第7讲 一元二次方程及其应用(精讲册)-【练客中考】2025年新疆数学总复习新思路

中害新思蹈新族鼓学精讲册 第7讲 一元二次方程及其应用 知识精讲练 2022版课标内容要求 了解一元二次方程的根与系数的关系.（删除“”，改为必学） D知识点》一元二次方程及其解法 考点小练 概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数 1.若(a+1)x2-4x-1=0是 是2的方程 关于x的一元二次方程，则 一般 形式 ar2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0) a满足 2.按要求解下列方程： (1)方程缺少一次项，即ax2+c=0(a≠0，ac≤0)→x (1)x2-4x+2=0(配方 直接开 法)： 平方法 (2)形如(x+m)2=n(n≥0)的方程→x=-m±n 适用于：二次项系数化为1后，一次项 例：2x2-12x-9=5 系数为偶数的一元二次方程 步骤： 2x2-12x=14 (2)x2-7x+2=0(公式 (1)移项：将常数项移到方程的右边： 配方法 2-6x=7 法)： (2)变形：将二次项系数化为1： 解法 x2-6x+9=7+9. (3)配方：方程两边同时加上一次项系 即(x-3)2=16 数一半的平方： (4)求解：用直接开平方法求解 x,=-1,t,=7 求根公式：x=① (b2-4ac≥0) 公式法 使用求根公式时：(1)要先将方程化为一般式，再利用公式求 (3)2x(x-3)+x=3(因式 解：(2)a,b,e代入公式时应注意其符号 分解法) 通过因式分解，转化为一次方程求解： 因式 分解法 ax2+bx+c=0(a≠0) 分解时式(mx+m)(陈+q）=0 转化为一元一次方程 →mx+n=0或x+g=0,求得x的值 【易错提醒】方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因 式，避免丢根 3.已知关于x的方程(m-1) 知识点2一元二次方程根的判别式 x2-4r-5=0 (1)若x=1是该一元二次 般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+e=0(a≠0)的根 概念 的判别式 方程的一个根，则m为一， 该方程的另一个根为—： (1)62-4ac② 0一一元二次方程有两个不相等的实数根： (2)若m=-3,则该一元二 (2)b-4ac=0一元二次方程有两个③ 的实数根： 次方程根的情况是 根的情况 (3)b2-4ac<0--元二次方程④ 实数根 (3)若该一元二次方程有实 与判别式【温馨提示】根据根的情况求字母系数的值时应注意： 数根，则m的取值范围为 的关系 (1)使用之前一定要把方程化为一般形式，以便正确找出a,b,c 的值； (4)若该方程有实数根，则 (2)若题目中未指明已知方程为一元二次方程，则应分情况讨论 m的取值范围为 20 第二单元方程（组）与禾等式（组）中害新思蹈 知识点3》一元二次方程根与系数的关系 4.(2024相山)已知方程x2+ x-2=0的两根分别为x1, 若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2 ⑤ ·第2=⑥ ,则上+1的值为 5.已知x1,x是方程2x2+kx 根与系数关系的代数式变形： 根与系数 2=0的两个实数根，且 的关系 (1)1+1.+ (x1-2)(x1-2)=10,则k x12x2 (2)x+x号=(x1+x)2-2xx2 的值为 (3)点+.号+号_（国+）2-2 X2 X1 X2 X1X2 知识点④一元二次方程的实际应用 6.某班学生在毕业时，每个同 学都要给其他同学写一份留 (1)增长率=增量 基础量 ×100% 言纪念，全班同学共写了 若起始量为a,平均增长率为x,终止量为b,增长次数为2，则有 1980份留言，若设全班有x 增长 a(1+x)2=b 名学生，则可列出的方程是 (下降) 减量 率问题 (2)降低率=基础量 ×100% A.x(x-1)=1980 若起始量为a,平均降低率为x,终止量为6，降低次数为2，则有 B.x(x+1)=1980 C.x(x=1980 (1)利润=售价一成本，总利润=每件利润×销售量： 2 每每 D.(x+1=1980 问题 (2)若单价每涨价口元，少卖出b件，则涨价x元，少卖出的件数为·b 2 7.我国南宋数学家杨辉在 1275年提出的一个问题： (1)基本图形面积公式.如矩形面积=长×宽 “直田积八百六十四步，只 (2)图形之间的面积关系.如图所示，阴影部分面积=总面积-空白 云阔不及长一十二步.问阔 部分面积 及长各几步.”意思是：长方 形的面积是864平方步，宽 比长少12步，问宽和长各 面积 是几步.设宽为x步，根据 问题 S阴账=⑧ S=⑨ 题意可列方程： B AB+BC+CD=a S=(a-x)(b-x) Sa= (1)单循环比赛问题（握手）：每两队之间比赛一场，则x队共比赛的 循环 场数为(x-1) 2； 问题 (2)双循环问题（互送礼物）：全班有x人，每人向其他人送一份礼 物，则共送出礼物的份数为x(x-1) 21 中考新思蹈新藤数学特讲册 重难点突破 重难点D一元二次方程根的判别式 重难点一元二次方程的实际应用 例1(2024黑龙江多地市改编)已知关于x的 例3某商场将进货价为30元的台灯以40元售 方程(m-2)x2+4x+2=0. 出，1月销售400个，2,3月这种台灯销售量持续 (1)若该方程有实数根，则m的取值范围是（ 增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到 A.m≤4 B.m≥4 576个，设2,3两个月的销售量月平均增长率 .m≥-4且m≠2 D.m≤4且m≠2 不变 (2)若该方程为一元二次方程 (1)求2,3两个月的销售量月平均增长率： ①该方程有两个不相等的实数根，则m的取值范 (2)从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定 围为 降价促销.经调查发现，售价在35元至40元范 ②该方程有两个相等的实数根，则m的值为 围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量 ③该方程没有实数根，则m的取值范围为 增加6个.这种台灯售价定为多少时，商场4月 易错提醒 销售这种台灯获利4800元？ 当二次项系数含未知数，且题干未说明方程为一元二 思路点拨 次方程时，应分类讨论二次项系数，不要忽略二次项 (1)设增长率为x,根据题意列方程求解： 系数为0的情况 (2)设降价钱数为y,根据利润=单个利润×销售量， 重难点2一元二次方程根与系数的关系 列出方程求解。 例2(1)已知关于x的一元二次方程x2+5x m=0的一个根是2，则另一个根是 (2)设α，B是一元二次方程x2+3x-7=0的两 个根，则a2+4a+B= ,a2+3a+aB= 思路点拨 (1)直接利用根与系数的关系求解： (2)将根代入一元二次方程，利用根与系数的关系，结 合拆项法求解 新疆6年中考真题及拓展 命题点一元二次方程及其解法(6年2考) C.x1=1,x2=-3 D.x1=-1,x2=-3 1.(2023新疆6题)用配方法解一元二次方程 拓展训练 x2-6x+8=0.配方后得到的方程是 3.(2024凉山州)若关于x的一元二次方程 A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28 (a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0 C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1 则a的值为 2.(2021新疆6题)一元二次方程x2-4x+3=0 A.2 B.-2 的解为 C.2或-2 D.1 A.x1=-1,x2=3 B.x1=1,x2=3 22 第二单元方程（组）与不等式（组）中虐新思蹈 命题点2一元二次方程根的判别式(6年4考) 小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因 4.(2022新疆6题)若关于x的一元二次方程 而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的 x2+x-k=0有两个实数根，则k的取值范围 方程是 ( 是 A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 Ak>-4B≥-4Ck<-4Dk≤-4 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 10.(2024烟台)一元二次方程2x2-4x-1=0的 5.(2019新疆6题)若关于x的一元二次方程 (k-1)x2+x+1=0有两个实数根，则k的取 两根为m,n,则3m2-4m+2的值为 值范围是 命题点4》一元二次方程的实际应用(6年2考) Ak≤ B 11.(2022新疆8题)临近春节的三个月，某干果 4 店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8 Ck<且k列 D,≤且kI 万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这 两个月销售额的月平均增长率为x,则根据题 6.(2020新疆5题)下列一元二次方程中，有两 意，可列方程为 () 个不相等实数根的是 ( A.8(1+2x)=11.52B.2×8(1+x)=11.52 A2-x+4=0 B.x2+2x+4=0 C.8(1+x)2=11.52D.8(1+x2)=11.52 C.x2-x+2=0 D.x2-2x=0 12.(2019新疆7题)在某篮球邀请赛中，参赛的每 7.(2024新疆12题4分)关于x的一元二次方程 两个队之间都要比赛一场，共比赛36场.设有x x2+3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的 个队参赛，根据题意，可列方程为 () 取值范围为 A.2(x-1)=36B.2(x+1)=36 拓展训练 C.x(x-1)=36 D.x(x+1)=36 8.(2024潍坊)已知关于x的一元二次方程 拓展训练 x2-mx-n2+mn+1=0,其中m,n满足m- 13.(2024云南)两年前生产1千克甲种药品的 2n=3,关于该方程根的情况，下列判断正确 成本为80元，随着生产技术的进步，现在生 的是 ( 产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种 A.无实数根 药品成本的年平均下降率为x,根据题意， B.有两个相等的实数根 下列方程正确的是 ( C.有两个不相等的实数根 A.80(1-x2)=60 B.80(1-x)2=60 D.无法确定 C.80(1-x)=60 D.80(1-2x)=60 命题点3，一元二次方程根与系数的关系 14.(2023龙东地区改编)如图，在长为100m, 宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等 拓展训练 的小路，若余下的部分 9.(2024绥化)小影与小冬一起写作业，在解 全部种上花卉，且花圃 道一元二次方程时，小影在化简过程中写错 的面积是3600m2,则 了常数项，因而得到方程的两个根是6和1： 小路的宽是 第14题图 湿春提示 情完成《课后提升练》P15~16习题 23第4讲分式 考点小练 知识精讲练 1.(1)4:(2)2;(3)2或1：(4)m>1且m≠2 ①B②B≠0③A=0且B≠0④公因式 2.120-120=0.5 x1.2x ⑤±6特①器 新疆6年中考真题及拓展 bd 示范题：解：去分母，得2+x(x+1)=(x+1)(x-1), 考点小练 解方程，得x=-3, 1(1028⑤.①23,2)≠3，-3 检验：当x=-3时，(x+1)(x-1)≠0 所以分式方程的解是x=-3. 21:22-0-(8 a-1(5)408 3o(4)4￥1 1.解：x=3. 9c2 2.D3.A4.B5.D 3.解：原式=x+3 6.解：甲组同学平均每小时包100个粽子，乙组同学 平均每小时包80个粽子 当x=-4时，原式=4. 第7讲 一元二次方程及其应用 新疆6年中考真题及拓展 1.x≠5【变式1-1】1【变式1-2】x>1 知识精讲练 示范题：解：原式=1 ①-6±B-4ac a-19 2a ②>③相等④无⑤- 册 当a=2时，原式=2-=1 ⑥ ⑦a(1-x)2=b⑧(a-2x)(b-2x) a 2.a+b ⑨(a-x)(b-x)0(a- 2 3.解：原式=1. 4解：原式=-1 考点小练 x 1.a≠-1 :-6<x<6,且x为整数， 2.解：(1)x1=2+2,x2=2-2 ∴x可取的整数为-2，-1,0,1,2. (2)x,=7+4 =7-4 ·要使分式有意义，.x≠-1或1，且x≠0， 2 2 ∴x只能取2或-2， (3)x=3,x=-2 当x=2时，原式=-2（戏当x=-2时，原式 3()10,-多：(2)无实数根：3)m≥写且m1: (4)m≥54号576A7(x+12)=864 第二单元 方程（组）与不等式（组）】 重难点突破 第5讲 一次方程（组）及其应用 【例1】(1)A:(2)①m<4且m≠2：②4：③m>4 知识精讲练 【例2】(1)-7：(2)4,0 ①b±c②c③ 【例3】解：(1)2,3两个月的销售量月平均增长率为 c 20%. 考点小练 (2)这种台灯售价定为38元时，商场4月销售这种台 1.A2.(1)-1:(2)-9 灯获利4800元. 7 新疆6年中考真题及拓展 3.解：x=9 1D2.B3A4.B5.D6.D7k< 4.15.5 8.C9.B10.611.C12.A13.B14.5m 6.解：方程组的解为任=L ly=2 第8讲一元一次不等式（组）及不等式的应用 7.元08=18209①35.6：62九 知识精讲练 ①>②2>③>4<5<6x≤b 新疆6年中考真题及拓展 ⑦b≤x≤a⑧≥⑨≤ 1.解：x=5. 考点小练 9 1.B x= 2.解：原方程组的解为 2 2.解：不等式的解集为x<-1, y=4 在数轴上表示解集如解图 3.D 4.解：小明购买A种水果5千克，B种水果2千克 -5-4-3-202345 5.C 第2题解图 6.解：这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合 3.解：不等式组的解集为1<x≤4 “标准”， 在数轴上表示解集如解图。 第6讲分式方程及其应用 0123.4 5 知识精讲练 第3题解图 ①最简公分母②0 4.16 3