第15讲 二次函数综合题(精讲册)-【练客中考】2025年新疆数学总复习新思路

中害新思路新硕数学精磷册 第15讲 二次函数综合题 第1课时 二次画数性质徐合题(2021.23) 重难点突破 重难点)二次函数最值问题 利用对称抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上任意一点到其 性、增减性 对称轴的距离记为d,则有：d相等，y值相等； 判断函数 a>0时，d越大，y值越大，d越小，y值越小： 值的大小 a<0时，d越大，y值越小，d越小，y值越大 定 若m≤x≤n(m,n均为定值)，先判断对称轴在不在区间内. 轴 ①当区间在对称轴左侧（右侧），在区间的端点处取最值，当抛物线的开口向上时，离对称轴越近的 定 点函数值越小：当抛物线的开口向下时，离对称轴越近的点函数值越大； 区 ②当区间包含对称轴时，在对称轴处和区间的一个端点处（离对称轴远的端点）取最值 间 「+1 自变量 定 区间范 轴 围内利 动 x=m(m为定值) x=m(m为定值) x=m(m为定值) x=m(m为定值) 用增减 区 当区间在对称轴的左 当区间在对称轴的右 当区间包含对称轴，且 当区间包含对称轴，且 性求最 间 侧时 侧时 左距大于右距时 左距小于右距时 值 动 轴 定 x=-m(m不固定) x=-m(m不固定) x=-m(m不固定) x=-m(m不固定) 区 当对称轴在区间的右 当对称轴在区间的左 当区间包含对称轴，且 当区间包含对称轴，且 间 侧时 侧时 左距大于右距时 左距小于右距时 例(2024威海改编)已知抛物线y=x2+bx+c(b<0)与x轴交点的坐 标分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2 (1)若抛物线y1=x2+bx+c+1与x轴交点的坐标分别为(x3,0),(x4, 【思路点拨】将原抛物线向上 0),且<4，试判断下列每组数据的大小（填“<”“=”或“>”） 平移1个单位，得到新的抛物 ①x1+x2 x3+x4; 线，标注新、旧抛物线与x轴的 ②x1-x3 x2-x4; 交点坐标，通过变换进行比较 ③x2+x3 无1+x4: 即可 52 第三单元画数中害新思路 (2)若x1=1,2<x2<3,点A(-3,y1),B(3,y2)均在抛物线y=x2+bx+c【思路点拨】利用抛物线与x 上，试比较y1,y2的大小 轴的交点坐标，判断出对称轴 的范围，利用，点到对称轴的距 离，结合函数的增减性，判断 即可. (3)当0≤x≤1时，y=2+bx+c最大值与最小值的差为品，求b的值 【思路点拨】自变量的取位范 国固定，一次项系数不确定， 利用轴动区间定讨论最值位 置，进而求解。 新疆6年中考真题及拓展 1.(2021新疆23题)已知抛物线y=ax2-2ax+ (3)设点P(a,y1),Q(2,y2)在抛物线上，若 3(a≠0). 1>2,求a的取值范围. (1)求抛物线的对称轴； (2)把抛物线沿y轴向下平移31a1个单位，若 抛物线的顶点落在x轴上，求a的值； 53 中害新思路新硕数学精磷册 拓展训练 3.(2024浙江)已知二次函数y=x2+bx+c(b， 2.(2024广西)课堂上，数学老师组织同学们围 c为常数)的图象经过点A(-2,5),对称轴 绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a-3的 最值问题展开探究 为直线=分 【经典回顾】二次函数求最值的方法 (1)求二次函数的解析式； (1)老师给出a=-4,求二次函数y=x2+ (2)若点B(1,7)向上平移2个单位长度，向 2ax+a-3的最小值 左平移m(m>0)个单位长度后，恰好落在 ①请你写出对应的函数解析式： y=x+bx+c的图象上，求m的值： ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出 (3)当-2≤x≤n时，二次函数y=x2+bx+c 此时的y值 的最大值与最小值的差为}，求n的取值 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即 求出对应的函数在x取何值时，y的最小值. 范围。 记录结果，并整理成如表： -2 0 2 米 y的最小值 -9-3 -5 -15 注：*为②的计算结果 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函 数知识，观察表格，谈谈你的发现.” 甲同学：“我发现，老师给了α值后，我们只要 取x=-a,就能得到y的最小值.” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而 变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减 小，所以我猜想y的最小值中存在最大值” (2)请结合函数解析式y=x2+2ax+a-3, 解释甲同学的说法是否合理， (3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正 确，请求出此最大值；若不正确，说明理由. 54 第三单元属数中害新思路 第2课时 二次画数与儿何综合题(6年3考) 重难点突破 类型1》线段问题 例1已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A(-2,0),B两点，与y轴 交于点C(0,3). (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，设抛物线的顶点为D,若M是抛物线对称轴1上一点，且 【思路点拨】设点M的坐标，利 CM=BM,求点M的坐标； 用两点之间的距离，表示出线 段长，利用等量关系求解 D B 例1题图1 (3)如图2，设抛物线的顶点为D,若V是x轴上一点，当DN+CW的值 【思路点拨】将军饮马问题，作 最小时，求点N的坐标； 点D的对称点D',当D',N,C 三点共线时，线段和取得最 小值 例1题图2 (4)如图3，连接BC,若P是第一象限内抛物线上一动点，过点P作 【思路点拨】设点P的坐标，利 PQ∥y轴交BC于点Q,求线段PQ的最大值. 用两点之间的距离，表示出PQ 的长，利用二次函数的性质即 可求解. B 例1题图3 55 中害新思路新酸数学转磷册 类型2面积问题 例2如图1，二次函数y=x2+2x-3的图象与x轴交于A,B两点，与 y轴交于点C,连接BC. (1)求△ABC的面积： 【思路点拔】利用三角形面积 公式求解即可， 例2题图1 (2)如图2，P是直线AC下方抛物线上一点（点P不与点A,C重合）， 【思路点拨】△PAB与△ABC 连接PA,PB,若SAPAR=S△ABC,求点P的坐标； 有公共边，由三角形面积公 式，结合同底等高的三角形面 积相等求解。 例2题图2 (3)如图3，P是直线AC下方抛物线上一点（点P不与点A,C重合）， 【思路点拔】利用分割法，将四 当点P运动到什么位置时，四边形ABCP的面积最大？求出此时点P 边形ABCP分割为△ABC与 的坐标和四边形ABCP面积的最大值； △APC,则Sm边利ACP=S△8c+ SAe,SAC为定值，要求 Sm边移ABCP的最大值，即求S△APc 的最大值，过点P作y轴的平 行线，利用面积公式，结合二 次函数性质求解即可， 例2题图3 (4)如图4，D是线段AB上的动点（点D不与点A,B重合），过点D作 【思路点拨】设点D的横坐标 DE∥AC交BC于点E,连接CD,求△CDE面积的最大值和此时点D的 为d,由△CDE和△CDB等高， 坐标 DE∥AC,利用面积比等于线段 比，从而用含d的式子表示出 △CDE的面积，再结合二次离 数的增减性求解 例2题图4 56 第三单克盖鼓中害新思路 类型3》特殊图形存在性问题 例3已知抛物线y=x2+6x+5与x轴交于A,B两点（点A在点B的 左侧)，与y轴交于点C,对称轴为直线1，点M为抛物线的顶点 (1)如图1，若P是抛物线对称轴l上一点，当△PMB是等腰三角形时， 【思路点拨】当△PMB是等腰 求出点P的坐标； 三角形时，分BP=MP,BP= BM,MP=BM三种情况讨论， 设出点P的坐标，分别表示出 △PMB的三边长，根据等腰三 角形的性质列出等量关系求 解即可 例3题图1 (2)如图2，连接BC,已知D是线段BC的中点，点P从原点出发，在 【思路点拨】先根据中点坐标 y轴的正半轴上以每秒1个单位长度的速度向上匀速运动，设运动时 公式求出点D的坐标，再根据 间为t秒，当t为何值时，△PDB是以BD为斜边的直角三角形？求出 题意设出点P的坐标，表示出 此时点P的坐标； BD,BP,DP2后利用勾股定 理列方程求解即可. M 例3题图2 (3)如图3，若P是抛物线上一点，点N是x轴上一点，当以点A,C,P, 【思路点拨】分AC为平行四边 N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点N的坐标； 形的边和AC为平行四边形的 对角线两种情况进行讨论，分 别计算求出点N的坐标 例3题图3 (4)如图4，若P是x轴上一点，Q是平面内任意一点，当以点B,C,P, 【思路点拨】分BC为矩形的边 Q为顶点的四边形是矩形时，求出点P的坐标， 和BC为矩形的对角线两种情 况进行讨论，分别计算求出点 P的坐标 M 例3题图4 57 中害新思路新酸数学转磷册 类型④》角度、相似三角形问题 例4已知抛物线y=-x2+3x+4与x轴交于A,B两点（点A在点B 左侧)，与y轴交于点C,对称轴为直线. (1)如图1，若点P是抛物线对称轴上一点，当∠PCB=45°时，求点P 【思路点拨】根据OB=OC可 的坐标； 得∠0CB=45°，从而求得 ∠OCP的度数，后求解即可 例4题图1 (2)如图2，若点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴于 【思路点拨】分两种情况讨论： 点D,当以点O,D,P为顶点的三角形与△AOC相似时，求出点P的横 △AOC△ODP和△AOC 坐标； △PDO分别求解即可. B 例4题图2 (3)如图3，若点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴于 【思路点拨】通过角度关系和 点D,连接AC,AP,当∠DPA=2∠ACO时，求直线AP的解析式， 勾股定理求得AP与y轴的交 点坐标，再利用待定系数法求 解即可 例4题图3 58 第三单元画数中考新思路 新疆6年中考真题及拓展 1.(2020新疆23题)如图，在平面直角坐标系 2.(2019新疆23题)如图，在平面直角坐标系 中，点0为坐标原点，抛物线y=ax2+bx+c的 中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0), 顶点是A(1,3),将OA绕点0顺时针旋转90 B(4,0),C(0,4)三点. 后得到OB,点B恰好在抛物线上，OB与抛物 (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； 线的对称轴交于点C (2)将(1)中的抛物线向下平移华个单位长 (1)求抛物线的解析式； (2)P是线段AC上一动点，且不与点A,C重 度，再向左平移h(h>0)个单位长度，得到新 合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的 抛物线.若新抛物线的顶点D'在△ABC内，求 边分别交于M,N两点，将△AMN以直线MW h的取值范围； 为对称轴翻折，得到△A'MN,设点P的纵坐标 (3)点P为线段BC上一动点（点P不与点B, 为m C重合)，过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物 ①当△A'MN在△OAB内部时，求m的取值 线于点Q,当△PQC与△ABC相似时，求 范围； △PQC的面积 ②是否存在点卫，使SMm=名SA?若存 在，求出满足条件m的值：若不存在，请说明 理由。 第2题图 第1题图 59 中害新思路新酸数学转磷册 3.(2023新疆23题)【建立模型】(1)如图1，点B 拓展训练 是线段CD上的一点，AC⊥BC,AB⊥BE,ED⊥ 4.(2024甘肃省卷)如图1，抛物线y=a(x BD,垂足分别为C,B,D,AB=BE.求证：△ACB h)2+k交x轴于0，A(4,0)两点，顶点为B ≌△BDE; (2,23),点C为0B的中点 【类比迁移】(2)如图2，一次函数y=3x+3的 (1)求抛物线y=a(x-h)2+k的解析式； 图象与y轴交于点A,与x轴交于点B,将线段 (2)过点C作CH⊥OA,垂足为H,交抛物线 AB绕点B逆时针旋转90°得到BC,直线AC交 于点E.求线段CE的长； x轴于点D (3)点D为线段OA上一动点(0点除外)，在 ①求点C的坐标： OC右侧作平行四边形OCFD, ②求直线AC的解析式； ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的 【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y=x2-3x-4 与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧）， 坐标； ②如图3，连接BD,BF,求BD+BF的最 与y轴交于C点，已知点Q(0,-1),连接BQ. 小值 抛物线上是否存在点M,使得tan∠MBQ= 3? 若存在，求出点M的横坐标. 图1 图2 图3 第4题图 图1 图2 图3 备用图 第3题图 温套提示 请完成《课后提升练》P33~34司题 60第13讲反比例函数与一次函数综合 10.D11.A12.A13.C14.A15.B16.C 17.D 重难点突破 【例】解：(1)n=-6. 第15讲二次函数综合题 (2)一次函数的解析式为y=2*+2 第1课时二决函数性质综合题 重难点突破 (3)点E(-2,1)在一次函数y=kx+b的图象上 【例】解：(1)①=：②<：③>. 《4)不等式x+6>的解集为x≥2或-6≤x<0。 (2)y>y2 3 (5)P点的坐标为(-子，-8) (3)6的值为-2或-分 新疆6年中考真题及拓展 【变式】A 新疆6年中考真题及拓展 1.解：(1)抛物线的对称轴为直线x=-,24=1. 2a 1.C2.(-4,2)或(-1,8)3.D4.-12 5.解：(1)a=-2,k=-1. (2)a=或a=- (2)m=2 (3)a的取值范周为a>2. 6.解：(1)k=3,点B的坐标为(-3.-1). 2.解：(1)①.a=-4,y=x2+2ax+a-3=x2-8x (2)PW的最小值为等 -7: ②y=x2-8x-7=(x-4)2-23. 8 ,,当x=4时.y取得最小值.为-23 第14讲二次函数的图象与性质 (2)甲同学的说法合理，理由如下： 知识精讲练 :1>0,∴二次函数图象的开口向上，二次函数有 ①减小②增大③增大④减小⑤4如c-B 最小值， 4a ⑥4ac- ⑦左侧⑧(0,0)（或原点）⑨负半轴 当=一受=-a时y取得最小值。 4a 故甲同学的说法合理。 0两①y=a(x-h+m)2+k2y=a(x-h)2+k-m (3)乙同学的猜想正确 3y=a(x-m)+b(x-m)+c y=ax'+hx +c+m 当x=-a时，y=x2+2ax+a-3=(-a)2-2a2+a 考点小练 1.(1)y=2(x+1)2+1:(2)上：(3)直线x=-1. 3a-r4 41 (-1,1):(4)-1,小，1：(5)>-1，<-1 -1<0,故y有最大值， 2.(1)y>y1>为：(2)2 3.(1)<,>,>,>:(2)>:(3)0:(4)>:(5)>: 当a=时，y取得最大值，y的最大值为-丹 (6)<:(7)> 3.解：(1)二次函数的解析式为y=x2+x+3. 4.(1)y=x2+2x+3,y=(x+1)2+2:(2)y=2x2-4x (2)m=4. +3:(3)(x+12+3:(4)y=2-手+1 (3)n的取值范围为-2≤n≤L 5.(1)y=2(x-1)-1:(2)y=2(x+1)2+2:(3)y= 第2课时二次函数与几何综合题 2(x+2)2-3 重难点突破 6.2 7.(1)y=x2+4x+2:(2)y=x2-2x-3:(3)y=x2-6x 【例1】解：(1)抛物线的解析式为y=- 4+x+3. +11 8.(1)x1=-1,x2=3:(2)2:(3)x<-1或x>3: (2)点M的坐标为2，一宁。 (4)-2或4.x<-2或x>4 (3)如解图，作点D关于x轴的对称点D',连接CD', 重难点突破 与x轴的交点即为DN+CN的值最小时点N的位置. 【例1】D【变式1-1】D【变式1-2】A 【变式1-3】B 由(1)可知抛物线的解析式为y=一产+x+3 【例2】C 【变式2-1】A【变式2-2】A 4(x-2)2+4. 新疆6年中考真题及拓展 .抛物线的顶点坐标为D(2,4), 1.D2.D3.B4.C5.①②④ 由对称的性质得D'(2,-4).C(0,3), 6.y=-x2+1(答案不唯一)7.28.≥3 设直线CD'的解析式为y=x+3, 提分专题二平面直角坐标系中的面积问题 将D'(2,-4)代入， 1.C2B3.G4B5D6号7C8C 解得长=一子 ∴.直线CD'的解析式 9.D10.811.解：Saww=12. 提分专题三分析与判断函数图象 为子+3， 1.D2.C3.D4.A5.C6.C7.B8.C9.B 例1题解图 令y=0,解得x=7 6 .当d=-1时，△CDE的面积取得最大值，最大值为 3 “点N的坐标为（号，0）。 ，此时点D的坐标为(-1,0). 【例3】解：(1)y=x2+6x+5=(x+3)2-4, (4)由B(6,0),C(0,3)得，直线BC的解析式为 “抛物线对称轴为直线x=-3,点M的坐标为(-3， y=-2+3, -4). :点P在抛物线对称轴上， 设点P的坐标为(，一+p+3)0<<6),则点 .设点P的坐标为(-3，P), 令y=0,则x2+6x+5=0,解得x1=-5,x2=-1. Q的坐标为(p,-2p+3), 点A在点B左侧， A(-5,0),B(-1,0) =-+p+3-(-+3)-+ 3 .BP=2+p,MP=1-4-pl, -3+ BM=√2+4'=25. △PMB是等腰三角形， 分三种情况讨论： -<0. ①当BP=MP时，即√2+p=I-4-pl, 多 六当p=3时，PQ取得最大值，最大值为9 4 解得p=一子 【例2】解：(1)S。c=6 (2)点P的坐标为(-2，-3). 此时点P的坐标为(-3，一： (3)由(1)知0A=3,0B=1,0C=3,Sa4e=6. 又由A(-3,0),C(0,-3)易得直线AC的解析式为 ②当BP=BM时，即√2+p=2√5. y=-x-3. 解得p=4或p=-4(舍去)， 如解图，过点P作PM∥y轴，交直线AC于点M. 此时点P的坐标为(-3,4)： 设P(m,m2+2m-3)(-3<m<0), ③当MP=BM时，即1-4-pl=25, 则M(m,-m-3), 解得P1=25-4,P1=-25-4, PM=-m-3-(m2+2m-3)=-m2-3m, 此时点P的坐标为(-3,25-4)或(-3，-25 sae=2PW(-)=7x(-m2-3m）x3= 4). 综上所述点P的坐标为(-3，-)或(-3,4)或 (-3,25-4)或(-3，-25-4) .S周边核p=SA4C+SAc=一 2m+6= (2)由(1)知B(-1,0),令x=0,得y=5,∴.C(0,5) + D是BC的中点D(-弓弓. 点P在y轴正半轴上， -<0,-3<m<0, 设点P的坐标为(0，)，1>0， .当m=- 时，四边形ACP Bm=(-P+(-2=号bm=1+,0P= 的面积取得最大值，最大值为？。 (-+(- 3 例2题解图 ,△PDB是以BD为斜边的直角三角形， 此时点P的坐标为(- .BD2=BP DP 1++(-+(停- (4)设D(d,0)(-3<d<1),A(-3,0),B(1.0). 解得1=5±或1-5-回 .BD =1-d,AD=d+3,AB=4. 4 4 0E/c-0=42 点P的坐标为0,5+区)或(0,5-西】 4 C(0,-3),.0C=3, (3)如解图，由(1)知A(-5,0). sm=60:0c=1-d0 ①当AC为平行四边形的边时， 若点P在x轴上方，满足CP,=AN,CP,∥AN SacoE=CE_AD_d+3 C(0,5), SAcD BC AB-4 .当y=5时，x2+6x+5=5, Sacm=d+3 解得x,=0,x=-6,即CP,=AW,=6,此时N,(-11, 0), 0+-<0,-3<d<1. 若点P在x轴下方， :1(-3,-4),4<5,故不存在： ②当AC为平行四边形的对角线时，满足AN2=CP:, AN2∥CP 同①得CP2=AN2=6,即点P,P3重合. 三点八的横坐标为山生， 此时N2(1,0). ②当∠CA0=∠OP,D2时， 综上所述，点N的坐标为(-11,0)或(1,0) tan∠CMO= OC OD. (4)由(2)知，B(-1,0),C PD=P.D. (0.5), P,, OC OD, 设点P的坐标为(P,0), OAP:D: BP2=(p+1)2,CP=p+ 设点P的坐标为(m,-m3+3m+4), 52,BC2=26, 则点D,的坐标为(m,0), ①当BC为矩形的边时，显然 ∴.OD3=m,P,D3=-m2+3m+4. ∠BCP=90°， 例3题解图 ,01=1,0C=4. 则BP2=CP2+BC2 m 即(p+1)2=p2+52+26, 4= -m2+3m+4 解得p=25, 点P的坐标为(25,0)： 解得m=山+37或m=山-。37（含去）， 6 8 ②当BC为矩形的对角线时，显然∠BPC=90°， 此时点P与原点重合，点P的坐标为(0,0) 六点P的横坐标为川+377 8 精讲册 综上所述，点P的坐标为(25,0)或(0,0). 【例4】解：(1)根据题意可得抛物线的对称轴为直线 综上所述，点P的横坐标为1，或1+，3丽 8 3 2 3 x=2×（-1)=2: (3)如解图3，设AP与y轴交于点E, 点P是抛物线对称轴上的点， PD⊥x轴，∠DPA=∠OEA :∠DPA=2∠AC0,.∠OEA=2∠ACO. 六点P的横坐标为} .·∠OEA=∠ACE+∠CAE, 令y=0,则-x2+3x+4=0,解得x1=-1,x2=4,点 ∠ECA=∠EAC,∴AE=CE. A在点B左侧， 设0E=a,则CE=4-a,AE=4-a, .A(-1,0),B(4.0). 在R1△AOE中，由勾股定理得OE2+OA=AE, 令x=0.则y=4.∴.C(0.4). 六+1=(4-a)2,解得a=5 8 ∴.0B=0C=4,·∠0CB=45 如解图1，连接CP,∠PCB=45, B0,g ∴.∠0CP=∠B0C=90°， 设AP所在直线的解析式为y=r+c(f≠O) ∴.CP∥AB. P(号4) 把A(-1,0),E(0,5)代入 8 5 -f+e=0 得{。15 f8 e= ,解得 15 8 e= AD,DB文 “直线AP的解析式为y= 15 8t+ 例4题解图3 8 图2 新疆6年中考真题及拓展 例4题解图 1.解：(1)抛物线的解析式为y=-x2+2x+2. (2)如解图2， (2)①：B(3,-1), PD⊥x轴于点D,∠A0C=90° ∴.要使△OPD与△AOC相似，只需有一个锐角相等. ÷直线0B的解析式为y=-3t 1 ①当∠CAO=∠P,OD,时，AC∥OP, A(13)C(1,-3 由(1)知，A(-1,0),B(4,0),C(0,4), 设直线AC的解析式为y=kx+q(k≠0)， P(1,m),AP=A'P,.A'(1,2m-3), 把A(-1,0).C(0,4)代入， 由题意，得-行<2m-3<3号<m<3 4 得-+9=0，解得=4 l9-4 5 l9=4 ②存在点P,使Sarw=后Sar ∴.直线AC的解析式为y=4x+4, 易得直线OA的解析式为y=3x,直线AB的解析式为y ,直线OP,的解析式为y=4x, =-2x+5,不妨设点M在点的左边， 联立p=4x 当点P在x轴上及x轴上方时，点M在OA上，点N在 1y=-x2+3x+4' AB上， 解得x=1或x=1,(会去)， 2 2 P1,m)M(号m),N3 2,m), 7 ÷MN=5-m_m=15-5m (3)如解图，设直线PQ交x轴于点H, 2 3 6 由题意，得0B=0C=4,∴，∠0BC=∠OCB=45° 、saw=7x(3-m)×。m=2m2-5m 15 6 2m PQ⊥x轴， 4 ∴，∠PHB=90° (①当点A'在点C上方时，号<m<3,C=2m-等 8 ,∠CPQ=∠BPH=∠OBC=45°. 易得AB=5,BC=42 5am-分x2-号)x3=3m-4 设Q(m,-m2+3m+4),P(m,-m+4), 5 则CP=2m,PQ=-m2+3m+4+m-4=-m2+ SArw 6SAarm 4m. ①当△ABC∽△QPC时 42 ∴m2-12m+17=0, 0=C,即m+4m2m, OP-PC 解得m,=6+√19（舍去），m=6-√19. ()当点A'在点C下方，且点P在x轴或x轴上方时，0 解得m=号或a=0(合去》， m<号AC= -2m, P0=-(+4x号 多 5om-宁x(停-2m）x3=4-3n 1 55 16 1×1155_605 Samc=2×4*16i28 高-+-名4- ②当△ABC∽△CPQ时. 第2题解图 此时方程无解： 兽%即京 42 当点P在x轴下时-号<m<0,点在0B上，点 解得m-号或m=0(合未， N在AB上， (I.m)-3m.m).Wm). 0=-(导+4×号-尝 MN =5+5m 5w分号尝说 2 AP=3-aAC=弩-2m 综上所述，△P0C的面积为8微治 3.(1)证明：略. 6*7×(-2m 同理可得×(3-m)×55m=乏×1， (2)解：①如解图1，过点 2 C作CE⊥x轴于点E,根 ×3. 据题意，得AB=BC. 整理，得m-4n-3=0, 由(1)同理得， △BCEA△ABO 解得m6+会去)，m6=网 ∴.CE=OB,BE=OA DE BO 3 3 易得一次函数y=3x+3的第3题解图1 棕上所述满足条件的m的值为6-或的 图象与x轴交点为B(-1,0),与y轴交点为A(0,3), .CE=OB=1.BE=0A=3. 2.解：(1)抛物线的解析式为y=-x2+3x+4. 点C的坐标为(-4,1) 顶点D的坐标为(3,5) ②设直线AC的解析式为y=x+b(k≠0)， 24) 将A(0,3),C(-4,1)代入y=x+b中， (2)抛物线向下平移个单位长度，再向左平移力 得/36 h=2. (h>0)个单位长度，得到新抛物线的顶点 1=-4+6解得 h=3 0(号-h. 直线4C的解析式为y=之+3 易得直线AC的解析式为y=4x+4, (3)解：存在.对于y=x2-3x-4, 直线BC的解析式为y=-x+4, 当y=0时，x2-3x-4=0, 将点D'的坐标代入直线AC的解析式， x1=-1,x2=4,.B(4,0),.0B=4. 得=4（号-）+4解得么=总 Q(0,-1),.0Q=1. ①如解图2，当点M在BQ上方时，过点M作ME⊥BQ 将点D'的坐标代入直线BC的解析式 得子-（弓-）+4，解得=0， 交0的延长线于点5.期mLME--号过点 E作FG∥x轴，过点B,M分别作BG⊥FG于点G, :h的取值范围为0<<号 MF⊥FG于点F, 易得△MEF∽△EBG, MF EF ME 1 ·EG=BG EB =3 则cB35-- :FG∥x轴。 (3)①由(2)知，C(1.3). ∠BEG=∠OBQ. ∴，tan∠BEG=tan∠OBQ 当y=5时y=--2+26=5。 器- 则x=2+2(不合题意的值已舍去)， 设BG=m,EG=4m,则 即点F(2+√2，w3). BF=g,Mr=, ②方法一： 设点D(m,0),则点F(m+1,3), .点M的坐标为(4- 第3题解图2 如解图1，过点B作直线⊥y轴， 131 3m,3m 作点F关于直线I的对称点F 把M(4-13m,1 (m+133),连接BF',DF, 3m,3m)代人y=-3x-4中，得 则BD+BF=BD+BF≥DF',当 D,B,F共线时，BD+BF=DF'为 3m=4-号m)-34-号)-4 最小， 198 由F,D的坐标得，直线DF的表 解得m=0(舍去)，m=169 第4题解图1 达式为y=33(x-m). 册 点V的横坐标是4-号m=4-号×器-号 将点B的坐标代人上式得23=33(2-m), ②如解图3，当点M在BQ下方时，过点M作ME'⊥ 解得m=子， 0交BO的延长线于点E,则m∠MBE-E, 则点F(号，33，点D号0. 3 则BD+BF的最小值为DF=√/1+(3√3)2=2√7： 过点E作FG∥y轴，交 方法二：如解图2，作点C关于x轴的对称点E(1, x轴于点G',过点M作 -3),连接OE,DE,BE MF⊥FG'于点F", 则OC=OE,∠COD=∠EOD, 易得△MEF∽△EBG, C为0B的中点，∴.BC=0C,∴.BC=OE MF E'F'ME' CF∥OD,∴.∠BCF=∠COD,∴∠BCF=∠EOD. 六E"G=BG=EB 又CF=OD, 1 ·△CBF≌△OED(SAS), 3 则BF=DE 由题可知tan∠E'BG 则BD+BF=BD+DE≥BE,当D, =an∠0B0= B,E共线时： OB BD+BF=BE为最小， 第3题解图3 子，设EG=n,BG= 则BE=√1+(35)2=27， 即BD+BF的最小值为2√7. 第4题解图2 第16讲二次函数的实际应用 点n的坐标为水4-号，一子。 重难点突破 把M(4-1n.-7 【例1】解：(1)y=-5x+800 3n,-3n)代人y=-3x-4中，得 (2)当销售单价为116元时，商场获得利润最大，最大 、 3=(4-1n -34-)-4 利润是7920元. 【变式】解：(1)y=-2x+80. 144 解得儿=0（舍去），西=12 (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最 大，最大利润是450元. ∴.点M的横坐标是4- 4号×清 11 4 (3)m的值为2. 【例2】解：(1)缆索L,所在抛物线的解析式为y=500 3 综上所述，点M的横坐标是-或-骨 (x-50)2+2. 4解：y=-+2 (2)F0的长为40m. 2)由0)知，=-是-2+2a 【例3)解：(1y=-+20, 自变量x的取值范围为0<x≤15. 由中点坐标公式得点C(1,√3)， (2)x=10时，花园面积能达到150平方米. 当=1时y=-1-2+25- (3)当x是15时，矩形场地面积y最大，最大面积是 2 187.5平方米 9