专题25 勾股定理单元复习讲义（解析版+原卷版）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题突破及提优测试卷（人教版）

专题25 勾股定理单元复习讲义（解析版） 第一部分 知识梳理 一、勾股定理 1. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2 + b2 = c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.勾股定理的应用条件：在直角三角形中才可以运用 3.勾股定理表达式的常见变形： a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、b2 = c2 - a2； 、、. 二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 + b2 = c2，那么这个 三角形是直角三角形. 2.勾股数 满足a2 + b2 = c2的三个正整数，称为勾股数. 3.原命题与逆命题(互为逆定理) 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题. 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理. 第二部分 题型归纳 题型一 直接利用勾股定理 1．（2024秋•槐荫区校级月考）阅读：勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．用数学语言表达为：a2+b2＝c2，根据阅读资料，完成以下题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，则c＝（　　） A．5 B．12 C．17 D．13 【分析】由勾股定理即可求解． 【解答】解：由题意得 a2+b2＝c2， ∴52+122＝169， ∵169＝（±13）2，舍去负值， ∴c＝13． 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．已知a＝5，c＝10，则b的值为 　5　 ． 【分析】利用勾股定理求出b的长，然后根据锐角三角函数的定义即可求出tanA的值． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝10， ∴b5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 3．（2023春•潼南区期中）Rt△ABC中a＝3，b＝5则c＝　4或　． 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：当b＝5为斜边时，c4， 当b＝5是直角边时，c， 综上所述，c＝4或， 故答案为：4或． 【点评】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4．（2024秋•玄武区校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，CD⊥AB于D． （1）求AC的长； （2）求CD的长． 【分析】（1）根据勾股定理计算； （2）根据三角形的面积公式计算． 【解答】解：（1）由勾股定理得，AC4； （2）∵△ABC的面积BC×AC＝6； ∴AB×CD＝6， 解得CD， 故CD的长为． 【点评】本题考查的是勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题型二 利用勾股定理列方程 5．已知直角三角形两条直角边的长度之比为3：4，斜边长为15，则这个三角形面积是　54　． 【分析】根据直角三角形的两直角边是3：4，设出两直角边的长分别是3x、4x，再根据勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：设两直角边分别是3x、4x， 根据勾股定理得：（3x）2+（4x）2＝225， 解得：x＝±3（负值舍去）， 则3x＝9，4x＝12． 故这个三角形的面积是9×12＝54． 故答案为：54． 【点评】此题主要考查根据勾股定理来确定等量关系，也考查了三角形的面积公式． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且2a＝3b，c＝2，则a＝　6　，b＝　4　． 【分析】假设a＝3x，b＝2x，根据勾股定理列方程即可求出x，从而求出a，b． 【解答】解：设a＝3x，则b＝2x，依题意有 （3x）2+（2x）2＝（2）2， 解得x＝±2（负值舍去）， a＝3x＝6， b＝2x＝4． 故答案为：6，4． 【点评】此题考查了勾股定理的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握勾股定理在解直角三角形中的运用． 7．（2023秋•渠县校级期中）直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，则直角三角形的面积为 　6cm2　． 【分析】根据周长列出关于另外两直角边的关系，再利用勾股定理列出另一关系，联立即可解得两直角边之积，再进行面积的计算． 【解答】解：设另外两直角边分别为x cm，y cm． 则x+y＝7 ① x2+y2＝25② ①2﹣②得：2xy＝24， ∴xy＝12， ∴直角三角形的面积xy＝6（cm2）； 故答案为：6cm2． 【点评】本题考查了勾股定理、解方程组；根据已知条件列方程的能力，并与直角三角形的面积结合起来进行简单应用．注意不需要解出两直角边的长． 题型三 勾股定理中的巧算（30°、45°的直角三角形） 8．（2023春•合肥期中）直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【分析】根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，以及勾股定理可以列出两个关系式，直接解答即可． 【解答】解：设直角三角形的两直角边是a、b，斜边是c． 根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍得到：2ab＝c2，根据勾股定理得到：a2+b2＝c2，因而a2+b2＝2ab， 即：a2+b2﹣2ab＝0，（a﹣b）2＝0 ∴a＝b，则这个三角形是等腰直角三角形， 因而这个三角形的锐角是45°． 故选：C． 【点评】已知直角三角形的边长问题，不要忘记三边的长，满足勾股定理． 9．（2023秋•张掖期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝4，则AB的长是　4　． 【分析】首先证明CA＝CB＝4，再利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图， ∵∠C＝90°，∠A＝45°， ∴∠B＝90°﹣45°＝45°， ∴∠A＝∠B， ∴AC＝CB＝4， ∴AB4． 故答案为：4． 【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4．求BC，AC的长． 【分析】根据直角三角形的边角关系和勾股定理，解答出即可； 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4， ∴BC＝2， ∴AC． 【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，知道30度角所对的直角边等于斜边的一半． 11．（2024秋•惠山区校级期中）（1）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC，解直角三角形． （2）已知△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝3，求AC的长． 【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出∠B，AC、AB即可； （2）分情况讨论解答，分锐角三角形和钝角三角形进行解答即可． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC， ∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°， ∴AB2， ∴∠B＝60°，AC＝3，AB＝2； （2）如图1，过点B作BD⊥AC，垂足为D， ∵AB＝4，∠A＝45°， ∴AD＝BD＝sin45°×AB4＝2， 在Rt△BCD中， CD1， ∴AC＝AD+CD＝21， 如图2，AC＝AD﹣CD＝21， 故AC的长为21或21． 【点评】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键，作高构造直角三角形是常用的方法． 12．如图，已知△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10，AD是BC边上的高，求BC的长． 【分析】因为BC＝CD+BD，可先由∠C＝60°，AD⊥BC，AC＝10，求得CD＝5，AD＝5．进而在△ADB中根据勾股定理可求得BD＝15．即可求BC的长． 【解答】解：∵∠C＝60°，AD⊥BC，AC＝10， ∴CD＝5，AD＝5． 又∵AB＝14，∴BD11． ∴BC＝BD+CD＝11+5＝16． 【点评】此题涉及的知识点：（1）在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；（2）勾股定理． 题型四 勾股定理中的面积问题 13．（2022春•赣州期末）如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，则斜边AB的长是（　　） A．3cm B．6cm C．4cm D．5cm 【分析】根据正方形的面积可以得到BC2＝8，AC2＝17，然后根据勾股定理即可得到AB2，从而可以求得AB的值． 【解答】解：S1＝8cm2，S2＝17cm2， ∴BC2＝8，AC2＝17， ∵∠ACB＝90°， ∴AB2＝BC2+AC2， ∴AB2＝8+17＝25， ∴AB＝5cm， 故选：D． 【点评】本题考查正方形的面积、勾股定理，解答本题的关键是明确正方形的面积是边长的平方． 14．（2023秋•越城区月考）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，分别以AC、BC、AB为直径作半圆，则当AC＝6，BC＝8时，阴影部分的面积为 　24　． 【分析】先由勾股定理得出AB＝10，再根据，计算即可得出答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴， ∴ ＝24， 故答案为：24． 【点评】本题考查了勾股定理、圆的面积、三角形的面积，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键． 15．（2021秋•玉门市期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（　　） A．13 B．26 C．34 D．47 【分析】根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算即可． 【解答】解：由勾股定理得，正方形F的面积＝正方形A的面积+正方形B的面积＝32+52＝34， 同理，正方形G的面积＝正方形C的面积+正方形D的面积＝22+32＝13， ∴正方形E的面积＝正方形F的面积+正方形G的面积＝47， 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 16．（2023•鼎湖区三模）如图，正方形ABCD的边长是2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，以该等腰直角三角形的一条直角边DE为边向外作正方形，其面积标记为S2按照此规律继续作图，则S2021的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由等腰直角三角形的性质结合勾股定理以及三角形的面积公式可得出部分S1、S2、S3、S4的值，再由面积的变化即可找出变化规律“Sn＝4×（ ）n﹣1”，依此规律即可解决问题． 【解答】解：∵△CDE是等腰直角三角形， ∴DE＝CE，∠CED＝90°， ∴CD2＝DE2+CE2＝2DE2， ∴DECD， 即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍， ∴S1＝22＝4＝4×（）0， S2＝（2）2＝2＝4×（）1， S3＝（）2＝1＝4×（）2， S4＝（1）24×（）3， …， ∴Sn＝4×（）n﹣1， ∴S2021＝4×（）2020＝（）2018， 故选：A． 【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、正方形面积的计算、规律型等知识，根据面积的变化找出变化规律“Sn＝4×（）n﹣1”是解题的关键． 17．（2022秋•历城区校级月考）如图，一个零件的形状如图所示，已知∠CAB＝∠CBD＝90°，AC＝3cm，AB＝4cm，BD＝12cm，则CD长为（　　）cm． A．5 B．13 C． D．15 【分析】先根据图形及题目中所给的数据求出BC的长，再由勾股定理求出CD的长即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2+AC2＝42+32＝25， 在 Rt△BCD中，CD2＝BC2+BD2＝25+122＝169， ∴CD＝13（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理得出BC的平方的长是解题关键． 18．（2024秋•工业园区校级月考）如图，在△ABC中，，∠B＝45°，∠C＝30°，求BC的长． （1）求BC的长（结果保留根号）； （2）求△ABC的面积．（结果保留根号） 【分析】（1）过点A作AD⊥BC交BC于点D，由三角形函数求出BD，由等腰三角形的判定与性质求出AD，由三角函数求出CD，根据BC＝BD+CD求出BC的长即可； （2）根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC交BC于点D． ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∵AB ，∠B＝45°， ∴BD＝AB•cos∠B1， ∵∠BAD＝90°﹣∠B＝45°， ∴Rt△ABD是等腰直角三角形， ∴AD＝BD＝1， ∵∠C＝30°， ∴CD＝AD•ctan∠C＝1， ∴BC＝BD+CD＝1， ∴BC的长是1． （2）S△ABCBC•AD（1）×1， ∴△ABC的面积是． 【点评】本题考查三角形的面积，解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值、等腰三角形的判定与性质及三角形的面积计算公式是解题的关键． 19．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC，若AB＝6，AC＝8． 求：（1）AD的长． （2）求BD和CD的长． 【分析】（1）根据勾股定理求得BC的长；根据直角三角形的面积公式求得AD的长； （2）根据勾股定理求得BD和CD的长． 【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝6，AC＝8 ∴根据勾股定理，得BC＝10． 又∵AD⊥BC， ∴AD4.8． （2）在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得 CD6.4， 则BD＝10﹣6.4＝3.6． 【点评】此题综合运用了勾股定理和直角三角形的面积公式．直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边． 20．在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，求△ABC的周长． 【分析】根据题意画出图形，再分AD在△ABC内与AD在△ABC外两种情况进行分类讨论． 【解答】解：在Rt△ABD中BD5； Rt△ACD中CD9． 如图1，当AD在△ABC内时，BC＝BD+CD＝5+9＝14， △ABC的周长为42； 如图2，当AD在△ABC外时，BC＝CD﹣BD＝9﹣5＝4， △ABC的周长为32． 综上所述，△ABC的周长为42或32． 【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 21．（2024秋•左权县期中）阅读小敏的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日星期五天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考 经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，则根据勾股定理，易得出S1，S2，S3之间的数量关系：　S1＝S2+S3　．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？ 对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，我发现，S1，S2，S3之间有如下数量关系：　S1＝S2+S3　． 理由如下：… 任务一：如图1，分别以直角三角形ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请写出S1，S2，S3之间的数量关系：　S1＝S2+S3　； 任务二：如图2，分别以直角三角形ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，请问：任务一中S1，S2，S3之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图3，四边形ABCD的对角线互相垂直，现以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．已知S1＝1，S2＝2，S3＝5，则S4＝ 　4　． 【分析】任务一：根据正方形的面积公式及勾股定理得出S1、S2、S3之间的关系即可； 任务二：利用圆的面积公式及勾股定理即可得证； 任务三：根据正方形的面积公式及勾股定理得出． 【解答】解：任务一：由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， ∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2， ∴S1＝S2+S3； 故答案为：S1＝S2+S3； 任务二：任务一中S1，S2，S3之间的数量关系仍然成立，理由如下： 在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB2＝AC2+BC2， ∵S1π×（）2，S2π，S3π， ∴S2+S3π×（）πS1， 即S1＝S2+S3； （3）如图3，∵AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠COD＝∠BOC＝90°， 由任务一得：S1＝OA2+OB2，S2＝OB2+OC2，S3＝OC2+OD2，S4＝OA2+OD2， ∴S1+S3＝S2+S4， ∵S1＝1，S2＝2，S3＝5， ∴1+5＝2+S4， ∴S4＝4． 【点评】此题主要考查了直角三角形，正方形的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式，难度一般． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题25 勾股定理单元复习讲义（原卷版） 第一部分 知识梳理 一、勾股定理 1. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2 + b2 = c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 2.勾股定理的应用条件：在直角三角形中才可以运用 3.勾股定理表达式的常见变形： a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、b2 = c2 - a2； 、、. 二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足 a2 + b2 = c2，那么这个 三角形是直角三角形. 2.勾股数 满足a2 + b2 = c2的三个正整数，称为勾股数. 3.原命题与逆命题(互为逆定理) 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题. 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理. 第二部分 题型归纳 题型一 直接利用勾股定理 1．（2024•槐荫区月考）阅读：勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．用数学语言表达为：a2+b2＝c2，根据阅读资料，完成以下题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，则c＝（　　） A．5 B．12 C．17 D．13 2．在Rt△ABC中，∠C＝90° ．已知a＝5，c＝10，则b的值为 　 ． 3．（2023春•潼南区期中）Rt△ABC中a＝3，b＝5则c＝　 ． 4．（2024秋•玄武区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，CD⊥AB于D． （1）求AC的长；（2）求CD的长． 题型二 利用勾股定理列方程 5．已知直角三角形两条直角边的长度之比为3：4，斜边长为15，则这个三角形面积是　 　． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，且2a＝3b，c＝2，则a＝ 　，b＝　 　． 7．（2023秋•渠县期中）直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，则直角三角形的面积为 　． 题型三 勾股定理中的巧算（30°、45°的直角三角形） 8．（2023春•合肥期中）直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 9．（2023秋•张掖期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝4，则AB的长是　 ． 10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4．求BC，AC的长． 11．（2024秋•惠山区期中）（1）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC，解直角三角形． （2）已知△ABC中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝3，求AC的长． 12．如图，已知△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10，AD是BC边上的高，求BC的长． 题型四 勾股定理中的面积问题 13．（2022春•赣州期末）如图，以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，若S1＝8cm2，S2＝17cm2，则斜边AB的长是（　　） A．3cm B．6cm C．4cm D．5cm 14．（2023秋•越城区月考）如图，Rt△ABC，∠C＝90°，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，分别以AC、BC、AB为直径作半圆，则当AC＝6，BC＝8时，阴影部分的面积为 　 ． 15．（2021秋•玉门市期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（　　） A．13 B．26 C．34 D．47 16．（2023•鼎湖区三模）如图，正方形ABCD的边长是2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形CDE，以该等腰直角三角形的一条直角边DE为边向外作正方形，其面积标记为S2按照此规律继续作图，则S2021的值为（　　） A． B． C． D． 17．（2022秋•历城区月考）如图，一个零件的形状如图所示，已知∠CAB＝∠CBD＝90°，AC＝3cm，AB＝4cm，BD＝12cm，则CD长为（　　）cm． A．5 B．13 C． D．15 18．（2024秋•工业园区月考）如图，在△ABC中，，∠B＝45°，∠C＝30°，求BC的长． （1）求BC的长（结果保留根号）； （2）求△ABC的面积．（结果保留根号） 19．如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC，若AB＝6，AC＝8． 求：（1）AD的长． （2）求BD和CD的长． 20．在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，求△ABC的周长． 21．（2024秋•左权县期中）阅读小敏的数学日记，思考并解决问题． 2024年9月6日星期五天气：晴 从勾股定理到面积关系的思考 经过《探索勾股定理》一节的学习，我已经知道：如图1，分别以直角三角形ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，则根据勾股定理，易得出S1，S2，S3之间的数量关系：　 　．如果将正方形改成其他图形，那么这个面积关系是否仍然成立呢？ 对此，我展开了探究： 如图2，分别以直角三角形ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，我发现，S1，S2，S3之间有如下数量关系：　 　． 理由如下：… 任务一：如图1，分别以直角三角形ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请写出S1，S2，S3之间的数量关系：　 　； 任务二：如图2，分别以直角三角形ABC的三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，请问：任务一中S1，S2，S3之间的数量关系是否仍然成立？并说明理由； 任务三：如图3，四边形ABCD的对角线互相垂直，现以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．已知S1＝1，S2＝2，S3＝5，则S4＝ 　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$