精品解析：辽宁省葫芦岛市绥中县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期第一次教学质量监测 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 剪纸艺术是国家级第一批非物质文化遗产，下列图案中，是中心对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：不是中心对称图形；是中心对称图形； 是中心对称图形；不是中心对称图形； 是中心对称图形的有2个， 故选：B ． 2. 如图，把一张圆形纸片折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则所对圆心角的度数是（　　） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 【答案】C 【解析】 【分析】如图，作OH⊥AB于H，连接OA．由OA＝2OH，推出∠OAH＝30°即可解决问题． 【详解】解：如图，作OH⊥AB于H，连接OA． 由题意AO＝2OH， ∵∠AHO＝90°， ∴tan∠OAH＝＝， ∴∠OAH＝30°， ∵AB∥CD， ∴∠AOD+∠OAH＝180°， ∴∠AOD＝150°， 故选：C． 【点睛】此题考查的是圆与折叠问题、锐角三角函数和平行线的性质，掌握折叠的性质、特殊角的锐角三角函数值和平行线的性质是解决此题的关键． 3. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在第四象限得，可得，则方程的判别式，即可得． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∴， ∴方程的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了点坐标的特征，根的判别式，解题的关键是掌握这些知识点． 4. 下列抛物线中，与抛物线形状相同、开口方向不同，且顶点坐标为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.根据抛物线与抛物线形状相同、开口方向不同，得到二次项系数为，再根据顶点坐标为，即可得到抛物线的解析式. 【详解】解：抛物线与抛物线形状相同、开口方向不同， 该抛物线的二次项系数为， 顶点坐标为， 该抛物线解析式为 故选：D. 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移法则是解题的关键． 根据“左加右减，上加下减”的平移法则即可得到答案． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 即 故选：C ． 6. 若点关于原点对称的点位于第二象限，则a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解题关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反．由题意可得点位于第四象限，进而得到，解不等式即可． 【详解】解：点关于原点对称的点位于第二象限， 点位于第四象限， ， 解得：， 故选：C． 7. 如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，为直径上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的短路径问题，熟练掌握轴对称的性质，勾股定理，圆周角定理是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，交于点，则此时最小，最小值为，连接，得到，根据勾股定理求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点， 此时最小，最小值为， 连接， ， ， 为弧的中点， ， ， ， ， 是的直径，， ， 的最小值为，   故选：B ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，由题意可得：，，再利用含30度直角三角形的性质，求解即可． 【详解】解：过点作，如下图： 则 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：B 【点睛】此题考查了旋转的性质，坐标与图形，含30度直角三角形的性质，以及勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握相关基础性质． 9. 如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 10. 两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根， 可得，即得，即可得是方租的一个根，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根， 故选：． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 流感是一种传染性极强的疾病，如果有两人患病，经过两轮传染后有人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意正确列出一元二次方程即可． 【详解】解：有两人患传染病，且每轮传染中平均一个人传染了个人， 第一轮传染中有个人被传染，第一轮传染中有个人被传染， 根据题意列方程得：， 整理得：， 故答案为： ． 12. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是：根据题意正确列式． 根据新定义得到，由于有两个不相等的实数根，则，求解即可． 【详解】解：由题意得，， 化简得：， ∵有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 13. 如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，先连接，根据旋转的性质得是等边三角形，再根据勾股定理求得，进而得出答案． 【详解】解：连接， 根据旋转的性质得，， ∵， ∴是等边三角形， ∴, ∴由旋转可得， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，坐标与图形的性质，连接，过点作于点，根据已知可得，根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，求得点的坐标是解题的关键． 作轴于点，交于点，作于点，连接，由于，，得到点的坐标为，则，为等腰直角三角形，根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，则，即可得到答案． 【详解】解：如图，作轴于点，交于点，作于点，连接， 的圆心坐标是， ， 把代入得， 点的坐标为， ， 为等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 用适当的方法解关于x的一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键． （1）方程两边同时加1，然后利用配方法解方程即可． （2）对方程右边进行因式分解，然后移到方程左边，提公因式即可解方程． 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ∴，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的．并写出对应点的坐标． （2）画出绕原点顺时针旋转的． 【答案】（1） 如图，即为所求， 对应点的坐标分别为，，； （2） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】此题考查了坐标系中的旋转和中心对称的作图． （1）找到关于原点对称的对应点，顺次连接即可得到，写出点的坐标即可； （2）找到绕原点顺时针旋转的对应点，顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，延长交于点F． （1）求出的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由旋转证明，，再证明，再结合三角形的内角和定理可得结论； （2）连接，由旋转证明，，再证明为的中点，可得为的垂直平分线，可得，结合，进一步可得答案． 【小问1详解】 解：由旋转得，， ， 、、在同一条直线上， ， ， 在中 ； 【小问2详解】 解：连接， 由旋转得，， ，， ， 为的中点， ， ， 为的垂直平分线， ， ，， ， ，， ， 在中， ． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 19. 随着电商平台的增多和市场竞争的加剧，“双十一”活动的竞争变得更加激烈，到处都弥漫着促销的气息，为了吸引消费者，许多网店商家都会进行打折让利的促销活动．某家网店为了在双十一期间抢占商机，现推出一系列的促销活动，在销售商品时，成本为40元，标价90元． （1）“双十一”购物活动当天，网店连续两次降价销售商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件商品的售价为57.6元？ （2）经调查，该商品每降0.2元，即可多销售100件，已知商品售价57.6元时，可以卖出500件，若该网店希望双十一当天获利13600元，且尽可能扩大销售量，则该商品在连续两次降价的基础上应如何调整？ 【答案】（1）平均每次降价率为20% （2）商品在连续两次降价的基础上再降16元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设平均每次降价率为，根据题意列方程，解方程即可； （2）设该商品在连续两次降价的基础上再降元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：（1）设平均每次降价率为 解得：，（舍） 答：平均每次降价率为． 【小问2详解】 解：该商品在连续两次降价的基础上在降元 解得：， 要扩大销售量 答：商品在连续两次降价的基础上再降元． 20. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA 与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE． （1）求证：∠B=∠D； （2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D； （2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在Rt△ABC中，，可得方程：，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长． 【详解】解：（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90° ∴AC⊥BC ∵DC=CB ∴AD=AB ∴∠B=∠D （2）设BC=x，则AC=x－2， 在Rt△ABC中，， ∴，解得：（舍去）． ∵∠B=∠E，∠B=∠D， ∴∠D=∠E ∴CD=CE ∵CD=CB， ∴CE=CB=． 21. 在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：________，________（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （4）是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或2 （3）存在，秒 （4）存在， 【解析】 【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可； （2）利用勾股定理得到方程，求解即可得到结果； （3）根据长方形的面积减去的面积等于五边形的面积，列出方程，然后求解即可得到结果； （4）根据（3）可知的面积为，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由题意：， 故答案为． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：，． 或2时，； 【小问3详解】 解：存在秒，能够使得五边形的面积等于． 理由如下：长方形的面积是：， 五边形的面积， ， 即， 解得：（不合题意舍去），． 即当秒时，使得五边形的面积等于． 【小问4详解】 解：由题意得， ， 当时，的面积最大． 【点睛】本题考查动态几何问题，矩形的性质，一元二次方程，二次函数最值等知识，利用参数构建方程解决问题是解题的关键． 22. 如图，某商家想在自家商铺门前安装一抛物线型遮阳棚，以地面和墙体分别为x轴和y轴建立直角坐标系，已知遮阳棚的高度与地面水平距离之间的关系式可以用表示，且抛物线经过点，． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求抛物线的函数关系式； （2）求遮阳棚跨度的长； （3）现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢架对遮阳棚进行加固（点分别在x轴，y轴上，且轴，轴），现有库存11米的钢材是否够用？ 【答案】（1） （2）米 （3）够用 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）将两点坐标代入函数解析式，求出即可解决问题． （2）求出点N的坐标即可解决问题． （3）设出点E的坐标，并据此表示出的长，对所给二次代数式进行配发，得出其最大值即可解决问题． 【小问1详解】 解：把，代入得 ，解得： ； 【小问2详解】 解：当时， 解得：， 米； 【小问3详解】 解：设 ， 当时，有最大值 的最大值 现有库存11米的钢材够用． 23. 如图（1），点E，F分别在正方形的边，上，，连接．试猜想、、之间的数量关系． 【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（2）把绕点A逆时针旋转至．可使与重合，由，得．即点共线，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； 小红同学：如图（2）在延长，并在的延长线截取，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； （1）请你选择一名同学的解题思路，得出、、之间的数量关系； 【类比引申】如图（3），点分别在正方形的边，的延长线上，，连接． （2）试猜想、、之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】如图（4），在中，，，点均在边上，且． （3）若，，求出的长． 【答案】（1）小明：， 理由如下：连接，如图（2）    由旋转得： ，，，， 四边形是正方形， ，， ， 、、三点在一条直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 另一个思路： 小红： ，理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （2），理由如下： 把绕点逆时针旋转至，使与重合， 由旋转得： ，，， 四边形是正方形， ，， ， 、、三点在一条直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （3） 【解析】 【分析】（1）先根据旋转得：，计算，即点共线，再根据证明，得，可得结论； （2）如图2，同理作辅助线：把绕点A逆时针旋转至，证明，得，所以； （3）如图3，同理作辅助线：把绕点A逆时针旋转至，证明，得，先由勾股定理求的长，从而得结论． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）把绕点逆时针旋转至，使与重合，连接，， 由旋转得：，，， ，， ， ， ， ，， 在中，根据勾股定理得： ， ， 即， ， ，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ， ， 设， 在中，根据勾股定理得， ， 即， 解得：，（舍）， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质，通过类比联想，引申拓展，可达到解一题知一类的目的，本题通过旋转一三角形的辅助线作法，构建另一三角形全等，得出结论，从而解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期第一次教学质量监测 九年级数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 剪纸艺术是国家级第一批非物质文化遗产，下列图案中，是中心对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，把一张圆形纸片折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则所对圆心角的度数是（　　） A. 120° B. 135° C. 150° D. 165° 3. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（    ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 4. 下列抛物线中，与抛物线形状相同、开口方向不同，且顶点坐标为的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 若点关于原点对称的点位于第二象限，则a的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，，点在上，，为弧的中点，为直径上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 10. 两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 流感是一种传染性极强的疾病，如果有两人患病，经过两轮传染后有人患病，设每轮传染中平均一个人传染了个人，那么所列方程为________________． 12. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为________ 13. 如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为________． 15. 在平面直角坐标系中，的圆心坐标是，半径为，函数的图象被截得的弦的长为，则的值是________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 用适当的方法解关于x的一元二次方程： （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的．并写出对应点的坐标． （2）画出绕原点顺时针旋转的． 18. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，延长交于点F． （1）求出的度数； （2）若，求的度数． 19. 随着电商平台的增多和市场竞争的加剧，“双十一”活动的竞争变得更加激烈，到处都弥漫着促销的气息，为了吸引消费者，许多网店商家都会进行打折让利的促销活动．某家网店为了在双十一期间抢占商机，现推出一系列的促销活动，在销售商品时，成本为40元，标价90元． （1）“双十一”购物活动当天，网店连续两次降价销售商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件商品的售价为57.6元？ （2）经调查，该商品每降0.2元，即可多销售100件，已知商品售价57.6元时，可以卖出500件，若该网店希望双十一当天获利13600元，且尽可能扩大销售量，则该商品在连续两次降价的基础上应如何调整？ 20. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA 与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE． （1）求证：∠B=∠D； （2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长． 21. 在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：________，________（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （4）是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 22. 如图，某商家想在自家商铺门前安装一抛物线型遮阳棚，以地面和墙体分别为x轴和y轴建立直角坐标系，已知遮阳棚的高度与地面水平距离之间的关系式可以用表示，且抛物线经过点，． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求抛物线的函数关系式； （2）求遮阳棚跨度的长； （3）现准备在抛物线上一点E处，安装一直角形钢架对遮阳棚进行加固（点分别在x轴，y轴上，且轴，轴），现有库存11米的钢材是否够用？ 23. 如图（1），点E，F分别在正方形的边，上，，连接．试猜想、、之间的数量关系． 【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（2）把绕点A逆时针旋转至．可使与重合，由，得．即点共线，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； 小红同学：如图（2）在延长，并在的延长线截取，从而证明出，故得出了、、之间的数量关系； （1）请你选择一名同学的解题思路，得出、、之间的数量关系； 【类比引申】如图（3），点分别在正方形的边，的延长线上，，连接． （2）试猜想、、之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】如图（4），在中，，，点均在边上，且． （3）若，，求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $