第14讲 二次函数的图象与性质(精讲册)-【练客中考】2025年新疆数学总复习新思路

中害新思路新硕数学精磷册 第14讲 二次函数的图象与性质 知识精讲练 2022版课标内容要求 ①会（改动）用描点法（刷除）画二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数系数与图象形 状和对称轴的关系（新增）， ②会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=(x-干太的形式，并能由此得到二次函数图象的 预点坐标，说出图象的开日力向，画出图象的对称轴（删除），会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应 自变量的值（新增），能解决相应的（改动）实际问题。 ③知道二次函数和一元二次方程之间的关系.（新增) ④*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。（删除） P知识点》二次函数的图象与性质 考点小练 1.二次函数的图象与性质 1.已知函数y=2x2+4x+3. 般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次 (1)将该函数化为顶点式为 概念 函数 (2)抛物线的开口向 a的符号 a>0 a<0 (3)抛物线的对称轴为 顶点坐标为 大致 (4)当x= 时，抛物 图象 线有最 值，为 ； (5)当x 时，y随x 的增大而增大；当x 开口方向 开口向上 开口向下 时，y随x的增大而减小 (1)直接运用公式x=- 求解， 2.已知二次函数y=-x2+2x+3 (1)若点A(-2,y1),B(3, (2)配方转化为顶点式y=a(x-h)2+k,则对称轴为直线x=h 对称轴 2),C(7,y)在该二次函数 注：还可利用x生产（其中气，一是关于对称轴对称的两点的横 的图象上，则y1,y2,y的大 小关系是 坐标)求解 (2)若D(m1,n1),E(m2, （1)直接运用顶点坐标公式(-克，4如c-)求解： 2a4a n2)是该函数图象上的两点， n1=n2,则m1+m2= 顶点坐标 (2)用配方法将一般式化为y=a(x-h)2+k,则顶点坐标为 (h,k): (3)将对称轴的横坐标x代入函数解析式求得对应的yo 在对称轴左侧，y随x的增大 在对称轴左侧，y随x的增大 而① 而③ 增减性 在对称轴右侧，y随x的增大 在对称轴右侧，y随x的增大 而② 而④ 6 时，y的最小值为 b 最值 当x= 2a 当x=- 时，y的最大值为 ⑤ ⑥ 42 第三单元画鼓中害新思路 2.二次函数图象与系数的关系 3.二次函数y=ax2+bx+c 决定抛物线 a>0-→抛物线开口向上 (a≠0)的部分图象如图所 开口方向 a<0台抛物线开口向下 示，图象过点(-1,0)，对称 决定抛物线 b=0一对称轴为y轴 轴为直线x=2,观察图象， a,b 对称轴的 ab>0(a,b同号)-对称轴在y轴⑦) 1左同 回答下列问题： 位置 ab<0(a,b异号)一对称轴在y轴右侧 右异 (1)a 0,b 0, 决定抛物线 c=0一抛物线过⑧ c 0,b2-4ac 0; 与y轴的交 c>0→抛物线与y轴交于正半轴 (2)2a+b 0: 点位置 c<0-抛物线与y轴交于⑨ (3)4a+b= ； (4)a+b+e0: 决定抛物线 b2-4ac=0一抛物线与x轴有唯一交点（顶点） b2-4ac 与x轴的交b2-4c>0抛物线与x轴有0 个交点 (5)5a+3c0: 点个数 b2-4ac<0=抛物线与x轴没有交点 (6)9a+c3b: (7)8a+7b+2c 0. 3.与二次函数系数有关的常见代数式 2a+b 2与1比较 2a-b 与-1比较 012 2a a+b+c 令x=1,看纵坐标 a-b+c 令x=-1,看纵坐标 第3题图 4a+2b+c 令x=2,看纵坐标 4a-2b+c 令x=-2,看纵坐标 9a+3b+c 令x=3,看纵坐标 9a-3b+c 令x=-3,看纵坐标 4.已知抛物线y=ax2+bx+c 知识点2二次函数解析式的确定 (1)若该抛物线经过A (-2,3),B(0,3),C(1,6) 般式 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) 三点，则该抛物线的解析式 二次函数 顶点式 y=a(x-h)2+k[a为常数，a≠0，(h,k)为顶点坐标] 解析式的三 为 ;化为顶点式 种表达形式 y=a(x-x1)(x-x2)(a为常数，a≠0，x1,x2为抛物 为 交点式 线与x轴的交点的横坐标) (2)若该抛物线的顶点坐标 方法 待定系数法 为(1,1)，且经过点(2,3)， 设：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)： 则该抛物线的解析式 确定二次函 二列：找出函数图象上的三个点，代入y=ax2+bx+ 为 ； 数解析式的 c(a≠0)中，得到方程组： (3)已知二次函数的最小值 方法及步骤 步骤 三解：解方程组，得到a,b,c的值： 为3，对称轴为直线x=-1, 四还原：将所求待定系数a,b,c的值代人y=ax2+br+ 且经过点(2,8)，则二次函 c中即可 数的解析式为y= 顶点在原点 y=a42 解析式的 对称轴是y轴（或顶点在y轴上） y=ax'+c (4)若该抛物线与x轴交于 常见设法 顶点在x轴上 y=a(x-h)2 (1,0),(3,0)两点，且过点 抛物线过原点 y=ax+bx (4,1),则该抛物线的解析 式为」 43 中害新思蹈新蘸鼓学精磷册 已知任意三个点 y=ax+bx+c 5.已知抛物线y=2(x+1)2-1. 顶点+其他一点坐标 y=a(x-h)2+k (1)将抛物线向右平移2个 解析式的 单位，得到的抛物线的解析 常见设法 与x轴的两个交点+其他一点坐标 式为 与x轴的一个交点+对称轴+其他 y=a(x-x1)(x-x2) (2)将抛物线向上平移3个 点坐标 单位，得到的抛物线的解析 P知识点3》二次函数图象的平移 式为 ； 1.二次函数解析式为顶点式 (3)将抛物线向左平移1个 平移前的 单位，向下平移2个单位得 移动方向(m>0)】 平移后的解析式 规律 解析式 到的抛物线的解析式为 向左平移m个单位 ① 左加 y=a(x- 向右平移m个单位 y=a(x-h-m)2+k 右减 6.抛物线y=a(x-1)2+3先向 h)2+k 向上平移m个单位 y=a(x-h)2+k+m 上加 右平移1个单位长度，再向上 向下平移m个单位 1② 下减 平移2个单位长度后经过点 2.二次函数解析式为一般式 (1,7),则a= 平移前的 7.已知抛物线y=x2-2x-1. 移动方向(m>0)】 平移后的解析式 规律 解析式 (1)将抛物线向左平移3个 向左平移m个单位 y=a(x+m)2+b(x+m)+c 左加 单位，得到的抛物线的解析 式为 y=ax2+ 向右平移m个单位 B 右减 (2)将抛物线向下平移2个 bx +c 向上平移m个单位 四 上加 单位，得到的抛物线的解析 向下平移m个单位 y=ax +bx+c-m 下诚 式为 知识点④》二次函数与方程、不等式的关系 (3)将抛物线向右平移2个 单位，向上平移4个单位得 到的抛物线的解析式为 二次函数 y=ax+bx+c (a>0)的图象 图象与x轴有两个交 图象与x轴有且只 图象与x轴无 点(x1,0),(x2,0) 有一个交点(x1,0) 交点 一元二次方程 △>0白方程有两个 4=0台方程有两个 ax2+bx+c=0 不相等的实数根x 相等的实数根x=x A<0台方程 =x1或x=x2 没有实数根 (y=0)的根 =X2 不等式ax2+ x<x1或x>2(对应 8.已知函数y=x2-2x-3. bx+e>0 图象中x轴上方部分 x≠x1(x2)的实数 x取任意实数 (1)方程x2-2x-3=0的解 (a>0)的解集 x的取值范围) 是 (2)该函数图象与x轴的交 【温馨提示】(1) 点个数为 -元二次方程a2+bx令y=0二次函数y=ar习 令y>0不等式at2+bx+c>0 (3)当x满足 时， +c=0(a≠0) +bx+c(a≠0) → (a≠0) 该函数值大于0： (2)方程ax2+bx+c=m(a≠0)的根或不等式ax2+bx+c>m (4)方程x2-2x-3=5的根 (a≠0)的解集常常转化为抛物线y=ax2+bx+c与直线 为 ,不等式x2-2x y=m的关系处理，通常借助数形结合思想来判断，如图 3>5的解集为 44 第三单克画鼓中害新思路 重难点突破 重难点》二次函数的图象与性质 重难点2二次函数图象与系数的关系 例1(2024贵州)如图，二次函数y=ax2+bx+c 例2(2024阿克苏一模改编)如图，二次函数 的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3，顶点 y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个 坐标为(-1,4)，则下列说法正确的是 () 交点坐标为(1,0)，对称轴为直线x=-1,结合图象 (-1.4) 得出下列结论：①ab>0且c>0:②a+b+c=0:③ 关于x的方程ax2+x+c=0(a≠0)的两根分别为 -3和1；④3a+c<0.其中正确的结论有（) -30 例1题图 A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标 是2 例2题图 C.当x<-1时，y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 查式1-1(224凉山州)抛物线y=子(x-1)2+ 变式2-1(2024泸州)已知二次函数y=ax2+ (2a-3)x+a-1(x是自变量)的图象经过第一、 c经过(-2，)，(0，)，(3为)三点，则12 二、四象限，则实数a的取值范围为 () y的大小关系正确的是 ( A.1≤a<8 B0<a<号 A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y c.0<a< 9 C.y3>y1>2 D.y1>y3>Y2 D15a<号 变式1-2(2024达州)抛物线y=-x2+bx+c 变式2-2(2024牡丹江)在平面直角坐标系 与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1， 中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A, 另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的 B两点，A(-3,0),B(1,0),与y轴交点C的纵 是 ( 坐标在-3~一2之间，根据图象判断以下结论： A.b+c>1 B.b=2 C.b2+4c<0 D.c<0 ①bc>0:②号<b<2:③若a-bi=a-bx 变式1-3(2024连云港)已知抛物线y=ax2+ 且名≠，则+名=-2：④直线y=-名0+c bx+c(a,b,c是常数，a<0)的顶点为(1,2).小 烨同学得出以下结论：①abc<0;②当x>1时，y 与抛物线y=ax2+bx+c的一个交点为(m,n) 随x的增大而减小；③若ax2+bx+c=0的一个 (m≠0)，则m=子其中正确的结论是 根为3，则a=-2;④抛物线y=a2+2是由抛 A.①②④ 物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下 B.①③④ 平移2个单位得到的.其中一定正确的是() C.①②③ A.①② B.②③C.③④D.②④ D.①②③④ 变式2-2题图 45 中害新思路新硕数学精讲册 新疆6年中考真题及拓展 命题点》二次函数的图象与性质(6年3考) 列结论：①方程ax2+bx+c+2=0有两个不 1.(2022新疆7题)已知抛物线y=(x-2)2+1, 下列结论错误的是 相等的实数根；②a+b>0:③a>子；④6 A.抛物线开口向上 4ac>4a2.其中正确的结论有 B.抛物线的对称轴为直线x=2 C.抛物线的顶点坐标为(2,1) D.当x<2时，y随x的增大而增大 2.(2020新疆8题)二次函数y=ax2+bx+c的图 象如图所示，则一次函数y=ax+b和反比例函 第4题图 数y=二在同一平面直角坐标系中的图象可能 A.1个 B.2个 C.3个D.4个 5.(2024镇江)对于二次函数y=x2-2ax+3(a 是 是常数)，下列结论：①将这个函数的图象向 下平移3个单位长度后得到的图象经过原 点；②当a=-1时，这个函数的图象在函数 y=-x图象的上方：③若a≥1，则当x>1时，函 数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的 最小值不大于3.其中正确的是 (填 写序号)】 命题点2二次函数解析式的确定 第2题图 第3题图 拓展训练 3.(2023新疆9题)如图，在平面直角坐标系中， 6.(2023上海)一个二次函数y=ax2+bx+c的 直线y1=mx+n与抛物线2=ax2+bx-3相 顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部 交于点A,B.结合图象，判断下列结论：①当-2< 分是上升的，那么这个二次函数的解析式可 x<3时，y1>y2;②x=3是方程ax2+bx-3=0的 以是 一个解；③若(-1,1)，(4,2)是抛物线上的两 点，则t1<2;④对于抛物线y2=ax2+bx-3, 命题点3二次函数图象的平移 当-2<x<3时，y2的取值范围是0<y2<5.其 拓展训练 中正确结论的个数是 7.(2024牡丹江)将抛物线y=ax2+bx+3向下 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 平移5个单位长度后，经过点(-2,4)，则 拓展训练 6a-3b-7= 4.(2024广元改编)如图，已知抛物线y=ax2+ 8.(2024济宁)将抛物线y=x2-6x+12向下平移 bx+c过点C(0,-2),与x轴交点的横坐标 k个单位长度.若平移后得到的抛物线与x轴有 分别为x,x2,且-1<x1<0,2<2<3,则下 公共点，则k的取值范围是 温套提示 情完成《裸后提升练》P31~32司题 46第13讲反比例函数与一次函数综合 10.D11.A12.A13.C14.A15.B16.C 17.D 重难点突破 【例】解：(1)n=-6. 第15讲二次函数综合题 1 (2)一次函数的解析式为y=2*+2 第1课时二次品数性质综合题 重难点突破 (3)点E(-2,1)在一次函数y=kx+b的图象上. 【例】解：(1)①=：②<：③>. 下等式kx+b2:的解集为x≥2或-6≤ (2)y1>y2 1 3 (3)6的值为-2或- (5)P点的坐标为(-4，-8) 新疆6年中考真题及拓展 【变式】A 新疆6年中考真题及拓展 1解：(1)抛物线的对称轴为直线x=-,24=1. 2a 1.C2.(-4,2)或(-1,8)3.D4.-12 5.解：(1)a=-2,k=-1. (2)a=或a=-是 (2)m=√2 (3)a的取值范围为a>2. 6.解：(1)k=3,点B的坐标为(-3，-1) 2.解：(1)①a=-4,y=x2+2ax+a-3=x2-8x (2)PM的最小值为2而 -7: ②y=x2-8x-7=(x-4)2-23, 8 5 第14讲二次函数的图象与性质 当x=4时，y取得最小值，为-23. (2)甲同学的说法合理，理由如下： 知识精讲练 :1>0,∴二次函数图象的开口向上，二次函数有 ①减小②增大③增大④减小⑤4ac-6 最小值， Aa ⑥4ae-6 ⑦左侧⑧(0,0)（或原点）⑨负半轴 当x=一受=a时，y取得最小值， 4a 故甲同学的说法合理。 00两①y=a(x-h+m)2+k②y=a(x-h)2+k-m (3)乙同学的猜想正确， 13y=a(x-m)+b(x-m)+c (9y=ax +ba+c+m 当x=-a时，y=x2+2ax+a-3=(-a)2-2a2+a 考点小练 1.(1)y=2(x+1)2+1:(2)上：(3)直线龙=-1， -3=-a-22- 4 (-1,1):(4)-1,小，1：(5)>-1，<-1 :-1<0,故y有最大值， 2.(1)y>y>为：(2)2 3.(1)<,>,>,>:(2)>;(3)0:(4)>;(5)>; 当a=之时，y取得最大值，y的最大值为-丹 (6)<;(7)> 3.解：(1)二次函数的解析式为y=x2+x+3. 4.(1)y=x2+2x+3,y=(x+1)2+2:(2)y=2x2-4x (2)m=4. +3:(3)gx+102+3,4y=-手+1 (3)n的取值范围为-2≤n≤1. 5.(1)y=2(x-1)2-1:(2)y=2(x+1)2+2;(3)y= 第2课时二决品数与儿何综合题 2(x+2)2-3 重难点突破 6.2 7.(1)y=x2+4x+2;(2)y=x2-2x-3:(3)y=x2-6x 【例1】解：(1)抛物线的解析式为y=-+x+3. +11 8.(1)x1=-1,x1=3;(2)2;(3)x<-1或x>3: (2②)点M的坐标为(2，-之. (4)-2或4，x<-2或x>4 (3)如解图，作点D关于x轴的对称点D',连接CD', 重难点突破 与x轴的交点即为DN+CN的值最小时点N的位置， 【例1】D【变式1-1】D【变式1-2】A 【变式1-3】B 由(1)可知抛物线的解析式为y=一++3 【例2】C 【变式2-1】A【变式2-2】A 4(x-2)2+4, 新疆6年中考真题及拓展 ∴.抛物线的顶点坐标为D(2,4), 1.D2.D3.B4.C5.①②④ 由对称的性质得D'(2,-4).C(0,3), 6.y=-x2+1(答案不唯一）7.28.k≥3 ·设直线CD'的解析式为y=x+3, 提分专题二平面直角坐标系中的面积问题 将D'(2,-4)代人， 1.c2.B3.c4.B5.D6.27.c8C 解得k=-2 5 ∴.直线CD'的解析式 9.D10.811.解：Saw=12. 提分专题三分析与判断函数图象 为- 2*+3, D 1.D2.C3.D4.A5.C6.C7.B8.C9.B 例1题解图