【新教材】专题8.3实数及其简便运算十大题型（一课一讲）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（人教版2024）（原卷+解析版）

专题8.3实数及其简便运算十大题型（一课一讲） （内容:无理数、实数及其运算） 【人教版】 题型一：无理数的识别 【经典例题1】在下列四个数中：，，，中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】、是有理数，不符合题意； 、是有理数，不符合题意； 、是有理数，不符合题意； 、是无理数，符合题意； 故选：． 【变式训练1-1】下列各数：，，3.14．，2.1717717771…（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）．其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：3.14，是有理数．，，2.1717717771……（自左向右每两个“1”之间依次多一个“1”）是无理数． 故选：C． 【变式训练1-2】在，，0，，（每两个1之间依次多一个0）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：，（每两个1之间依次多一个0）是无理数，共2个， 故选：B． 【变式训练1-3】在实数：，，，，，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：在实数：，，，，，中，无理数有，，共2个． 故选：B 【变式训练1-4】在数，，，，，（每两个之间依次多个）中，有 个无理数． 【答案】2 【详解】解：在数，，，，，（每两个之间依次多个）中， 无理数有2个，分别是：、（每两个之间依次多个）， 故答案为：2． 【变式训练1-5】已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 【答案】，， 【详解】解：， 由题意可得， 整数有：， 分数有：， 无理数有：， 故答案为：，，． 题型二：无理数的估算 【经典例题2】如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（　　） A．A，O之间 B．B，C之间 C．C，D之间 D．O，B之间 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 则， 则表示数的点应在O，B之间， 故选：D． 【变式训练2-1】估算在哪两个数之间（   ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【答案】D 【详解】解：， ． 故选D． 【变式训练2-2】如图，数轴上点P表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由 ， 故该选项不符合题意； B、由 ， 故该选项不符合题意； C、由 ， 故该选项不符合题意； D、由 ， 故该选项符合题意． 故选D． 【变式训练2-3】已知．若n为整数，且，则n的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】C 【详解】解：∵ ． ∴， ∴， 即， ∴， 故选：C． 【变式训练2-4】已知，则整数的值为 ． 【答案】6 【详解】解：， ， m为正整数，且， ． 故答案为：6． 【变式训练2-5】若将三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 ． 【答案】 【详解】解：，，，且墨迹覆盖的范围是， 能被墨迹覆盖的数是． 故答案为：． 题型三：无理数整数部分的相关计算 【经典例题3】已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练3-1】已知的小数部分是b，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∵的整数部分为3， ∴， ∵两边平方得：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式训练3-2】若的小数部分是，的小数部分是b，则 的值为 ． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴的小数部分是． ∵的小数部分与的小数部分相同， ∴． ∵的小数部分与的小数部分相同， ∴， ∴ ． 故答案为：5． 【变式训练3-3】设的小数部分为的整数部分为，求的值． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 【变式训练3-4】已知的立方根是，的算术平方根是，的整数部分为． (1)分别求出，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，(2) 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ，， 解得：，， ∵的整数部分为，， ； （2），，， ， 的平方根为． 【变式训练3-5】阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：∵，即，∴． ∴的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 1 x x 1·x 1 1 1·x 解：由图中面积计算，， ∵， ∴． ∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略x2 ∴得方程：，解得，即， 解决问题： (1)利用材料一中的方法，求的小数部分； (2)利用材料二中的方法，借助面积为7的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1)的小数部分为(2) 【详解】（1）解：∵，即 ∴的整数部分为9． ∴的小数部分为； （2）解：∵面积是7的正方形的边长是，， ∴可设 画出示意图如图所示 2 x x 2 4 由图中面积计算， ∵， ∴ ∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程，解得，即． 题型四：实数的分类 【经典例题4】下列说法正确的是（） A．带根号的数一定都是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数 D．能在数轴上表示出来的数都是有理数 【答案】B 【详解】带根号的数不一定都是无理数，如，是有理数，A选项错误； 无限不循环小数是无理数，B选项正确； 实数可以分为正实数、负实数和0，C选项错误； 能在数轴上表示出来的数不一定都是有理数，如可以在数轴上表示出来， 但不是有理数，D选项错误． 故选：B 【变式训练4-1】下列说法中，正确的是（    ） A．无理数一定是实数 B．实数都是有理数 C．一个正数的平方根一定是正数 D．无理数包括了0 【答案】A 【详解】解：A、无理数一定是实数，说法正确，故该选项符合题意； B、实数包括有理数和无理数，故该选项不符合题意； C、一个正数的算术平方根一定是正数，故该选项不符合题意； D、无理数不包括，故该选项不符合题意； 故选： A． 【变式训练4-2】将下列各数填入相应的括号内： 0，，，，，，，，，9，，…（相邻两个3之间依次多一个0），． 有理数：{                                                   }； 无理数：{                                                   }； 正整数：{                                                   }； 负整数：{                                                   }． 【答案】0，，，，，，，9，；，，，…（相邻两个3之间依次多一个0）；，，9；， 【详解】解：有理数：{ 0，，，，，，，9，， }； 无理数：{，，，…（相邻两个3之间依次多一个0）， }； 正整数：{ ，，9，}； 负整数：{ ，， }． 【变式训练4-3】把下列各数的序号分别填写在相应的横线上． ①，②，③，④，⑤，⑥(两个之间依次多一个)． 属于整数的有：__________________________________________ 属于负数的有：________________________________________________ 属于无理数的有：_________________________________________________ 【答案】，， 【详解】解：属于整数的有：， 属于负数的有：， 属于无理数的有：， 故答案为：，，． 【变式训练4-4】将下列各数，，，，，填在相应的大括号内． 整数：{___________________…}： 负分数：{__________________…}； 无理数：{__________________…}． 【答案】，；，；， 分类即可求解；掌握分类的方法是解题的关键． 【详解】解：整数：，； 负分数：，； 无理数：，； 故答案：，；，；，． 【变式训练4-5】把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，3.14，0，（每相邻两个2之间依次多一个3），． 有理数：{                                …}； 无理数：{                                …}； 正实数：{                                …}； 负实数：{                                …}． 【答案】见解析 【详解】有理数：； 无理数：{，，（每相邻两个2之间依次多一个3），}； 正实数：； 负实数：{，（每相邻两个2之间依次多一个3），…}． 题型五：实数与数轴的关系 【经典例题5】如图，在数轴上，点表示实数，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ， ，即， 故A符合题意； ，， ，， 故B，C不符合题意； ， ，故D不符合题意； 故选：A． 【变式训练5-1】实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 【变式训练5-2】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是2，过点作千点，且（单位长度），以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的一个交点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴点D到原点的距离为， ∴点D表示的数是 故选：C 【变式训练5-3】如图，实数在数轴上的对应点可能是 点． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴实数在数轴上的对应点可能是D点， 故答案为：D． 【变式训练5-4】如图，网格由9个边长为1的小正方形组成，以点为圆心，长为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的实数为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，四边形是正方形，且其面积为， ∴， ∴点表示的实数为， 故答案为：． 【变式训练5-5】如图，在数轴上，点表示，点与点位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点表示的数是 ． 【答案】 【详解】解：∵点表示，点与点位于原点的两侧，且与原点的距离相等， ∴点表示的数是， 故答案为：． 【变式训练5-6】数轴上点A表示的数是2，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可知，点C表示的数是： ， 故选：． 题型六：实数的混合运算（计算题） 【经典例题6】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， 【变式训练6-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)-11；(2)25；(3)20；(4)． 【详解】（1）解： ； （2）解：； ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练6-2】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式训练6-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【变式训练6-4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练6-5】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式训练6-6】计算： (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型七：程序设计与实数的运算 【经典例题7】根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式训练7-1】如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据程序第一步计算， 再次计算得， 是无理数，直接输出， 故选：C． 【变式训练7-2】有一个数值转换器，原理如下： 当输入的x＝9时，输出的y等于（　　） A． B．± C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，为3的算术平方根，且是无理数， ∴输出的y等于， 故选：C． 【变式训练7-3】如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是 【答案】 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，，输出， 故答案为：． 【变式训练7-4】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是 ． 【答案】 【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的平方根，是无理数，输出为y， ∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是． 故答案为：． 【变式训练7-5】有一个数值转换器，流程如图所示．当输入x的值为125时，输出y的值是 ． 【答案】 【详解】解：由题意得 不是无理数， 的算术平方根是，是无理数， 输出． 故答案为：． 题型八：新定义下实数的运算 【经典例题8】我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数的一种新运算：．比如，则，当，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 【变式训练8-1】已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【详解】解：，，，，，，，，， ……， 以此类推可知，这一列数是从1开始的连续的自然数，每三个数为一组，依次是这个数的算术平方根的相反数，算术平方根，立方根， ∵， ∴第11个数应是， 故选：A． 【变式训练8-2】用表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有．例如，那么 ． 【答案】19 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：19． 【变式训练8-3】对于正有理数，运算“*”定义为，则= ． 【答案】 【详解】根据题意， , 由此 ． 故答案为： 【变式训练8-4】对于任意两个和为正数的实数m、n，定义运算※如下：例如．那么 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 【变式训练8-5】在实数范围内定义运算：“”：，例如：． (1)若，，计算的立方根； (2)若，求的值． 【答案】(1)5(2)或． 【详解】（1）∵，， ∴ ∴的立方根是5； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∴或． 【变式训练8-6】定义：对于一个有理数，我们把称作的对称数．若，则；若，则．例：． (1)则___________，___________； (2)已知有理数，且满足，试求代数式的值； (3)解方程：． 【答案】(1)，(2)(3)或 【详解】（1）解：由题意得：，； 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：当时，方程为：， 解得：； 当时，方程为：， 解得：， 故方程的解为或． 题型九：实数运算的实际应用 【经典例题9】某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 【变式训练9-1】团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)，(2)圆的周长较小 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 【变式训练9-2】某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了． 【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 【详解】解：把d=32，f=2代入v=16， v=16=128（km/h）， ∵128＞100， ∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 【变式训练9-3】某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 【答案】(1)长方形的长30米，宽20米 (2)不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析 【详解】（1）解：长方形长宽之比为， 设该长方形花坛长为米，宽为米， 依题意得：， ， ∴或（不合题意，舍去） ， 答：该长方形的长30米，宽20米； （2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下： 两个小正方形的边长比为， 设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，依题意得：， ， ， 或（不合题意，舍去） ， ， 所以不能改造出这样两块不相符的实验田． 【变式训练9-4】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1)(2)该座钟大约发出了420次滴答声 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【变式训练9-5】某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 【答案】(1)该长方形的长为35米，宽为20米 (2)能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用 【详解】（1）解：设该长方形的长为米，则宽为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则， 答：该长方形的长为35米，宽为20米． （2）解：设较大的小正方形的边长为米，则较小的小正方形的边长为米， 由题意得：， 解得或（不符题意，舍去）， 则较大的小正方形的边长为米，较小的小正方形的边长为米， ， ，， 能改造出这样的两块不相连的正方形试验田， 改造出这样的两块不相连的正方形试验田所需铁栅栏围墙长为（米）， 原来长方形空地的铁栅栏围墙长为米， ， ， 原来的铁栅栏围墙不够用， 答：能改造出这样的两块不相连的正方形试验田，原来的铁栅栏围墙不够用． 题型十：与实数运算相关的规律问题 【经典例题10】设，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 【变式训练10-1】小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 【答案】73 【详解】解：根据题中的规律得：的正整数）， ， ，， 则． 故答案为：73． 【变式训练10-2】如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：由题意知，每一个数都是连续正整数的算术平方根， 前行的数据个数为， ∴第（是整数，且）行从左向右数第个数为， 故答案为：． 【变式训练10-3】观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【答案】(1) (2)(3) 【详解】（1）解：由前几个等式的规律得到第5个等式是：， 故答案为：； （2）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， ∴第n个等式是：， 故答案为：； （3）解： ． 【变式训练10-4】先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)， (2)(3) 【详解】（1）解：由题意可知， ， 故答案为：，； （2）解：结合①②③，得： ； （3）解：． 【变式训练10-5】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：______；… 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式； (2)请写出符合上述规律的第个等式，并说明理由． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 故答案为：． （2），理由如下， ∵， ∴， 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.3实数及其简便运算十大题型（一课一讲） （内容:无理数、实数及其运算） 【人教版】 题型一：无理数的识别 【经典例题1】在下列四个数中：，，，中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】下列各数：，，3.14．，2.1717717771…（自左向右每两个“1”之间依次多一个“7”）．其中无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1-2】在，，0，，（每两个1之间依次多一个0）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1-3】在实数：，，，，，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练1-4】在数，，，，，（每两个之间依次多个）中，有 个无理数． 【变式训练1-5】已知下列实数：①0，②，③，④，⑤，⑥，其中整数有：_________，分数有：_________，无理数有：_________．（只需填写序号） 题型二：无理数的估算 【经典例题2】如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数，1，2，3，则表示数的点应在（　　） A．A，O之间 B．B，C之间 C．C，D之间 D．O，B之间 【变式训练2-1】估算在哪两个数之间（   ） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 【变式训练2-2】如图，数轴上点P表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】已知．若n为整数，且，则n的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【变式训练2-4】已知，则整数的值为 ． 【变式训练2-5】若将三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 ． 题型三：无理数整数部分的相关计算 【经典例题3】已知a，b分别是的整数部分和小数部分，那么的值为 ． 【变式训练3-1】已知的小数部分是b，那么的值为 ． 【变式训练3-2】若的小数部分是，的小数部分是b，则 的值为 ． 【变式训练3-3】设的小数部分为的整数部分为，求的值． 【变式训练3-4】已知的立方根是，的算术平方根是，的整数部分为． (1)分别求出，，的值； (2)求的平方根． 【变式训练3-5】阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：π、等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：∵，即，∴． ∴的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值．我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 1 x x 1·x 1 1 1·x 解：由图中面积计算，， ∵， ∴． ∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略x2 ∴得方程：，解得，即， 解决问题： (1)利用材料一中的方法，求的小数部分； (2)利用材料二中的方法，借助面积为7的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 题型四：实数的分类 【经典例题4】下列说法正确的是（） A．带根号的数一定都是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数 D．能在数轴上表示出来的数都是有理数 【变式训练4-1】下列说法中，正确的是（    ） A．无理数一定是实数 B．实数都是有理数 C．一个正数的平方根一定是正数 D．无理数包括了0 【变式训练4-2】将下列各数填入相应的括号内： 0，，，，，，，，，9，，…（相邻两个3之间依次多一个0），． 有理数：{                                                   }； 无理数：{                                                   }； 正整数：{                                                   }； 负整数：{                                                   }． 【变式训练4-3】把下列各数的序号分别填写在相应的横线上． ①，②，③，④，⑤，⑥(两个之间依次多一个)． 属于整数的有：__________________________________________ 属于负数的有：________________________________________________ 属于无理数的有：_________________________________________________ 【变式训练4-4】将下列各数，，，，，填在相应的大括号内． 整数：{___________________…}： 负分数：{__________________…}； 无理数：{__________________…}． 【变式训练4-5】把下列各数分别填入相应的集合中： ，，，3.14，0，（每相邻两个2之间依次多一个3），． 有理数：{                                …}； 无理数：{                                …}； 正实数：{                                …}； 负实数：{                                …}． 题型五：实数与数轴的关系 【经典例题5】如图，在数轴上，点表示实数，则可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-1】实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】如图，数轴上点表示的数为，点表示的数是2，过点作千点，且（单位长度），以点为圆心，的长为半径作弧，弧与数轴的一个交点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】如图，实数在数轴上的对应点可能是 点． 【变式训练5-4】如图，网格由9个边长为1的小正方形组成，以点为圆心，长为半径画圆弧交数轴于点，则点表示的实数为 ． 【变式训练5-5】如图，在数轴上，点表示，点与点位于原点的两侧，且与原点的距离相等，则点表示的数是 ． 【变式训练5-6】数轴上点A表示的数是2，点B，C分别位于点A的两侧，且到点A的距离相等．若点B表示的数是，则点C表示的数是（   ）． A． B． C． D． 题型六：实数的混合运算（计算题） 【经典例题6】计算： (1)； (2)． 【变式训练6-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练6-2】计算：． 【变式训练6-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式训练6-4】计算： (1)； (2)． 【变式训练6-5】计算： (1)； (2)． 【变式训练6-6】计算： (1) (2) 题型七：程序设计与实数的运算 【经典例题7】根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为，则输出y的值为（　　） A． B．1 C． D．3 【变式训练7-1】如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是（   ） A．3 B． C． D． 【变式训练7-2】有一个数值转换器，原理如下： 当输入的x＝9时，输出的y等于（　　） A． B．± C． D． 【变式训练7-3】如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是 【变式训练7-4】按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是 ． 【变式训练7-5】有一个数值转换器，流程如图所示．当输入x的值为125时，输出y的值是 ． 题型八：新定义下实数的运算 【经典例题8】我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数的一种新运算：．比如，则，当，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-1】已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第11个数应是（    ） A． B． C． D．11 【变式训练8-2】用表示一种新运算：对于任意正实数a、b，都有．例如，那么 ． 【变式训练8-3】对于正有理数，运算“*”定义为，则= ． 【变式训练8-4】对于任意两个和为正数的实数m、n，定义运算※如下：例如．那么 【变式训练8-5】在实数范围内定义运算：“”：，例如：． (1)若，，计算的立方根； (2)若，求的值． 【变式训练8-6】定义：对于一个有理数，我们把称作的对称数．若，则；若，则．例：． (1)则___________，___________； (2)已知有理数，且满足，试求代数式的值； (3)解方程：． 题型九：实数运算的实际应用 【经典例题9】某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【变式训练9-1】团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【变式训练9-2】某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了． 【变式训练9-3】某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为． (1)求该长方形的长宽各为多少? (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗?并说明理由． 【变式训练9-4】座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【变式训练9-5】某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4． (1)求该长方形的长宽各为多少？ (2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？ 题型十：与实数运算相关的规律问题 【经典例题10】设，则的值为 ． 【变式训练10-1】小明做数学题时，发现；；按此规律，若为正整数），则 ． 【变式训练10-2】如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是 ．（用含的代数式表示） 【变式训练10-3】观察下列各式： 第1个等式：    第2个等式： 第3个等式：    第4个等式： …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)直接写出第5个等式：______． (2)按照上面每个等式反映的规律，第个等式为______． (3)利用上述规律化简：． 【变式训练10-4】先观察等式，再解答问题： ①；②； ③；…… (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想= = ； (2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含n的式子表示的等式；（n为正整数） (3)应用上述结论，请计算的值． 【变式训练10-5】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：______；… 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式； (2)请写出符合上述规律的第个等式，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$