，爸爸离缆车终点的路程为：米， 故答案为；． 【点睛】此题考查一次函数及其图象的应用，从图象中获取相关信息是关键． 四、解答题（本大题共4题，第24、25、26题每题8分，第27题10分，满分34分） 24. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，边AC的垂直平分线分别交边BC、AC于点D、E，DC＝6．求AB的长． 【答案】AB＝． 【解析】 【分析】连接BE，证明∠DAC＝∠C＝30°，根据含30°角的直角三角形的边角关系求出AC，AF，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：过点A作AF⊥BC于F， ∵DE垂直平分AC， ∴EA＝EC，AD=CD=6， ∵∠C＝30°， ∴∠DAC＝∠C＝30°， ∴DE=， ∴CE＝AE＝=， ∴AC＝2EC＝， ∴AF=， ∵∠B＝45°，AF⊥BC， ∴∠BAF=180°-∠B-∠AFB=180°-45°-90°=45°， ∴∠BAF=∠B， ∴BF=AF= ∴AB＝×． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理的应用，含30°角的直角三角形的边的关系，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 25. 已知：如图，点是的边上的一点，过点作，，、为垂足，再过点作，交于点，且． （1）求证：； （2）当点是边的中点时，求证：． 【答案】（1） 证明：连接． ，且， ， 又， ， ， ； （2） 证明：由（1）可知，， 在与中， ，，， ， ，， 在与中， ，，， ， ， ， 又为的中点， 垂直平分． 【解析】 【分析】（1）连接，先根据，且可知，再根据，即可得出，进而可得出，由等角对等边可知； （2）先根据（1）中可知，由全等三角形的判定定理可得出，再根据全等三角形的性质可得出，，同理证明，得出，推出，由等腰三角形三线合一即可得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定及性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，2）在反比例函数的图象上，点B在OA延长线上，轴，垂足为点C，直线BC与反比例函数的图象相交于点D，连接AC，AD． （1）求该反比例函数解析式； （2）若，求线段BD的长度； （3）在第（2）问的条件下，x轴上是否存在一点使，若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 存在 延长交轴于点P， ∵轴， ∴， ∴， 过B作交轴于M，则， 由(1)知C， ∵A(3，2)， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】(1)把点A(3，2)代入反比例函数，即可求出函数解析数． (2)过点A作，垂足为E，设直线OA关系式为，将A(3，2)代入得到直线OA的关系式为，设点C(0，a)，根据三角形面积公式得到a=4，于是得到结论． (3)延长交轴于点P，过B作交轴于M，则，根据平行四边形即可得到结论． 【小问1详解】 ∵点A(3，2)在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【小问2详解】 如图1，过点A作，垂足为E， 设直线OA关系式为，将A(3，2)代入得， ∴OA的关系式为， 设点C(0，a)，把代入，得， 把代入，得， ∴B(，)，即， ∴D(，)，即， ∵， ∴，即， 解得， ∴， 故线段的长度为． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 27. 如图所示，已知：在中，，点D是边上的动点(点D与点A、B不重合)，过点D作垂直于交射线与E，连接，点F是的中点，连接． （1）当点E在边上（点E与点C不重合）时，设． ①直接写出y关于x的函数解析式及定义域； ②求证：是等边三角形； （2）如果BE=，求出的长． 【答案】（1）①； 证明：在和中，， 是的中点， ． ， ， ， 即． ， 是等边三角形； （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后根据进行解答即可；根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得到，然后即可证得是等边三角形； （2）先求出的长，在中，再利用勾股定理求出，再分点在上和点在延长线上两种情况求解． 【小问1详解】  ， 又 ， ；  略 【小问2详解】 ， 在中， ． 当点在上时，； 当点在延长线上时，． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质以及勾股定理及等边三角形的判定与性质的综合运用，综合性较强，注意认真分析题中条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $