第07讲 立方根-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（湘教版2024）

第07讲 立方根 课程标准 学习目标 立方根的概念 1.了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根 2.能用类比平方根的方法学习立方根及开立方运算,并能区分立方根与平方根的不同. 3.会用计算器计算一个数的立方根. 知识点01 立方根的求法 立方根:如果一个数b,使得,那么将b叫作a的一个立方根.a的立方根记作,读作“立方根号a”(或“三次根号a”). 开立方:求一个数的 的运算,叫作开立方. 性质:正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0. 【即学即练1】 立方根等于本身的数有（     ） A．1 B．1和0 C．和0 D．0和 【即学即练2】 已知，则的立方根是（   ） A． B．2 C． D． 【即学即练3】 下列说法正确的有（   ） ①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根；②64的平方根是，立方根是；③表示a的平方根，表示a的立方根；④不一定是负数． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 知识点02 立方根的应用 求立方根的两种方法(1)定义法:求一个数a的立方根通常用主方运算,先找出立方等于a的数,写出立方 式,再由立方式写出a的立方根的值;(2)借助计算器:直接利用计算器求一个数a 的立方根. 【即学即练1】 小明和小红各制作了一个正方体盒子，制作完后，小明对小红说：“我制作的盒子的表面积是，你的呢？”小红低头想了一下说：“先不告诉你我制作的盒子表面积是多少，我制作的盒子比你的盒子的体积大，你能算出它的表面积吗？”小明思考一会儿，顺利得到了答案，同学们，你能算出来吗？ 题型01 立方根概念理解 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．的平方根为 B．是9的平方根 C．25的算术平方根是 D．负数没有立方根 【变式1】如果一个数的绝对值为，那么数a在图中数轴上对应的点不可能是（   ） A．点M B．点O C．点P D．点N 【变式2】若，则等于（   ） A． B．0 C．1 D． 题型02 立方根的实际应用 【典例1】一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 【变式1】一个正方体的体积缩小为原来的，则它的棱长缩小为原来的 ． 【变式2】如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力高，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气体时很受欢迎，图②为其示意图，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是 ．（注：球的体积计算公式为） 题型03 计算器——平方根和立方根 【典例1】用计算器求下列各式的值（精确到0.001）： （1） ； （2） ． 【变式1】用计算器求下列各式的值（精确到0.1）： （1） ； （2） ． 【变式2】利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下：，则显示结果为 ． 【变式3】利用计算器计算： ．（结果精确到0.01） 题型04 算术平方根和立方根的综合应用 【典例1】已知，且与互为相反数，求的平方根． 【变式1】已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【变式2】已知的平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 【变式3】已知a，b互为相反数且，c，d互为倒数，m是2的算术平方根，求的值． 一、单选题 1．下列各式正确的为（   ） A． B． C． D． 2．的立方根为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 3．下列各组数中，不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．小华制作了一个棱长为的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的8倍，则小夏制作的正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 5．一次数学游戏活动时，有个同学藏在大木牌后面，女同学的木牌前写的是正数，男同学的木牌前写的是负数，个木牌如下所示，则男生有（　　） A．人 B．人 C．人 D．人 6．的立方根与81的平方根的差是（    ） A．7 B． C．7或11 D．7或 7．类比平方根和立方根，我们定义次方根为：一般地，如果，那么叫的次方根，其中，且是正整数．例如：因为，所以叫81的四次方根，记作：，下列结论中正确的是（   ） A．负数有偶数次方根 B．32的5次方根是 C． D．当为奇数时，2的次方根随的增大而减小 8．下列说法正确的是（   ） A．6的平方根是3 B．8的立方根是 C． D．没有平方根 9． 的立方根是 （ ） A．2 B．2 C．8 D．-8 10．用计算器探索：已知按一定规律排列的20个数：1，，，…，，．如果从中选出若干个数，使它们的和＜1，那么选取的数的个数最多是（  ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 二、填空题 11．已知的算术平方根是3，的立方根是1，则的平方根是 ． 12．若非零实数x，y满足，则 ． 13．已知，则的值是 ． 14．若，则x的值是__________． 15．若与互为相反数，则 . 16．设n是正整数，且是15的倍数，．已知m是完全平方数，是完全立方数，是完全5次方数，则n的最小值是 ． 三、解答题 17．已知的平方等于，是的立方根，表示的平方根． (1)求，，的值； (2)化简关于的多项式：，其中． 18．计算： 19．解下列方程： (1)； (2)． 20．已知实数的算术平方根是，的立方根是2． (1)求、的值； (2)求的平方根． 21．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 立方根 课程标准 学习目标 立方根的概念 1.了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根 2.能用类比平方根的方法学习立方根及开立方运算,并能区分立方根与平方根的不同. 3.会用计算器计算一个数的立方根. 知识点01 立方根的求法 立方根:如果一个数b,使得,那么将b叫作a的一个立方根.a的立方根记作,读作“立方根号a”(或“三次根号a”). 开立方:求一个数的立方根的运算,叫作开立方. 性质:正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0. 【即学即练1】 立方根等于本身的数有（     ） A．1 B．1和0 C．和0 D．0和 【答案】D 【分析】此题主要考查了立方根的运用，熟练掌握一些特殊的数字的特殊性质，如：，0．牢记这些数的特性可以快捷的解决这类问题． 利用立方根的特殊性质即可求解． 【详解】解：立方根都等于它本身的数是0，1，． 故选：D． 【即学即练2】 已知，则的立方根是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，计算，再计算，解答即可． 本题考查了实数的非负性，有理数的乘法，立方根，熟练掌握运算和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【即学即练3】 下列说法正确的有（   ） ①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根；②64的平方根是，立方根是；③表示a的平方根，表示a的立方根；④不一定是负数． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】考查了平方根、立方根的定义及其表示方法， ①根据一对相反数的立方根仍是一对相反数即可判定；②分别求出64的立方根与平方根，然后即可判定；③理清非负数平方根的表示方法；实数立方根的表示方法即可判定；④考虑数0即可判定． 【详解】解：①一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根，故说法①正确； ②64的立方根是4，故说法②错误； ③表示a的算术平方根，故说法③错误； ④，则不一定是负数，故说法④正确； 故选：C． 知识点02 立方根的应用 求立方根的两种方法(1)定义法:求一个数a的立方根通常用主方运算,先找出立方等于a的数,写出立方 式,再由立方式写出a的立方根的值;(2)借助计算器:直接利用计算器求一个数a 的立方根. 【即学即练1】 小明和小红各制作了一个正方体盒子，制作完后，小明对小红说：“我制作的盒子的表面积是，你的呢？”小红低头想了一下说：“先不告诉你我制作的盒子表面积是多少，我制作的盒子比你的盒子的体积大，你能算出它的表面积吗？”小明思考一会儿，顺利得到了答案，同学们，你能算出来吗？ 【答案】能， 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的运算．解答本题的关键是要掌握好正方体的体积公式． 首先利用正方体的表面积公式求出体积，再利用立方根的定义求出棱长进而求出表面积即可． 【详解】解：小明制作的盒子棱长为， 所以其体积为， 则小红制作的盒子的体积为， 其棱长为， 所以其表面积为． 题型01 立方根概念理解 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．的平方根为 B．是9的平方根 C．25的算术平方根是 D．负数没有立方根 【答案】B 【分析】此题考查的是平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握定义是解答本题的关键． 直接根据平方根、立方根、算术平方根的定义解答即可． 【详解】A．，4的平方根是，原说法错误，故本选项不符合题意； B．是9的平方根，原说法正确，故本选项符合题意； C．25的算术平方根是5，原说法错误，故本选项不符合题意； D．负数有立方根，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】如果一个数的绝对值为，那么数a在图中数轴上对应的点不可能是（   ） A．点M B．点O C．点P D．点N 【答案】A 【分析】此题考查立方根定义及绝对值的非负性，解题关键在于掌握其性质，根据绝对值的非负性，即可解答． 【详解】解：一个数的绝对值应该大于等于零，即， 所以数a在数轴上对应的点不可能是点M， 故选：A． 【变式2】若，则等于（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值班的非负性，算术平方根的非负性，非负数的性质，立方根．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 根据非负数的性质得，，求得a、b值，代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 题型02 立方根的实际应用 【典例1】一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式计算即可，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为， 故选：C． 【变式1】一个正方体的体积缩小为原来的，则它的棱长缩小为原来的 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根：若一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根，记作．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：一个正方体的体积缩小为原来的，则它的棱长缩小为原来的． 故答案为：． 【变式2】如图①为一种球形容器，它受力均匀，承载能力高，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气体时很受欢迎，图②为其示意图，现要生产一种容积为的球形容器，则这种容器的半径是 ．（注：球的体积计算公式为） 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的实际应用，解答本题的关键在于熟练掌握立方根的概念及运算．根据球的体积计算公式，进行求解即可． 【详解】解：设容器的半径是，则 ， 解得， 故答案为：． 题型03 计算器——平方根和立方根 【典例1】用计算器求下列各式的值（精确到0.001）： （1） ； （2） ． 【答案】 2.924 【分析】本题考查了用计算器进行数的开立方，解题的关键是按要求取近似值．先利用计算器求值，然后按要求取近似值即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：2.924； （2）， 故答案为：． 【变式1】用计算器求下列各式的值（精确到0.1）： （1） ； （2） ． 【答案】 0.7 【分析】本题考查了利用计算器进行数的开方计算，比较简单，熟练掌握计算器的使用是解题的关键． （1）利用计算器分别进行计算即可得解． （2）利用计算器分别进行计算即可得解． 【详解】解：（1）； 故答案为：0.7； （2）； 故答案为：； 【变式2】利用课本上的计算器进行计算，其按键顺序如下：，则显示结果为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是计算器的使用，求一个数的立方根，根据计算器的按键代表的运算，列出算式可得答案． 【详解】解：根据按键顺序可知：． 故答案为：． 【变式3】利用计算器计算： ．（结果精确到0.01） 【答案】 【分析】本题考查了计算器的使用、精确度，熟练掌握计算器的使用方法是解题关键．根据计算器的使用方法、精确度的定义即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 题型04 算术平方根和立方根的综合应用 【典例1】已知，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性和非负数的性质得，求得，再根据立方根与相反数的性质求得，代入求得，再求出9的平方根即可． 【详解】解：因为，且， 所以，所以． 因为与互为相反数， 所以，解得． 当时，， 所以的平方根为． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性，非负数的性质，立方根，相反相成数，平方根，正确求出x、y、z的值是解题的关键． 【变式1】已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【答案】(1)，， (2)． 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根的定义、无理数的估算等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据立方根和算术平方根的定义即可求出a，b的值； （2）根据无理数的估算求出c的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，解得：． （2）解：∵， ， 由（1）得，， ． ，即的平方根是． 【变式2】已知的平方根是，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义、立方根的定义、算术平方根的定义，解二元一次方程组；由平方根的定义、立方根的定义得，解方程组求出、的值，将其代入整式求值，再求算术平方根即可求解；理解平方根的定义、立方根的定义，会求算术平方根是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ，， ， 解得：， ， ， 故的算术平方根为． 【变式3】已知a，b互为相反数且，c，d互为倒数，m是2的算术平方根，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根定义，算术平方根定义，倒数定义，代数式求值，先根据相反数定义，倒数定义，算术平方根定义得出，，，，然后再代入求值即可． 【详解】解：，互为相反数且， ，， ，互为倒数， ， ， ， 原式． 一、单选题 1．下列各式正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，立方根，平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根、立方根、平方根是解题的关键． 根据求一个数的算术平方根计算并判定A、D；根据立方根一个数的立方要挟的相反数计算并判定B；根据求一个数的平方根计算并判定C． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 2．的立方根为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根．根据立方根的性质解答，即可求解． 【详解】解：的立方根为． 故选：B 3．下列各组数中，不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，求一个数的立方根，根据有理数的乘方运算法则和立方根定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．和，相等，故A不符合题意； B．和，，故B符合题意； C．和，相等，故C不符合题意； D．和，相等，故D不符合题意． 故选：B． 4．小华制作了一个棱长为的正方体，小夏也准备制作一个正方体，其体积是小华制作的正方体体积的8倍，则小夏制作的正方体的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根的定义的应用，正方体的体积等知识点，根据正方体的体积公式计算出这个正方体的体积，再根据立方根的定义解答，熟练掌握立方根的定义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】∵小华制作了一个棱长为的正方体，小夏制作的正方体体积是小华制作的正方体体积的8倍， ∴小夏制作的正方体体积是， ∴小夏制作的正方体的棱长为， 故选：C． 5．一次数学游戏活动时，有个同学藏在大木牌后面，女同学的木牌前写的是正数，男同学的木牌前写的是负数，个木牌如下所示，则男生有（　　） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，先根据有理数的乘方、相反数、立方根、绝对值、有理数的乘法法则分别计算，再根据正数和负数的定义判断即可得出答案，熟练掌握有理数的乘方、相反数、立方根、绝对值、有理数的乘法法则以及正负数的定义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ∴结果是负数的有个，即男同学有人， 故选：． 6．的立方根与81的平方根的差是（    ） A．7 B． C．7或11 D．7或 【答案】D 【分析】此题主要考查了实数的运算．由于81的平方根是，，所以和有两种情况，由此即可求解． 【详解】解：∵，81的平方根是， ∴或． 故选：D． 7．类比平方根和立方根，我们定义次方根为：一般地，如果，那么叫的次方根，其中，且是正整数．例如：因为，所以叫81的四次方根，记作：，下列结论中正确的是（   ） A．负数有偶数次方根 B．32的5次方根是 C． D．当为奇数时，2的次方根随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了方根的意义，本题是阅读型题目，理解并熟练应用n次方根的定义、能对比平方根与立方根解答是解题的关键．利用n次方根的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数， ∴负数a没有偶数次方根， ∴A选项的结论不符合题意； ∵, ∴，故B选项的结论不符合题意； 任何实数a都有奇数次方根， ∵， ∴，当时，，当时，， ∴C选项的结论不符合题意； ∵当为奇数时，2的次方根随的增大而减小， ∴D选项的结论符合题意， 故选：D． 8．下列说法正确的是（   ） A．6的平方根是3 B．8的立方根是 C． D．没有平方根 【答案】D 【分析】此题主要考查了立方根以及算术平方根和平方根的定义，正确区分它们是解题关键． 分别根据平方根以及立方根和算术平方根的定义判断得出即可． 【详解】解：A、6的平方根是，故错误； B、8的立方根是2，故错误； C、，故错误； D、没有平方根，故正确； 故选：D． 9． 的立方根是 （ ） A．2 B．2 C．8 D．-8 【答案】A 【详解】先根据算术平方根的意义，求得=8，然后根据立方根的意义，求得其立方根为2. 故选A. 10．用计算器探索：已知按一定规律排列的20个数：1，，，…，，．如果从中选出若干个数，使它们的和＜1，那么选取的数的个数最多是（  ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【详解】用计算器对上述各数进行计算，部分计算结果列于下表中. (计算值精确到0.001) 原数 1 … 计算值 1.000 0.707 0.577 … 0.236 0.229 0.224 由计算结果可知，这20个数按题目中给出的顺序依次减小. 由于选出的数的和应小于1，所以应该从最小的数开始依次选取若干个数才能满足选取的数的个数最多的要求. 因为， 而， 所以选取的数最多是4个. 故本题应选A. 点睛： 本题综合考查了计算器的使用和规律的分析与探索. 本题解题的关键在于结合各个数的计算值总结出这一系列数的变化规律. 在解决这一类型题目的时候，要注意先分析规律再利用所得的规律和题意寻找突破口. 盲目尝试不仅费时费力而且容易出错. 二、填空题 11．已知的算术平方根是3，的立方根是1，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的应用，解此题的关键是求出x、y的值． 根据算术平方根、立方根的定义求出x、y的值，求出的值，再根据平方根定义求出即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴ 解得：， ∵的立方根是1， ∴ 解得：， ∴ ∴的平方根是． 故答案为：． 12．若非零实数x，y满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算以及相反数．根据和为0的两个数互为相反数，可得，从而得结论． 【详解】解：∵非零实数x，y满足， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．已知，则的值是 ． 【答案】0或2/2或0 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出x的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴或或， 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的值是0或2， 故答案为：0或2． 14．若，则x的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 15．若与互为相反数，则 . 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根的定义和非负数的性质：如果几个非负数的和为0，那么每一个非负数都为0．由于与互为相反数，那么它们的和为0，然后根据非负数的性质即可得到它们每一个等于0，由此即可得到关于a、b的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 而， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．设n是正整数，且是15的倍数，．已知m是完全平方数，是完全立方数，是完全5次方数，则n的最小值是 ． 【答案】 【分析】由，，是完全立方数，可设，1，，，，，又由是完全平方数，可设，，，即可表示出，又由是完全5次方数，即可设，，，求得，1，，，，则可求得答案． 【详解】解：， 又，是完全立方数， 即是完全立方数， 设，1，，，，， 是完全平方数， 设，，， ，1，，，，， ，1，，，，， 是完全5次方数， 设，，， ，1，，，， 取最小值：，可得：， ； 故答案为． 【点睛】此题考查了完全平方数的应用．此题难度较大，解题的关键是根据题意设，1，，，，，然后利用同样的方法，表示出，1，，，，． 三、解答题 17．已知的平方等于，是的立方根，表示的平方根． (1)求，，的值； (2)化简关于的多项式：，其中． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查平方根、立方根，整式的加减； （1）由平方根和立方根的概念求出，，的值； （2）根据所求、、的值知原式，去绝对值符号、去括号、合并同类项即可求解． 【详解】（1）解：，的立方根是，表示的平方根， ，，， ，，； （2）解：， ， ，，， ． 18．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了平方、绝对值、平方根、立方根的基本运算，以及实数的加减运算．在计算绝对值时，要先判断绝对值内式子的正负性，再根据绝对值的性质进行化简．对于平方根和立方根，要牢记常见数的平方根和立方根的值，以及它们的运算规则． 【详解】解：原式 19．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查根据平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．已知实数的算术平方根是，的立方根是2． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出a的值，根据立方根的定义求出b的值； （2）将a、b的值代入中计算，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 21．我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)求． ①由，，可以确定是 位数； ②由59319的个位上的数是9，可以确定的个位上的数是 ； ③如果划去59319后面的三位319得到数59，而，可以确定的十位上的数是 ，由此求得 ． (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ① ，② ． 【答案】(1)①两；②9；③3；39 (2)①；②0.81 【分析】本题主要考查了立方根的概念的运用，解题关键在于比较立方根的大小． 通过比较立方根的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：①，，， ， 是两位数， 故答案为：两； ②的个位上的数是9，而， 个位上都是9， 的个位上的数是9， 故答案为9； ③，，， 的十位上的数是3， 又 的个位上的数是9， ， 故答案为：3，39； （2）解：①的立方根是负数， ，，， ， 是两位数， ∵的前三位为117，后三位为649，，， ， 十位上的数为4， ∵的个位上的数是9，而， 个位上是9， ∴的立方根为49， ∴； ②∵， ∵，，， ， 是两位数， ∵的前三位为531，后三位为441，而， ∴， ∴十位数为8， ∵， ∴个位数是1， ∴531441的立方根为81， ∴， 故答案为：，0.81． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$