精品解析：甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题

西北师大附中 2022—2023学年第一学期期末考试试题 高二数学 命题人：李培 审题人：高秀芳 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线斜率为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案. 【详解】设倾斜角为，依题意， 由于，所以. 故选：A 2. 等差数列{an}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（　　） A. B. C. 2 D. - 【答案】A 【解析】 【分析】由条件，可得，又可得答案. 【详解】等差数列中，，则 ，所以，则 故选：A 3. 标有数字1,2,3,4,5的卡片各1张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 基本事件总数n＝5×4＝20，再利用列举法求出抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件的个数，由此能求出抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率． 【详解】解：5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，基本事件的总数n＝5×4＝20，抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的情况有：①第1张抽到2，第2张抽到1；②第1张抽到3，第2张抽到1或2；③第1张抽到4，第2张抽到1或2或3；④第1张抽到5，第2张抽到1或2或3或4.共10种．故抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率， 故选：A． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率，关键是列举基本事件数时不重不漏，属于基础题． 4. 已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程的特征列出关于的不等式，解不等式可得结果. 【详解】∵方程表示双曲线， ∴，解得. 故选：C. 5. 过与的交点，且平行于向量的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出两直线的交点坐标，然后再根据所求直线平行于向量，从而可求出答案. 【详解】由，得，所以交点坐标为， 又因为直线平行于向量，所以所求直线方程为， 即. 故选：C. 6. 已知等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列通项公式及前n项和公式结合，可得. 又，据此可得答案. 【详解】设等比数列的公比为q，， 则.故 故选： 7. 若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数的取值范围． 【详解】曲线即， 即，表示为圆心，为半径的圆的上半部分， 直线即恒过定点， 作出直线与半圆的图象，如图， 考查临界情况： 当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有两个交点， 当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有1个交点， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为1，且， 即，解得：，舍去）． 据此可得，实数的取值范围是． 故选：D． 8. 如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由已知条件及椭圆、圆的性质得，，且，根据勾股定理列方程求x，进而求椭圆离心率. 【详解】连，若，则，，， 又，则，即，得， 又，即，代入得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据椭圆的定义、圆的性质，由垂直关系，利用勾股定理列齐次方程求离心率. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 已知，，，则（ ） A. 直线与线段有公共点 B. 直线的倾斜角大于 C. 的边上的高所在直线的方程为 D. 的边上的中垂线所在直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】判断在直线的同一侧，判断A的真假；求直线的斜率，根据直线的倾斜角和斜率的关系判断B的真假；根据两直线垂直，斜率之积等于，求出高的斜率，利用点斜式可求边上的高所在的直线方程，判断C的真假；同理可得线段的中垂线的方程，判断D的真假. 【详解】对A：因为，，所以点在直线的同一侧，所以直线与线段无公共点，故A错误； 对B：因为直线的斜率为：，所以直线的倾斜角大于，故B正确； 对C：因为，所以边的高所在直线的斜率为，又直线过点， 由直线的点斜式方程可得的边上的高所在直线的方程为，即，故C正确； 对D：因为线段的中点坐标为，所以线段的中垂线所在直线的方程为，即，故D错误； 故选：BC 10. 已知数列满足，（），则下列结论正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 【答案】AB 【解析】 【分析】将给定的递推公式两边取倒数，构造等比数列，求出通项并逐项判断作答. 【详解】∵，∴， ∴，又， ∴是以4为首项，2为公比的等比数列，故A正确； 所以，则， ∴，故B正确； 因为，所以为递减数列， 故C错误； 数列的前n项和 ，故D错误. 故选：AB. 11. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 线段长度的取值范围是 C. 面积的最小值是4 D. 的周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合圆的半径长可求得，结合椭圆焦点坐标可求得，由此可判断A；根据，结合的范围可判断B；设，利用结合面积公式可求得，取可判断C；结合椭圆定义可判断D. 【详解】对于A，∵半圆所在圆过点，∴半圆的半径， 又椭圆短轴为半圆的直径，∴，即， 又，∴，即， ∴椭圆长轴长为，故A正确； 对于B，∵，， ∴，故B正确； 对于C，设，则， 当时，，故C错误； 对于D，由题意知：，则为椭圆的下焦点， 由椭圆定义知：， 又，∴的周长为，故D正确. 故选：ABD. 12. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面平面，，为中点，为线段上一点（ ）． A. 若，则 B. 若为中点，则 C. 若，则四棱锥外接球表面积为 D. 直线与平面所成的角的余弦值的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】AD利用向量法进行判断，B利用等腰三角形的性质进行判断，C求四棱锥外接球表面积来进行判断. 【详解】B选项，，由于平面平面且交线为，， 所以平面，所以，所以， 当是中点时，，B选项正确. C选项，即，由于平面平面且交线为， 所以平面，所以，而，即两两相互垂直， 所以四棱锥外接球的直径， 所以外接球的表面积为，C选项错误. 以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则， ， A选项，当时，三角形是等边三角形， 所以， ，所以，所以A选项正确. D选项，设，其中，则， ，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线与平面所成的角为， 则 ， 由于线面角的范围是，所以， 将代入上式并化简得， 由于，， 所以，所以D选项正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 已知双曲线的渐近线方程为y=±，则此双曲线的离心率为________. 【答案】或． 【解析】 【详解】此题考查双曲线的离心率 解：因为双曲线的渐近线方程为，所以或，故. 所以离心率. 答案： 14. 若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件可以求得m的值，再根据两平行直线的距离公式即可计算得到直线与之间的距离 【详解】由直线：与直线：平行 可得，即， 故两直线可化为：：、： 故直线与之间的距离为 故答案为： 15. 已知线段的中点C的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的端点B的轨迹方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据中点坐标得到，代入圆中，求出轨迹方程. 【详解】设，因为线段的中点C的坐标是， 所以， 将代入中得， 化简得. 故答案为： 16. 设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设的边长为，根据，得.设的外接的半径为，由正弦定理得，根据勾股定理求球心到平面的距离为2，从而得点到平面的最大距离为，结合三棱锥体积的公式计算的结果. 【详解】设的边长为，则，所以. 设的外接的半径为，则，得， 则球心到平面的距离为， 所以点到平面的最大距离为， 所以三棱锥体积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，每小题14分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. 求x的值； 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ 已知y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率. 【答案】（1）；(2)12名;(3) 【解析】 【详解】试题分析：（1）先根据抽到初二年级女生的概率是0．19，做出初二女生的人数；（2）再用全校的人数减去初一和初二的人数，得到初三的人数，全校要抽取48人，做出每个个体被抽到的概率，做出初三被抽到的人数；（3）由题意，y+z=500，y≥245，z≥245，即可求出初三年级中女生比男生多的概率 试题解析：（1）因为，所以 （2）初三年级人数为 应在初三年级抽取人 （3）设初三年级女生比男生多事件为A，初三年级女生、男生数记为（y,z）, 由（2）知y+z=500,且y、z为正整数． 基本事件有（245，255），（246，254），（247，253），…，（255，245）共11个， 事件A包含的基本事件有（251，249）,（252，248）,（253，247）,（254，246）,（255，245）共5个， 所以P（A）=． 考点：1．等可能事件的概率；2．分层抽样方法 18. 已知点，动点P 满足：|PA|=2|PB|． (1)若点P的轨迹为曲线，求此曲线的方程； (2)若点Q在直线l1: x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线只有一个公共点M，求|QM|的最小值． 【答案】(1) ;(2) ． 【解析】 【详解】(1)设点P的坐标为(x，y)，则＝2 化简可得(x－5)2＋y2＝16，即为所求． (2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图． 由直线l2是此圆的切线，连接CQ， 则|QM|＝，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝＝4，此时|QM|的最小值为＝4. 19. 已知数列的前n项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）记数列满足，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）令n=1可得，当n≥2时，，作差整理可得所以数列是首项为4，公比为4的等比数列，即可得解； （2）由可得，，利用裂项相消法，即可得解. 【详解】（1）∵数列满足，， ∴令n=1，则，解得. 当n≥2时，， 则， ， . ∴数列是首项为4，公比为4的等比数列，则其通项公式为. （2）结合（1）得， ， ， . 20. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点M，N分别为的中点． （1）取的中点H，连接，若平面平面，求证：； （2）已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理得证. （2）连接，利用几何法求出面面角余弦值. 小问1详解】 平面平面，且交线为， 过点作的垂线，垂足记为，平面，则平面， 而平面，则， 由平面，平面，得， 又是平面内的相交直线，则平面， 而平面，所以. 【小问2详解】 连接，在中，，又， 则，即，由为的中点，得， 由平面，平面，得， 又平面，则平面， 而平面，则， 故是二面角的平面角， 又平面，则， 在中，，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 21. 如图，已知椭圆左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点. （1）求椭圆的标准方程; （2）记的面积为S，求S的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由直线过定点坐标求得，再由椭圆所过点的坐标求得得椭圆方程； （2）设，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得， 计算弦长，再求得到直线的距离，从而求得三角形面积，由函数的性质求得最大值． 【小问1详解】 由题意可得，直线恒过定点， 因为为的中点， 所以， 即. 因为椭圆经过点 ，所以 ， 解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设. 由得 恒成立， 则， 则 又因为点到直线的距离， 所以 令， 则， 因为，时，，在上单调递增， 所以当时，时，故. 即S的最大值为 . 【点睛】方法点睛：本题求椭圆标准方程，直线与椭圆相交中三角形面积问题，计算量较大，属于难题．解题方法一般是设出交点坐标，由（设出）直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，然后由弦长公式求得弦长，再求得三角形的另一顶点到此直线的距离，从而求得三角形的面积，最后利用函数的性质，基本不等式等求得最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北师大附中 2022—2023学年第一学期期末考试试题 高二数学 命题人：李培 审题人：高秀芳 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线斜率为，则直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 等差数列{an}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（　　） A. B. C. 2 D. - 3. 标有数字1,2,3,4,5的卡片各1张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知方程表示双曲线，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 5. 过与的交点，且平行于向量的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，设、分别是椭圆左、右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9. 已知，，，则（ ） A. 直线与线段有公共点 B. 直线的倾斜角大于 C. 的边上的高所在直线的方程为 D. 的边上的中垂线所在直线的方程为 10. 已知数列满足，（），则下列结论正确的有（ ） A. 为等比数列 B. 的通项公式为 C. 为递增数列 D. 的前项和 11. 2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有（ ） A. 椭圆的长轴长为 B. 线段长度的取值范围是 C. 面积的最小值是4 D. 的周长为 12. 如图，四棱锥底面是正方形，平面平面，，为中点，为线段上一点（ ）． A. 若，则 B. 若为中点，则 C. 若，则四棱锥外接球表面积为 D. 直线与平面所成的角的余弦值的取值范围是 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13. 已知双曲线的渐近线方程为y=±，则此双曲线的离心率为________. 14. 若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为______． 15. 已知线段的中点C的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的端点B的轨迹方程是__________． 16. 设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为_____． 四、解答题（本题共5小题，每小题14分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 初一年级 初二年级 初三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19. 求x的值； 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ 已知y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率. 18 已知点，动点P 满足：|PA|=2|PB|． (1)若点P的轨迹为曲线，求此曲线的方程； (2)若点Q在直线l1: x+y+3=0上，直线l2经过点Q且与曲线只有一个公共点M，求|QM|的最小值． 19. 已知数列的前n项和为，且满足. （1）求数列通项公式； （2）记数列满足，求数列的前n项和. 20. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点M，N分别为的中点． （1）取的中点H，连接，若平面平面，求证：； （2）已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 21. 如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点. （1）求椭圆的标准方程; （2）记的面积为S，求S的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $