第十七章 勾股定理（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（天津专用，人教版）

第十七章 勾股定理（A卷·提升卷） 满分：120分 时长：100分钟 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列条件中，能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】A 【详解】解：A、设， ∵， ∴，能判定是直角三角形，符合题意； B、∵， ∴，不能判定是直角三角形，不符合题意； C、，不能判定是直角三角形，不符合题意； D、∵，即， ∴不能判定是直角三角形，不符合题意； 故选：A ． 2．手工课上，小丽想用3根小木棒做一个直角三角形，符合条件的三根木棒是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. 不能构成三角形， 故该选项不符合题意； B.， 不能构成直角三角形， 故该选项不符合题意； C.， 能构成直角三角形， 故该选项符合题意； D.， 不能构成直角三角形， 故该选项不符合题意； 故选：C ． 3．一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为（    ） A． B．10 C．14 D．8 【答案】B 【详解】解：如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离， ， 答：蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为， 故选：B 4．小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边和的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断是不是直角，这样做的依据是（   ） A．勾股定理 B．若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余 【答案】B 【详解】解：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足，则可判断是直角三角形，即为直角；若，则不是直角． 故选：B． 5．如图，边长为的正方形两个顶点分别与数轴上的和重合，以数轴上所在的点为圆心按图示作弧线，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的对角线为， 以数轴上所在的点为圆心，对角线为半径，按图示作弧线， ∴点表示的数为：． 故选：D． 6．如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 7．已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：， 三角形的形状是直角三角形， 故选：B． 8．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（  ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 【答案】C 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为4.2尺， 故选：C． 9．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（   ） A．6 B．36 C．64 D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴正方形的边长为， 故选：D ． 10．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：C． 11．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， 在中，， ∴阴影部分面积为： ， 故选：C． 12．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，， 由图可得，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 13．已知点的坐标为，点的坐标为，那么 ． 【答案】5 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 故答案为：5． 14．如图中，于点D，若则 ． 【答案】 【解答】解：∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．已知两根竹棍的长度分别是和，第三根竹棍与这两根竹棍首尾顺次相接，恰好构成一个直角三角形，则第三根竹棍的长度是 ． 【答案】或 【详解】解：当第三根竹棍为直角边时，长度 当第三根竹棍为斜边时，长度 故第三根竹棍的长度为或． 故答案为：或． 16．如图：在中，，，，是的角平分线． （1）则 ；（2）若点E是线段上的一个动点，从点B以每秒的速度向A运动， 秒钟后是直角三角形． 【答案】 6或 【详解】（1）如图，过点作于， 在中，由勾股定理得， ， ，，是的角平分线， ， 设， 则， 解得， 即， 故答案为：； （2）如图，当时， 则， ， ， ， 设秒后是直角三角形， 则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 当时，由（1）得， ， ， ， ， 故答案为：6或． 17．如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，是的中线．若， 则点C到的距离为 ． 【答案】 【详解】解：过点C作于点F，如图所示： ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 18．如图，以的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是，且，，当 时，． 【答案】 【详解】解：如下图所示， 若，则有， 是等腰直角三角形， ，， 又， ， ， ， 同理可得：， ， 是等腰直角三角形， ，， ． 故答案为： ． 三、解答题（本题共6小题，共66分） 19．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，求斜边及斜边上的高． 【答案】13， 【解答】解：设斜边的长为c，斜边上的高为h， ∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴， ∴， 解得． 20．如图，已知，，，，求AC． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴为直角三角形． ∵， ∴由勾股定理知：． 21．如图，中，，是边上的高，将沿所在的直线翻折，使点落在边上的点 处． (1)若，，，求的面积： (2)求证：． 【答案】(1)126 (2)答案见解析 【详解】（1）解：是边上的高， ， 在中， ，， ， 在中， ，， ， ， ； （2）证明：沿所在的直线翻折得到， ，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， ，， ． 22．如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求的周长和面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）周长为，面积为22． 【详解】（1）证明：， ， 在和中，， ， ； （2），， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则的周长为， 的面积为． 23．如图，有两根直杆隔河相对，杆高30m，杆高20m，两杆相距为50m，两杆顶各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，以同样的速度同时飞下来夺鱼，两只鱼鹰同时到达，叼住小鱼．两杆底部距鱼的距离，各是多少？ 【答案】两杆底部距鱼的距离，分别是30m和20m． 【详解】解：由题意可得：， 则， 故， 解得：， 则， 答：两杆底部距鱼的距离，分别是30m和20m． 24．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25…他发现这些勾股数数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9、40、41，这是一组勾股数吗，请给出证明． (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明设这样的勾股数为m、n、（m为大于1的奇数，且），他猜想是否可以用m表示出n．若可以，请帮小明完成他的猜想，若不可以，请说明理由． (3)当奇数时，请直接写出这组勾股数． 【答案】(1)9、40、41是一组勾股数，见解析 (2)，见解析 (3)17、144、145 【详解】（1）解：9、40、41是一组勾股数，理由如下： ，， ， 、40、41是一组勾股数； （2）解：可以用表示出，理由如下： ， ， ； （3）解：当奇数时，， 这组勾股数是17，144，145． 25．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)当秒时，求的长． (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形． (3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的运动时间． 【答案】(1) (2)出发时间为秒时，是等腰三角形 (3)当为6秒或6.6秒时，为等腰三角形． 【详解】（1）， ， ， ； （2）根据题意得：， 即， 解得：； 即出发时间为秒时，是等腰三角形； （3）分两种情况： 当时，如图2所示： 则， 秒． 当时，如图3所示： 过点作于点， 则 ， ， ， 秒． 由上可知，当为6秒或6.6秒时，为等腰三角形． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理（A卷·提升卷） 满分：120分 时长：100分钟 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列条件中，能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 2．手工课上，小丽想用3根小木棒做一个直角三角形，符合条件的三根木棒是（    ） A． B． C． D． 3．一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为（    ） A． B．10 C．14 D．8 4．小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边和的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断是不是直角，这样做的依据是（   ） A．勾股定理 B．若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形 C．三角形内角和定理 D．直角三角形的两锐角互余 5．如图，边长为的正方形两个顶点分别与数轴上的和重合，以数轴上所在的点为圆心按图示作弧线，交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B． C． D． 7．已知a、b、c是三角形的三边长，若满足，则三角形的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 8．九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（  ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 9．以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（   ） A．6 B．36 C．64 D． 10．如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．3 C． D．9 12．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 13．已知点的坐标为，点的坐标为，那么 ． 14．如图中，于点D，若则 ． 15．已知两根竹棍的长度分别是和，第三根竹棍与这两根竹棍首尾顺次相接，恰好构成一个直角三角形，则第三根竹棍的长度是 ． 16．如图：在中，，，，是的角平分线． （1）则 ；（2）若点E是线段上的一个动点，从点B以每秒的速度向A运动， 秒钟后是直角三角形． 17．如图，在中，的垂直平分线交于点D，连接，是的中线．若， 则点C到的距离为 ． 18．如图，以的三边为斜边，向外作等腰直角三角形，其面积分别是，且，，当 时，． 三、解答题（本题共6小题，共66分） 19．已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，求斜边及斜边上的高． 20．如图，已知，，，，求AC． 21．如图，中，，是边上的高，将沿所在的直线翻折，使点落在边上的点 处． (1)若，，，求的面积： (2)求证：． 22．如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，求的周长和面积． 23．如图，有两根直杆隔河相对，杆高30m，杆高20m，两杆相距为50m，两杆顶各有一只鱼鹰，它们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，以同样的速度同时飞下来夺鱼，两只鱼鹰同时到达，叼住小鱼．两杆底部距鱼的距离，各是多少？ 24．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25…他发现这些勾股数数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9、40、41，这是一组勾股数吗，请给出证明． (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明设这样的勾股数为m、n、（m为大于1的奇数，且），他猜想是否可以用m表示出n．若可以，请帮小明完成他的猜想，若不可以，请说明理由． (3)当奇数时，请直接写出这组勾股数． 25．如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)当秒时，求的长． (2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形． (3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的运动时间． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$