4.3探究三角形全等的条件 同步习题 2024-2025学年北师大版（2024）数学七年级下学期

4.3探究三角形全等的条件 同步习题 一、单选题 1．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，带③去最省事，其依据是全等三角形的（    ）判定．    A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 B．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．有两条边对应相等的两个直角三角形全等 3．如图是角平分线的尺规作图：①以O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB分别于E、D；②分别以D、E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；③作射线OF，则OF是∠AOB的平分线．这个作图的依据是(    ) A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS 4．如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．两张全等的矩形纸片 ABCD，AECF 按如图方式交叉叠放在一起，AB=AF，AE=BC．若 AB=1，BC=3，则图中重叠（阴影）部分的面积为（   ）． A．2 B． C． D． 6．下列图形中有稳定性的是（    ） A．等腰三角形 B．正方形 C．长方形 D．平行四边形 二、填空题 7．如图，D、E分别为AB、AC边上的点，∠B＝∠C，BE＝CD．若AB＝7，CE＝4，则AD的长度为 ． 8．如图，四边形是正方形， 和都是直角，且点E、A、B三点共线，若，则阴影部分的面积是 ． 9．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，并且，，当 时，． 10．如图，，且，，且，点、、、、在同一条直线上，按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是 ． 11．将三边长分别为3、4、5的两个全等的直角三角形的斜边重合，且使得两个直角顶点落在重合斜边的异侧，则这两个直角顶点之间的距离是 ． 12．如图，边长为1的正三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交于M，交于N，连结，则的周长为 ． 三、解答题 13．如图，，PC是的中线，，求：的度数． 解：∵PC是AB边上的中线， ∴__________（中线的定义） 在__________和__________中 ∴____________________（________） ∴（______________________） ∵（已知） ∴（等量代换） 14．如图，在中，D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．试说明：． 15．如图，在中，点D、E分别在边上，连接，且．    (1)证明：； (2)若，当点D在上运动时（点D不与重合），且是等腰三角形，求此时的长． 16．如图，已知在等腰中，点D，点E和点F分别是，和边上的点，且，，试说明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C D A A C A 1．C 【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形，从而可得答案． 【详解】解：由三角形全等的判定方法， 根据、、、，带①②去都没法找到和原三角形全等的玻璃， 只有图③包括了两角及它们的夹边， 带③去才能配一块完全一样的玻璃， 其依据是定理判定三角形全等， 故选C． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定，难度不大，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“”）． 2．D 【分析】根据角平分线的判定可判断选项A错误，根据全等三角形的判定可判断选项B、C错误，选项D正确，即可得． 【详解】解：A、根据角平分线的判定“角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上”，选项说法错误，不符合题意； B、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，选项说法错误，不符合题意； C、两个等边三角形不是全等三角形，再有一条对应边相等才行，选项说法错误，不符合题意； D、有两条边对应相等的两个直角三角形全等，选项说法正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线，全等三角形的判定，解题的关键是掌握这些知识点． 3．A 【分析】连接，先根据作图过程可得，再根据定理即可得． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知，， 在和中，， ， ， 即是的平分线， 由此可知，这个作图的依据是， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 4．A 【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：点为的中点， ， 又， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 即，故①正确； 在平行四边形中，，，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又，点为的中点， ， 平行四边形是菱形，故③正确； ， 在中，， ，故②正确； 在平行四边形中，， 又点为的中点， ，故④正确； 综上所述：正确的结论有4个， 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键． 5．C 【分析】证得四边形AGCH是平行四边形，由△ABG≌△CEG（AAS），证得四边形AGCH是菱形，设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x，在Rt△ABG中，由勾股定理得出方程，解方程求得CG的长，即可求出菱形AGCH的面积． 【详解】设BC交AE于G，AD交CF于H，如图所示： ∵四边形ABCD、四边形AECF是全等的矩形， ∴AB=CE，∠B=∠E=90°，AD∥BC，AE∥CF， ∴四边形AGCH是平行四边形， 在△ABG和△CEG中，， ∴△ABG≌△CEG（AAS）， ∴AG=CG， ∴四边形AGCH是菱形， 设AG=CG=x，则BG=BC-CG=3-x， 在Rt△ABG中，由勾股定理得：12+(3-x)2=x2， 解得：x=， ∴CG=， ∴菱形AGCH的面积=CGAB=， 即图中重叠（阴影）部分的面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等图形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，由勾股定理求出CG的长是解题的关键． 6．A 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性依次判断即可解答． 【详解】解：正方形、长方形、平行四边形具有不稳定性，具有稳定性的是等腰三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性，是基础题，需熟记． 7．3 【分析】根据题意中已知条件可证明≅，利用全等三角形的性质得出，从而求得，得出长度． 【详解】解：在与中， ， ∴≅， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形判定定理与性质是解题关键． 8．2 【分析】由正方形的性质可得AC=AF，∠CAF=90°，由“AAS”可证△ACE≌△FAB，可得CE=AB=2，即可求解． 【详解】解：∵四边形ACDF是正方形， ∴AC=AF，∠CAF=90°， ∴∠CAE+∠FAB=90°，∠ACE+∠CAE=90°， ∴∠ACE=∠FAB，且∠E=∠ABF，AC=AF， ∴△ACE≌△FAB（AAS）， ∴CE=AB=2， ∴S阴影=×AB×CE=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明CE=AB是本题的关键． 9．/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的几判定方法是解题的关键；本题已知两个角相等，根据全等三角形判定条件，当时，即可通过角边角求证； 【详解】解：当时， 在和中， ， ∴， ∴当时，可证， 故答案为：； 10．50 【分析】证明△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，再利用梯形EFHD的面积减去上述四个三角形面积即可求解． 【详解】解：如题干中图所示：∵∠F=90°， ∴∠FEA+∠FAE=90°， ∵∠EAB=90°， ∴∠BAG+∠FAE=90°， ∴∠FEA=∠GAB， 在△EFA和△AGB中：， ∴△EFA≌△AGB(AAS)， ∴FA=BG=2, ∴， 同理可证：△BGC≌△CHD(AAS)， ∴GC=HD=4， ， ∴图中实线所围成的图形的面积=， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质及判定方法，梯形的面积公式等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解决本题的关键． 11．5或 【分析】分两种情况讨论，根据勾股定理和全等三角形的判定与性质即可得出结论． 【详解】解：分两种情况讨论： 三角形和重合，如图所示： ； 连接与AB交于D，如图所示： 在和中， ， ， 又， ， ， 故答案为：5或． 【点睛】本题考查了勾股定理和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相关知识． 12．2 【分析】通过证明△BDM≌△CDP，△NMD≌△NPD，证得△AMN的周长＝AB+AC＝2． 【详解】解：延长AC，使CP＝BM，连接DP． ∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°， ∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB＝30°， 又∵△ABC等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠MBD＝∠ABC+∠DBC＝90°， 同理可得∠NCD＝90°， ∴∠PCD＝∠NCD＝∠MBD＝90°， 又∵CP＝BM， ∴△BDM≌△CDP， ∴MD＝PD， ∠MDB＝∠PDC， ∵∠MDN＝60°， ∴∠MDB+∠NDC＝∠PDC+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°， 即∠MDN＝∠PDN＝60°， ∴△NMD≌△NPD（SAS）， ∴MN＝PN＝NC+CP＝NC+BM， ∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+NC+BM＝AB+AC＝1+1＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够通过线段之间的转化进而求解是解题关键． 13．见解析． 【分析】根据三角形中线的定义和全等三角形的判定与性质分别填空即可． 【详解】解：是边上的中线， （中线的定义）． 在和中， ， ， （全等三角形对应角相等）． （已知）， （等量代换）． 故答案为：，，，PB，BC，PC，PC，公共边，，，SSS，全等三角形对应角相等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，主要是对逻辑推理能力的训练，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键． 14．见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，先根据中点的定义得到，然后利用平行得到，，即可运用证明全等解题． 【详解】解：因为D为的中点， 所以． 因为， 所以，． 在和中， 所以． 15．(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据平角的概念和三角形内角和定理证明，然后根据相似三角形的判定定理得出结论； （2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，有三种情况：①，②，③；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质及，求出即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ， ； （2）解：，， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ①当时， ， ， ， ， ， 点D在上运动时（点D不与重合）,点E在上， 此情况不符合题意． ②当时，如图，   ， 由（1）可知：，， ∴， ， ； ③当时，，    ∵ 是等腰三角形，，即， ． 综上，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握分类讨论思想的应用是解题的关键． 16．见解析． 【分析】由等腰三角形的性质可知，由三角形外角的性质和等式的性质可证，然后根据“ASA”证明即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（等边对等角）． ∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， （已知）， ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等式性质）． 在与中， ， ∴（ASA）， ∴（全等三角形的对应边相等）． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$