精品解析：湖北省襄阳市宜城市五校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024秋八年级数学期中考试 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 有两根13cm，15cm的木棒，要想以这两根木棒做一个三角形，可以选用第三根木棒的长为（ ） A. 2cm B. 11cm C. 28cm D. 30cm 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，求得第三边应大于两边之差，而小于两边之和，从中进行选择符合条件的即可． 【详解】根据三角形的三边关系，得 因为两边长13cm，15cm，所以第三边x的长满足：15-13＜ x＜15+13，即2＜ x＜28， 第三根木棒应大于2cm，而小于28cm． 下列答案中，只有11cm符合答案． 故选B． 3. 如图，点D在BC的延长线上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形外角的定义和性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 4. 已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】利用全等三角形的性质及三角形内角和可求得答案． 【详解】解：如图， ∵两三角形全等， ∴∠2=60°，∠1=50°， ∴∠α=180°-50°-60°=70°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 5. 若一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】先求出多边形一个外角的度数，然后根据多边形的外角和为，求出边数即可． 【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于， ∴多边形的每一个外角都等于， ∴边数， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，解题的关键根据外角和定理求出多边形的边数． 6. 如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即，直角三角形可用定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据三角形全等的判定定理：逐一判断即可． 【详解】解：A、， ，故A选项不符合题意； B、∵， ∴， ， ，故B选项不符合题意； C、∵ ， ∴，故C选项不符合题意； D、，，不能判断，故D选项符合题意， 故选：D． 7. 如图，上午8时，一艘船从海岛出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达海岛处，从海岛处望灯塔，测得，，则从海岛到灯塔的距离为（ ） A. 45海里 B. 30海里 C. 20海里 D. 15海里 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到，然后利用三角形外角的性质得到，然后利用等角对等边即可求出． 【详解】根据题意可得，海里， ∵，， ∴， ∴， ∴海里． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形外角的性质，等角对等边，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 8. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点D．已知，P为上一动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线及角平分线的性质定理；过点D作于E，则，由垂线段最短即可得的最小值． 【详解】解：由作图知，平分， 过点D作于E，如图， ∵， ∴； ∵， ∴的最小值为3， 故选：B． 9. 如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ） A. 0.4 cm2 B. 0.5 cm2 C. 0.6 cm2 D. 0.7 cm2 【答案】B 【解析】 【详解】解：延长AP交BC于E， ∵AP垂直∠ABC的平分线BP于P， ∴∠ABP=∠EBP， 又知BP=BP，∠APB=∠BPE=90°， ∴△ABP≌△BEP， ∴， ∴△APC和△CPE等底同高， ， ∴， 故选：B． 10. 如图，在和中，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相较于F，连接OM，则下列结论中：①；②；③；④MO平分，正确的个数有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA=∠ODB，AC=BD，①正确； 由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC=∠AOB+∠OBD，得出∠AMB=∠AOB=30°，②正确； 作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，则∠OGC=∠OHD=90°，由AAS证明△OCG≌△ODH，得出OG=OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确； 由∠AOB=∠COD，得出当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM=∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM=∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO=∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB=OC，而OA=OB，所以OA=OC，而OA＞OC，故③错误；即可得出结论． 【详解】解：， ∴， 即， 在和中，， ， ，，①正确； ， 由三角形的外角性质得：， ，②正确； 作于，于，如图所示： 则， 在和中，， ， ， 平分，④正确； ∵∠AOB=∠COD， ∴当∠DOM=∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM=∠AOM， ∵△AOC≌△BOD， ∴∠COM=∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO=∠BMO， 在△COM和△BOM中，， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB=OC， ∵OA=OB ∴OA=OC 与OA＞OC矛盾， ∴③错误； 正确的个数有3个； 故选择：. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在钝角中，最大角的度数可能是____________（写一个满足条件的度数）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理．设最大角为α，先求出其度数的取值范围是，再写出一个度数即可． 【详解】解：在钝角中，设最大角为α，则其度数的取值范围是， ∴最大角的度数可能是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为________． 【答案】（2，1）． 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】点关于轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 13. 如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明全等三角形的方法有是解题的关键．本题中根据证明，即可求解． 【详解】解：由题意知：，， ∵O是的中点， ∴， ， ． 故答案为：9． 14. 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，根据题意画出图形以及分类讨论是解题的关键． 分等腰三角形是锐角三角形或钝角三角形两种情况，分别根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：①如图：当三角形为锐角三角形时， ∵，，为高，即，， ∴， ②如图：当三角形为钝角三角形时， ∵，，为高，即， ∴， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 15. 在直角三角形中，,过点C的直线为l，，，垂足分别为E、F，，则___________. 【答案】5或1 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键.根据垂直的定义得到，根据同角的余角相等得到，由已知即可证明，进一步即可得到答案. 【详解】解：如图1， ∵，，垂足分别为E、F， ∴， ∴， ∵在直角三角形中，, ∴， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴， ∴； 如图2， ∵，，垂足分别为E、F， ∴， ∴， ∵在直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， 又∵, ∴， ∴， ∴； 故答案为：5或1 三、解答题（共9小题，满分75分） 16. 在中，已知，求的度数． 【答案】的度数分别为 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理可知，则，根据，即可求出，进而求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即的度数分别为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用内角和定理列出等式解题． 17. 如图，平分． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和及三角形外角的性质，掌握这些知识是关键． （1）由角平分线得，由及三角形外角的性质，即可证得结论成立； （2）由，设，则，，再由及三角形内角和即可求得度数，从而求得的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴设， ∴， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，，，求证：． 【答案】 证明：， ，即：， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，根据可证得，再利用证得进而可求证结论，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． 【详解】略 19. 如图，已知AB＝AC，AD⊥BC，AB+BD＝DE，求证：点C在AE的垂直平分线上． 【答案】 证明： AB＝AC，AD⊥BC，  AB+BD＝DE， 点C在AE的垂直平分线上． 【解析】 【分析】根据AB＝AC，AD⊥BC，可得，结合已知条件AB+BD＝DE，可得，即可证明点C在AE的垂直平分线上． 【详解】略 【点睛】本题考查了三线合一，垂直平分线的判定，求得是解题的关键． 20. 如图，在中，是边的中点，，，垂足分别为，，且．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵是边的中点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边．利用证明，得到，然后根据等角对等边得出结论． 【详解】略 21. 如图，是一个8×10正方形格纸，ABC中A点坐标为(﹣2，1)，B点的坐标为(﹣1，2)． （1）请在图中建立平面直角坐标系，指出ABC和关于哪条直线对称？（直接写答案） （2）作出ABC关于x轴对称图形；请直接写出、、三点坐标． （3）在x轴上求作一点M，使的周长最小，请直接写出M点的坐标． 【答案】（1）如图，平面直角坐标系如图所示： ABC与关于y轴对称 （2） 如图，即为所求， （3）M(﹣1，0) 【解析】 【分析】（1）根据A，B两点坐标，确定平面直角坐标系即可； （2）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （3）作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，连接，点M即为所求． 【小问1详解】 解：（1）ABC与关于y轴对称； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 如图，点M即为所求．M（﹣1，0）． 此时： 此时满足周长最短． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决最短问题，属于中考常考题型． 22. 如图，在等腰△ABC中，CA＝CB，点D，E，F分别是AC，BC，AB上的点，且AF＝BE，∠DFE＝∠A，连DE，GF平分∠DFE，求证：GF⊥DE． 【答案】 证明：∵CA＝CB， ∴∠A＝∠B， ∵∠DFE＝∠A，∠DFE+∠DFA+∠EFB＝180°，∠DFA+∠A+∠ADF＝180°， ∴∠ADF＝∠EFB， 在△ADF和△BFE中， ， ∴△ADF≌△BFE（AAS）， ∴DF＝EF， 又∵GF平分∠DFE， ∴GF⊥DE． 【解析】 【分析】先由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠ADF=∠EFB，再证明△ADF≌△BFE（AAS），得DF=EF，然后由等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 23. 如图，点P是的外角平分线上的一点，过点P作于D，于E，且，过点P作于点Q． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 解：连接， ∵是的平分线，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）的长为1． 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质求得，利用证明，推出，再根据等腰三角形的性质即可证明； （2）设，利用证明，推出，根据列式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵是的平分线，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长为1． 【点睛】本题考查的是等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24. 等腰中，，，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． （1）如图(1)，已知点C的横坐标为，直接写出点A的坐标； （2）如图(2)，当等腰运动到使点D恰为中点时，连接，求证:； （3）如图(3)，若点A在x轴上，且，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，过点C作交y轴于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）的长度不变， 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． （1）如图1，过点C作轴于点F，构建全等三角形：，结合该全等三角形的对应边相等易得的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标； （2）过点C作交y轴于点G，则，即得，，由，可证得，从而得到结论； （3）如图3，过点C作轴于点E，构建全等三角形：，结合全等三角形的对应边相等推知：，．再结合已知条件和全等三角形的判定定理得到：，故． 【小问1详解】 解：如图1，过点C作轴于点F， ∵轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∵点的横坐标为， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的长度不变，理由如下： 如图3，过点C作轴于点E， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024秋八年级数学期中考试 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 有两根13cm，15cm的木棒，要想以这两根木棒做一个三角形，可以选用第三根木棒的长为（ ） A. 2cm B. 11cm C. 28cm D. 30cm 3. 如图，点D在BC的延长线上，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 5. 若一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是（　　） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 6. 如图，已知，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，上午8时，一艘船从海岛出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达海岛处，从海岛处望灯塔，测得，，则从海岛到灯塔的距离为（ ） A. 45海里 B. 30海里 C. 20海里 D. 15海里 8. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点D．已知，P为上一动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 9. 如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（ ） A. 0.4 cm2 B. 0.5 cm2 C. 0.6 cm2 D. 0.7 cm2 10. 如图，在和中，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相较于F，连接OM，则下列结论中：①；②；③；④MO平分，正确的个数有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在钝角中，最大角的度数可能是____________（写一个满足条件的度数）． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为________． 13. 如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为______． 14. 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的顶角度数为________． 15. 在直角三角形中，,过点C的直线为l，，，垂足分别为E、F，，则___________. 三、解答题（共9小题，满分75分） 16. 在中，已知，求的度数． 17. 如图，平分． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18. 如图，，，求证：． 19. 如图，已知AB＝AC，AD⊥BC，AB+BD＝DE，求证：点C在AE的垂直平分线上． 20. 如图，在中，是边的中点，，，垂足分别为，，且．求证：． 21. 如图，是一个8×10正方形格纸，ABC中A点坐标为(﹣2，1)，B点的坐标为(﹣1，2)． （1）请在图中建立平面直角坐标系，指出ABC和关于哪条直线对称？（直接写答案） （2）作出ABC关于x轴对称图形；请直接写出、、三点坐标． （3）在x轴上求作一点M，使的周长最小，请直接写出M点的坐标． 22. 如图，在等腰△ABC中，CA＝CB，点D，E，F分别是AC，BC，AB上的点，且AF＝BE，∠DFE＝∠A，连DE，GF平分∠DFE，求证：GF⊥DE． 23. 如图，点P是的外角平分线上的一点，过点P作于D，于E，且，过点P作于点Q． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 等腰中，，，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． （1）如图(1)，已知点C的横坐标为，直接写出点A的坐标； （2）如图(2)，当等腰运动到使点D恰为中点时，连接，求证:； （3）如图(3)，若点A在x轴上，且，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $