精品解析：湖南省永州市蓝山县2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024年下期期中学业质量监测 九年级数学（试题卷） 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明； 2．考生作答时，必须将正确答案写在相应位置上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 已知与成反比例，当时，，那么当时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是根据题意，设反比例函数的解析式为，把，代入解析式求出，再把代入解析式，即可求出． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把，代入解析式， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 当时，， 解得：． 故选：B． 2. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键．即一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程；（4）二次项系数不为0．根据一元二次方程的定义逐项判断解答即可． 【详解】解：A、将方程整理，得，是关于的一元二次方程，故本选项符合题意； B、方程不是整式方程，故本选项不符合题意； C、若，则方程就不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、将方程，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 一元二次方程x2+2x＝0的根是(　　) A. x1＝0，x2＝－2 B. x1＝1，x2＝2 C. x1＝1，x2＝－2 D. x1＝0，x2＝2 【答案】A 【解析】 【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：方程整理得：x(x+2)=0， 解得：x1=0,x2=−2. 故选A. 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解的方法进行解答. 4. 已知，那么下列式子中一定成立的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据比例的性质，分子分母交叉相乘，得4m=3n. 故选A. 考点：比例的性质. 5. 已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比求解即可． 【详解】解：设△DEF的周长为x， ∵△ABC∽△DEF，相似比为2， ∴16：x=2：1， 解得，x=8． 故选C. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 6. 已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形对应边成比例逐项验证即可． 【详解】解：A.∵，∴选项不符合题意； B.∵，∴选项不符合题意； C.∵，∴选项符合题意； D.∵，∴选项不符合题意； 故选：C． 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 8. 如图，中，，则四边形，四边形的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方． 由，可得，又由，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得，然后设的面积是，则和的面积分别是，，即可求两个梯形的面积，继而求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的面积是， 则和的面积分别是，， 则， ， ∴． 故选：D． 9. 已知点都在反比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：， 当时， 随的增大而减小，且，当时，随的增大而减小，且， 点，，都在反比例函数的图象上，且，， ∴ 故选：C． 10. 函数与，在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象和一次函数图象，从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键． 根据一次函数与反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：对一次函数解析式进行变形，可得． 当时，，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数一定经过第一、三、四象限，故A、C错误； 当时，，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数一定经过第一、二、四象限，故B错误，D正确． 故选：D． 二、填空题（本答题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 如图，要使与相似，则只需添加一个适当的条件是______．（填一个即可）． 【答案】（任选其一即可） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理（三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似）进行添加即可． 【详解】解：与中，，已满足一组对角相等， 根据相似三角形的判定定理，添加或，根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可证与相似； 添加，根据“两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似” ，可证与相似； 故答案为：（任选其一即可）． 12. 代数式的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】首先利用配方法将代数式转化为，然后根据非负数的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴的最小值为1， 即代数式的最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法，理解非负数的性质是解答此题的关键． 13. 方程的二次项系数、一次项系数及常数项的和是______． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的一般式，解答此题的关键在于掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义解答此题． 【详解】解：原方程去括号整理得：， 则二次项系数，一次项系数及常数项的和是． 故答案为：． 14. 若方程有一根是3，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解题意． 将3代入求解即可． 【详解】解：∵方程有一根是3， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 在比例尺为的地图上，量得甲，乙两地的距离为，则甲，乙两地的实际距离是______米． 【答案】5000 【解析】 【分析】本题考查的是比例线段，掌握比例尺的概念和性质是解题的关键． 根据比例尺图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲，乙两地间的实际距离． 【详解】解：设甲，乙两地间的实际距离为， 则， 解得：， 故答案为：5000． 16. 如图是小明利用光线来测古城墙高度的示意图，如果镜子与古城墙的距离米，镜子与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点，小明眼睛距地面的高度米，那么该古城墙的高度是______． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出的长．正确得出相似三角形是解题关键． 【详解】解：由题意可得： ，，，，， ∴， ∴，即， ∴， 解得：． ∴该古城墙的高度是米． 故答案为：米． 17. 已知，，那么__________． 【答案】30 【解析】 【分析】由已知，得：，，,代入化简即可求得答案. 【详解】由已知，得： ，， ∴ 故答案是： 【点睛】本题主要考查了比例的基本性质．解答此题的关键是根据比例的基本性质求得，，三个等式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案 【详解】解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°， 当PM⊥AB时，PM最短， 因为直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B， 可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3）， 在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=， ∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7， ∴△PBM∽△ABO， ∴， 即：， 所以可得：PM=． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答题要求写出必要的文字说明或演算步骤） 19. 用合适的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：移项得， 配方得， 即， 开方得， ； 【小问2详解】 解：， 或 解得； 20. 已知关于的方程 （1）为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】（1） （2）当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【小问1详解】 解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； 【小问2详解】 由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 21. 一水池内有污水60m3，设放净全池污水所需的时间为t (小时），每小时的放水量为wm3， （1）试写出t与w之间的函数关系式，t是w反比例函数吗？ （2）求当w = 15时，t的值. 【答案】（1）t =，（2）t = 4. 【解析】 【详解】（1）根据放完全池污水所需的时间=污水总量÷每小时的放水量可得到t =，故t是W的反比例函数. （2）将W=15m3代入上面的式子中，可得t=4h. 22. 如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD． （1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系； （2）求∠ABD的度数． 【答案】（1）AD2=AC•CD．（2）36°． 【解析】 【分析】（1）通过计算得到=，再计算AC·CD，比较即可得到结论； （2）由，得到，即，从而得到△ABC∽△BDC，故有，从而得到BD=BC=AD，故∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC．设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠ABC=∠C=∠BDC=2x，由三角形内角和等于180°，解得：x=36°，从而得到结论． 【详解】（1）∵AD=BC=， ∴==． ∵AC=1， ∴CD==， ∴； （2）∵， ∴， 即， 又∵∠C=∠C， ∴△ABC∽△BDC， ∴， 又∵AB=AC， ∴BD=BC=AD， ∴∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC． 设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x， ∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x， ∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°， 解得：x=36°， ∴∠ABD=36°． 考点：相似三角形的判定与性质． 23. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，轴，垂足为．若的面积为，若，求实数的取值范围． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据点的纵坐标及的面积可求出的值，进而得出点的坐标，再根据正比例函数和反比例函数图象的对称性得出点的坐标，最后利用数形结合的数学思想即可解决问题．熟知反比例函数的图象与性质及一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵点和点为正比例函数图象和反比例函数图象的交点， ∴， ∵的面积为， ∴的面积为， ∵轴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 由函数图象可知： 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴当时，实数的取值范围是：或． 24. 党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买跳绳用于“阳光体育大课间”活动．已知一根跳绳的进价为20元，商场确定其售价为40元． （1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每根40元进行两次调价，已知每根跳绳现价为32.4元，若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，每根跳绳每降价0.2元，即可多销售10根．已知售价40元时，每月可销售500根，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则每根跳绳应定价为多少元？ 【答案】（1）这个降价率为 （2）每根跳绳应定价为32元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用-增长率与销售，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可． （1）设每次降价的百分率为x，为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可； （2）设跳绳的降价元，根据该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可． 【小问1详解】 解：设跳绳的降价率为， 根据题意得：， 解得：（舍去），， 答：这个降价率为． 【小问2详解】 解：设跳绳降价元， 根据题意得：， 解得：，， 因为要尽可能扩大销售量，所以降价要多，因此降价8元，， 答：每根跳绳应定价为32元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在函数y=（k>0，x>0）的图象上，点D的坐标为（4，3）． （1）求k的值； （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=（k>0，x>0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离． 【答案】（1）k＝32； （2）菱形ABCD平移的距离为． 【解析】 【分析】（1）由题意可得OD＝5，从而可得点A的坐标，从而可得ｋ的值； （2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数（x＞0）的图象D’点处，由题意可知D’的纵坐标为3，从而可得横坐标，从而可知平移的距离． 【详解】（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F， ∵ 点D的坐标为（4，3）， ∴ OF＝4，DF＝3，∴ OD＝5， ∴ AD＝5，∴ 点A坐标为（4，8）， ∴ k＝xy=4×8=32，∴ k＝32； （2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数（x＞0）的图象D’点处，过点D’做x轴的垂线，垂足为F’． ∵DF＝3，∴D’F’=3，∴点D’的纵坐标为3，∵点D’在的图象上，∴ 3 ＝，解得＝， 即∴菱形ABCD平移的距离为． 考点：1．勾股定理；2．反比例函数；3．菱形的性质；4．平移． 26. 如图，正方形的边长为3 ，P、Q分别从B、A出发沿，方向运动，P点的运动速度是1 秒，Q点的运动速度是2 秒．连接并过Q作，垂足为E． （1）求证： ； （2）当运动时间t为何值时，； （3）设的面积为y，用运动时间t表示的面积y．（不要求考虑t的取值范围） （提示：解答（2）（3）时可不分先后） 【答案】（1） ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质证明即可； （2）根据全等三角形的判定和性质，利用勾股定理解答即可； （3）根据相似三角形的性质得出函数解析式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∴，，即， 解得，（不符合题意，舍去）． ∴当t时，． 【小问3详解】 解：由（1）知， ∴， ∴，整理得：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题关键是正确进行角的关系转化，灵活运用相关知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下期期中学业质量监测 九年级数学（试题卷） 注意事项： 1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明； 2．考生作答时，必须将正确答案写在相应位置上． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上） 1. 已知与成反比例，当时，，那么当时，的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）． A. B. C. D. 3. 一元二次方程x2+2x＝0的根是(　　) A. x1＝0，x2＝－2 B. x1＝1，x2＝2 C. x1＝1，x2＝－2 D. x1＝0，x2＝2 4. 已知，那么下列式子中一定成立的是（ ）. A. B. C. D. 5. 已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为（　　） A. 2 B. 4 C. 8 D. 32 6. 已知的三边长分别为的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 8. 如图，中，，则四边形，四边形的面积比是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点都在反比例函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 10. 函数与，在同一坐标系中的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本答题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内） 11. 如图，要使与相似，则只需添加一个适当的条件是______．（填一个即可）． 12. 代数式的最小值为______． 13. 方程的二次项系数、一次项系数及常数项的和是______． 14. 若方程有一根是3，那么______． 15. 在比例尺为的地图上，量得甲，乙两地的距离为，则甲，乙两地的实际距离是______米． 16. 如图是小明利用光线来测古城墙高度的示意图，如果镜子与古城墙的距离米，镜子与小明的距离米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点，小明眼睛距地面的高度米，那么该古城墙的高度是______． 17. 已知，，那么__________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答题要求写出必要的文字说明或演算步骤） 19. 用合适的方法解下列方程： （1） （2） 20. 已知关于的方程 （1）为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 21. 一水池内有污水60m3，设放净全池污水所需的时间为t (小时），每小时的放水量为wm3， （1）试写出t与w之间的函数关系式，t是w反比例函数吗？ （2）求当w = 15时，t的值. 22. 如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD． （1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系； （2）求∠ABD的度数． 23. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，轴，垂足为．若的面积为，若，求实数的取值范围． 24. 党的二十大报告提出：“加快建设高质量教育体系，发展素质教育”某校为响应二十大报告的育人精神，进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，有效开展“阳光体育”活动，该校计划从体育用品商场购买跳绳用于“阳光体育大课间”活动．已知一根跳绳的进价为20元，商场确定其售价为40元． （1）若现在需进行降价促销活动，预备从原来的每根40元进行两次调价，已知每根跳绳现价为32.4元，若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率； （2）经调查，每根跳绳每降价0.2元，即可多销售10根．已知售价40元时，每月可销售500根，若该商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则每根跳绳应定价为多少元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在函数y=（k>0，x>0）的图象上，点D的坐标为（4，3）． （1）求k的值； （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=（k>0，x>0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离． 26. 如图，正方形的边长为3 ，P、Q分别从B、A出发沿，方向运动，P点的运动速度是1 秒，Q点的运动速度是2 秒．连接并过Q作，垂足为E． （1）求证： ； （2）当运动时间t为何值时，； （3）设的面积为y，用运动时间t表示的面积y．（不要求考虑t的取值范围） （提示：解答（2）（3）时可不分先后） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $