第06章 图形的相似 章节测试练习卷 -2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第06章 图形的相似 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题 1．一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需（   ）. A．6秒 B．5秒 C．4秒 D．3秒 【答案】C 【分析】根据放大后的三角形与原三角形的周长关系进行求解即可． 【详解】解：设原来直角三角形的三边长分别为a、b、c，则周长为， 将直角三角形的边长扩大1倍后，三角形的三边长分别为， 周长为， ∴直角三角形各边的长度扩大一倍，周长扩大1倍，故爬行时间扩大一倍． 故这只蚂蚁再沿边长爬行一周需4秒． 故选：C 【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据题意得到直角三角形各边的长度扩大一倍，周长扩大1倍，是解决此题的关键． 2．在同一时刻，身高米的小强在阳光下的影长为米，一棵大树的影长为米，则树的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】根据在同一时刻，物高和影长成正比，由已知列出比例式即可求得结果． 【详解】解：∵在同一时刻， ∴小强影长：小强身高=大树影长：大树高， 即0.8：1.6=4.8：大树高，解得大树高=9.6米， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度是的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键是． 3．下列各选项的两个图形（实线部分），不属于位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A,B,D,均可以找到位似中心，图象相似，选项C,图象全等.所以选C. 4．如图，把一张矩形纸片ABCD沿着AD和BC边的中点连线EF对折，对折后所得的矩形正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（    ） A．4：1 B． C． D．2：1 【答案】B 【分析】根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长，就可得到一个方程，解方程即可求得． 【详解】根据条件可知：矩形AEFB∽矩形ABCD， ∴， ∵E为AD中点 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴原矩形纸片长与宽的比为 故选B 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键． 5．如图，在△ABC中，EG∥BC，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过证明△AEG∽△ABC，△AEF∽△ABD，可得，即可求解． 【详解】∵EG∥BC， ∴△AEG∽△ABC，△AEF∽△ABD， ∴，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质解决问题是本题的关键． 6．如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，DF＝3FC，联结AE、AF、EF，那么下列结果错误的是（　　） A．△ABE与△EFC相似 B．△ABE与△AEF相似 C．△ABE与△AFD相似 D．△AEF与△EFC相似 【答案】C 【分析】根据正方形的性质和相似三角形的判定判断即可； 【详解】解：正方形ABCD，E为BC中点，DF＝3FC，设 则： ，， ∴（两边对应成比例且夹角相等）， ∴， ∴， 而 ∴（两边对应成比例且夹角相等）， 又， ∴， ， ∴与不相似（两边不对应成比例）， ∴C答案错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质，准确分析判断是解题的关键． 7．如图，一个斜边长为10cm的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（　　） A．60cm2 B．50cm2 C．40cm2 D．30cm2 【答案】D 【分析】标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠AED，然后求出△ADE和△EFB相似，根据相似三角形对应边成比例求出，即，设BF=3a，表示出EF=5a，再表示出BC、AC，利用勾股定理列出方程求出a的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解． 【详解】解:如图，∵正方形的边DE∥CF， ∴∠B=∠AED， ∵∠ADE=∠EFB=90°， ∴△ADE∽△EFB， ∴， ∴， 设BF=3a，则EF=5a， ∴BC=3a+5a=8a， AC=8a×=a， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即（a）2+（8a）2=（10+6）2， 解得a2=， 红、蓝两张纸片的面积之和=×a×8a-（5a）2， =a2-25a2， =a2， =×， =30cm2． 故选D． 【点睛】本题考查根据相似三角形的性质求出直角三角形的两直角边，利用红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积求解是关键. 8．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 9．如图，△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，△BCD是直角三角形，且∠D=30°，则两个三角形重叠部分（△OBC）的面积是（　　） A．3﹣ B．2﹣ C．1 D．1+ 【答案】A 【分析】过O作OE⊥BC于E，设BE=x，求出OE和DC，根据相似得出比例式求出x，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：∵在Rt△DCB中，∠DCB=90°，∠D=30°，BC=2， ∴DC=BC=2， 过O作OE⊥BC于E， ∵∠ABC=90°， ∴OE∥AB， ∴∠BOE=30°，△OEC∽△ABC， ∴设BE=x，则OE=BE=x，， ∴， 解得：x=﹣1， 即OE=x=3﹣， ∴阴影部分的面积S=（3﹣）=3﹣， 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形、相似三角形的性质和判定等知识点，能求出OE的长是解此题的关键． 10．如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 二、填空题 11．ABC与DEF相似，∠A＝72°，∠B＝48°，∠F＝60°，则∠E＝ ． 【答案】48°或72° 【分析】根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】∵ABC与DEF相似，且，∠B≠∠A≠∠F， ∴∠E＝∠B或∠E＝∠A， ∵∠B＝48°，∠A＝72° ∴∠E＝48°或72°， 故答案为：48°或72°． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，对应角相等是关键． 12．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA∶OD＝2∶5，则△ABC与△DEF的周长比为 ． 【答案】 【分析】由△ABC与△DEF位似，位似比为 OA∶OD＝2∶5，再利用位似图形的周长之比等于相似比，从而可得答案. 【详解】解： △ABC与△DEF位似，点O为位似中心，OA∶OD＝2∶5， 故答案为： 【点睛】本题考查的是位似图形的性质，掌握位似图形的周长之比等于相似比是解题的关键. 13．如图,若 时,△ ADE∽△ ABC,理由是 ． 【答案】 两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似 【详解】试题解析：在△ABC和△ADE中，∠A=∠A， 只有当时，△ ADE∽△ ABC，其理由是：两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似. 故答案为两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似 14．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若两个正方形在位似中心的异侧，则位似中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，． 故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 15．如图，在中，点、分别在和的延长线上，，则 ． 【答案】 【分析】先由，根据比例的性质可得，又∠APB＝∠MPN，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得△APB∽△MPN，由相似三角形对应边成比例可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴1＋ ∴， 又∵∠APB＝∠MPN， ∴△APB∽△MPN， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了比例的性质以及相似三角形的判定和性质，根据比例的性质求出是解题的关键． 16．如图，E是正方形ABCD的边CD上的一点，连接AE，点F为AE的中点，过点F作AE的垂线分别交AD，BC于点M，N，连接AN，若，则△AMN的面积为 ． 【答案】 【分析】过点N作NG⊥AD于G，易得NG=AB=9，再由勾股定理求AE长，然后证△AFM∽△ADE，得，即可求出AM长，最后由S△AMN=求解即可． 【详解】解：如图，过点N作NG⊥AD于G， ∵正方形ABCD， ∴∠BAD=∠B=∠D=90°，AD=AB=9， ∵AB=3DE， ∴DE=3， ∵NG⊥AD于G， ∴四边形ABNG是矩形， ∴NG=AB=9， 在Rt△ADE中，由勾股定理，得 AE=， ∵MN垂直平分AE， ∴∠AFM=90°，AF=AE=， ∵∠MAF=∠EAD，∠AFM=∠D=90°， ∴△AFM∽△ADE， ∴，即， ∴AM=5， ∴S△AMN=， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，求出AE、AM长是解题的关键． 17．如图，已知，AD＝6.4 cm，DB＝4.8 cm，EC＝4.2 cm，则AC＝ cm. 【答案】9.8 【详解】已知，AD＝6.4 cm，DB＝4.8 cm，EC＝4.2 cm，所以，解得AE=5.6cm，即可得AC=AE+EC=4.2+5.6=9.8cm. 18．如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，，分别交对角线于点，若，则的值为 ． 【答案】16 【分析】根据正方形及旋转的性质可以证明，利用相似的性质即可得出答案． 【详解】解：在正方形中，， ∵绕点逆时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，掌握正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 三、解答题 19．如图，乐器上的一根弦，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C、D之间的距离． 【答案】（80﹣160）cm． 【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴AC＝BD＝80×＝（40﹣40）cm， ∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝（80﹣160）cm． 【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 20．如图，以点Q为位似中心，画出与矩形的相似比为的一个图形． 【答案】见解析 【分析】根据位似图形的性质分别作出点Q左侧和右侧的两个位似图形． 【详解】解：如图所示，矩形QP′N′M′和矩形QP″N″M″即为所求． 【点睛】本题主要考查作图−位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质及矩形的性质． 21．在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，，以点O为位似中心，将缩小，使缩小后得到的与的相似比为.在如图所示的网格中画出图形并写出各顶点的坐标. 【答案】见解析 【分析】先根据各顶点的坐标画出，再根据位似的性质作出并写出各顶点的坐标即可. 【详解】如图所示，图中为所求，，，. 【点睛】本题考查了位似图形的画法，以及位似图形的性质.画位似图形的一般步骤：（1）确定位似中心；（2）确定原图形的关键点，通常是多边形的顶点；（3）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）；（4）根据已知的相似比，确定所画位似图形中关键点的位置；（5）顺次连接各点，得到放大或缩小后的图形. 22．如图，在中，D，E分别是和上的点，且． （1）如果，，，，那么的长是多少？ （2）如果，，，那么的长是多少？ 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质求； （2）根据平行线分线段成比例定理得，然后利用比例性质求． 【详解】 解（1）， ，即， ； （2）， ，即， ． 【点睛】 本题考查了比例的性质和平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，熟悉相关性质是解题的关键． 23．如图，E为□ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】由AB∥CD得△AOB∽△COE，有OE：OB=OC：OA；由AD∥BC得△AOF∽△COB，有OB：OF=OC：OA，进而解答． 【详解】∵AB∥CD， ∴△AOB∽△COE． ∴OE：OB=OC：OA； ∵AD∥BC， ∴△AOF∽△COB． ∴OB：OF=OC：OA． ∴OB：OF=OE：OB， 即： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握行四边形的性质与相似三角形的判定与性质. 24．如图所示，正方形DEFM内接于△ABC，若S△ADE＝1，S正方形DEFM＝4，求S△ABC． 【答案】S△ABC=9 【详解】解：过A作AQ⊥BC于点Q，交DE于点P． ∵四边形DEFM是正方形， ∴DE∥BC，∠DMF＝∠EFM＝90°，DE＝DM， ∴PQ＝DM＝DE． ∵S正方形DEFM＝4，∴DE＝2． ∵S△ADE＝1，∴，解得AP＝1， ∴AQ＝AP＋PQ＝3． ∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴AP︰AQ＝DE︰BC，即1︰3＝2︰BC，解得BC＝6， ∴． 25．如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2． （1）在图中画出四边形AB′C′D′； （2）填空：△AC′D′是 三角形． 【答案】（1）作图见试题解析；（2）等腰直角． 【分析】（1）延长AB到B′，使AB′=2AB，得到B的对应点B′，同样得到C、D的对应点C′，D′，再顺次连接即可； （2）利用勾股定理求出，，，可以得到AD′=C′D′，，即可判定△AC′D′是等腰直角三角形． 【详解】（1）如图所示： （2）∵=16+64=80，=36+4=40，=36+4=40，∴AD′=C′D′，， ∴△AC′D′是等腰直角三角形． 故答案为等腰直角． 考点：作图-位似变换． 26．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点在格点上，且，， 画出，并求出的面积. 以点O为位似中心，画出的位似图形，使之与的相似比为1：2．    【答案】(1)见解析；的面积为14；(2)见解析. 【分析】直接利用各点坐标得出各点位置进而得出答案； 利用位似比得出对应点位置进而得出答案． 【详解】解：如图所示：   ，即为所求， 的面积为：； 如图所示： 和 即为所求．    【点睛】本题主要考查了位似变换，解决本题的关键是要熟练掌握作位似图形的方法． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06章 图形的相似 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题 1．一只蚂蚁沿直角三角形的边长爬行一周需2秒，如果将直角三角形的边长扩大1倍，那么这只蚂蚁再沿边长爬行一周需（   ）. A．6秒 B．5秒 C．4秒 D．3秒 2．在同一时刻，身高米的小强在阳光下的影长为米，一棵大树的影长为米，则树的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．下列各选项的两个图形（实线部分），不属于位似图形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，把一张矩形纸片ABCD沿着AD和BC边的中点连线EF对折，对折后所得的矩形正好与原来的矩形相似，则原矩形纸片长与宽的比为（    ） A．4：1 B． C． D．2：1 5．如图，在△ABC中，EG∥BC，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在正方形ABCD中，E为BC中点，DF＝3FC，联结AE、AF、EF，那么下列结果错误的是（　　） A．△ABE与△EFC相似 B．△ABE与△AEF相似 C．△ABE与△AFD相似 D．△AEF与△EFC相似 7．如图，一个斜边长为10cm的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（　　） A．60cm2 B．50cm2 C．40cm2 D．30cm2 8．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A． B． C． D． 9．如图，△ABC是腰长为2的等腰直角三角形，△BCD是直角三角形，且∠D=30°，则两个三角形重叠部分（△OBC）的面积是（　　） A．3﹣ B．2﹣ C．1 D．1+ 10．如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．ABC与DEF相似，∠A＝72°，∠B＝48°，∠F＝60°，则∠E＝ ． 12．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA∶OD＝2∶5，则△ABC与△DEF的周长比为 ． 13．如图,若 时,△ ADE∽△ ABC,理由是 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若两个正方形在位似中心的异侧，则位似中心的坐标为 ． 15．如图，在中，点、分别在和的延长线上，，则 ． 16．如图，E是正方形ABCD的边CD上的一点，连接AE，点F为AE的中点，过点F作AE的垂线分别交AD，BC于点M，N，连接AN，若，则△AMN的面积为 ． 17．如图，已知，AD＝6.4 cm，DB＝4.8 cm，EC＝4.2 cm，则AC＝ cm. 18．如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，，分别交对角线于点，若，则的值为 ． 三、解答题 19．如图，乐器上的一根弦，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C、D之间的距离． 20．如图，以点Q为位似中心，画出与矩形的相似比为的一个图形． 21．在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，，，以点O为位似中心，将缩小，使缩小后得到的与的相似比为.在如图所示的网格中画出图形并写出各顶点的坐标. 22．如图，在中，D，E分别是和上的点，且． （1）如果，，，，那么的长是多少？ （2）如果，，，那么的长是多少？ 23．如图，E为□ABCD的边CD延长线上的一点，连结BE交AC于点O，交AD于点F，求证：． 24．如图所示，正方形DEFM内接于△ABC，若S△ADE＝1，S正方形DEFM＝4，求S△ABC． 25．如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2． （1）在图中画出四边形AB′C′D′； （2）填空：△AC′D′是 三角形． 26．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点在格点上，且，， 画出，并求出的面积. 以点O为位似中心，画出的位似图形，使之与的相似比为1：2．    ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$