山西省2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

2024~2025学年高二1月期末质量检测卷 数学（A卷） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若3，，27成等差数列，则（ ） A. 9 B. 15 C. D. 2. 过点且与直线垂直的直线的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在三棱柱中，分别是棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆与圆的交点为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 7. 已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 为了促进科技探究学习与竞技的巧妙融合，在实践中激发创新意识和研究精神，某市举办青少年机器人设计大赛．在比赛中有一个追逐项目，如图，在平面直角坐标系中，直线为竞技区与安全区的分界线，机器人甲在点处，机器人乙在竞技区内的点处，点在第一象限，且直线的倾斜角为．已知机器人甲的速度是机器人乙的3倍，机器人甲、乙可以向任意方向直线前进，机器人甲、乙同时出发，若要保证机器人甲在竞技区（含直线）内一定能追上机器人乙，则线段长度的最大值是（ ） A. B. 2 C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线，则（ ） A. 双曲线的实轴长为8 B. 双曲线的虚轴长为3 C. 双曲线的离心率为 D. 双曲线的渐近线的斜率为 10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记．若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”．下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则____________． 13. 已知等差数列的前项和为，且，，则取得最小值时，____________． 14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，圆，过圆的圆心的直线与抛物线交于点，与圆交于点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行． （1）求的值； （2）求函数在区间上的极值与最值． 17. 如图，平面平面，四边形是正方形，． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点． ①求直线的斜率之积； ②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 19. 已知函数（为自然对数的底数，），函数的极值点为. （1）求的值； （2）证明：对； （3）已知数列的前项和，证明：. 2024~2025学年高二1月期末质量检测卷 数学（A卷） 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】##0.25 【13题答案】 【答案】9 【14题答案】 【答案】或 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2）极小值为，极大值为，最大值为12，最小值为． 【17题答案】 【答案】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以．因为四边形是正方形， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以； （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）①；②恒过点． 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明如下： 令， 则， 因为，在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，， 所以存在唯一，使得， 即，， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则 ， 当且仅当，即或时等号成立，但，所以等号不成立， 所以，即． （3）证明如下： 当时，， 当时，，满足上式， 所以． 由（2）知对，即， 取，则， 所以，即， 所以 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $