第06讲 平方根-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（湘教版2024）

第06讲 平方根 课程标准 学习目标 平方根的概念 无理数的概念 1.了解平方根和算术平方根的概念及性质 2.会求一个非负数的平方根与算术平方根，弄清两者的区别 3.了解无理数的意义，了解数系由有理数向实数扩展的过程. 知识点01 平方根 平方根:如果有一个数r,使得,那么我们把r叫作a的一个平方根,也叫作二次方根. 注意:(1)负数没有 ,0的平方根是 ;(2)一般地,如果r是正数a 的一个平方根那么a的平方根有且只有 :r与-r. 【即学即练1】 的倒数是（   ） A． B． C． D． 知识点02 算术平方根 算术平方根:正数a的正平方根叫作a的算术平方根,记作,读作“根号a”. 注意:“正数”和“正平方根”,即算术平方根具有双重非负性. 【即学即练1】 1．的算术平方根是（   ） A．2 B．4 C． D． 知识点03 无理数的概念 无理数:无限不循环小数叫作无理数. 【即学即练1】 在数、0、、中，为无理数的是（   ） A． B．0 C． D． 题型01 平方根概念理解 【典例1】下列说法中不正确的是（   ） A．10的平方根是 B．是4的一个平方根 C．的平方根是 D．0.01的算术平方根是0.1 【变式1】下列正确的是（　　） A．6是36的算术平方根，即 B．6是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即± D．是4的平方根，即 【变式2】的平方根分别是，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 题型02 平方根的应用 【典例1】若2025的两个平方根是和，则的值是（   ） A．0 B．2025 C． D．4050 【变式1】已知正方形的面积是5，那么它的边长是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若的平方根是它本身，则的值是 ． 【变式3】若一个正数的两个平方根为和，则 ． 题型03 无理数的概念 【典例1】下列实数中，无理数是（   ） A．3.1415926 B． C． D． 【变式1】在下列数：，，0，，，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】下列各数中∶  ，，，，，，无理数有（    ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【变式3】若实数满足，则 是无理数（填“一定”“不一定”或“一定不”）． 一、单选题 1．4的平方根是（   ） A．4 B．2 C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 3．若的平方是9，的平方是25，且，则的值是（   ） A． B．或 C．或8 D．8或 4．已知，若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 5．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在等边三角形中，是的中线，点E为的中点，，P是上一个动点，则的最小值是（） A． B．2 C． D．3 7．我们经常会听到有人惊叹年轻时尚的妈妈与女儿像同龄人，一位同学声称可以证明母女年龄“的确”会相同，并证明如下： 设母亲的年龄为，女儿的年龄为，母女年龄之和为，则：， 两边同乘，得，① 移项，得， 两边加上，得，② 即，③ 两边开方，得，④ 即，母女年龄相同， 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 8．若，则的倒数是（   ） A．2 B． C． D． 9．已知：（n是自然数）．那么的值是（    ） A． B． C． D． 10．有个依次排列的整式：第项是，用第项减去得到，将乘以得到第项，再将第项减去得到，将乘以得到第项，…，以此类推，下面四个结论中正确的个数为（   ） 方程的实数解为； ；第项；若为整数，且值为整数，则的取值个数为个． A． B． C． D． 二、填空题 11．若和都是同一个正数的平方根，则这个正数是 ． 12．已知，则的平方根是 ． 13．已知某数的一个平方根为，它的另一个平方根是 ． 14．已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是 ． 15．若，则 ． 16．下列各数：，，，中，无理数有 个． 17．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式： ，则的值为 ． 三、解答题 18．已知一个正数x的两个平方根分别是和，求a和x的值． 19．求下列各数的算术平方根： (1)900； (2)1； (3)； (4)14． 20．已知是实数，且与互为相反数，求的平方根． 21．已知一个正数的两个平方根分别是和，求m和这个正数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 平方根 课程标准 学习目标 平方根的概念 无理数的概念 1.了解平方根和算术平方根的概念及性质 2.会求一个非负数的平方根与算术平方根，弄清两者的区别 3.了解无理数的意义，了解数系由有理数向实数扩展的过程. 知识点01 平方根 平方根:如果有一个数r,使得,那么我们把r叫作a的一个平方根,也叫作二次方根. 注意:(1)负数没有平方根,0的平方根是0;(2)一般地,如果r是正数a 的一个平方根那么a的平方根有且只有两个:r与-r. 【即学即练1】 的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的概念．解题的关键是熟练掌握概念． 根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据定义进行计算，即可得到答案． 【详解】∵，而， ∴的倒数是． 故选：B． 知识点02 算术平方根 算术平方根:正数a的正平方根叫作a的算术平方根,记作,读作“根号a”. 注意:“正数”和“正平方根”,即算术平方根具有双重非负性. 【即学即练1】 1．的算术平方根是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根，先求出，再求出4的算术平方根是即可. 【详解】解：， ∴4的算术平方根是， 即的算术平方根是， 故选：A 知识点03 无理数的概念 无理数:无限不循环小数叫作无理数. 【即学即练1】 在数、0、、中，为无理数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0）． 【详解】解：、0、是有理数； 是无理数． 故选C． 题型01 平方根概念理解 【典例1】下列说法中不正确的是（   ） A．10的平方根是 B．是4的一个平方根 C．的平方根是 D．0.01的算术平方根是0.1 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、10的平方根是，原说法正确，不符合题意； B、是4的一个平方根，原说法正确，不符合题意； C、的平方根是，原说法错误，符合题意； D、0.01的算术平方根是0.1，原说法正确，不符合题意； 故选C． 【变式1】下列正确的是（　　） A．6是36的算术平方根，即 B．6是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即± D．是4的平方根，即 【答案】B 【详解】本题考查平方根、算术平方根的概念，根据平方根、算术平方根的定义逐项进行判断即可． 【解答】解：A．6是36的算术平方根，即，因此选项A不符合题意； B．6是的算术平方根，即，因此选项B符合题意； C．是49的平方根，即，因此选项C不符合题意； D．是4的平方根，即，因此选项D不符合题意． 故选：B． 【变式2】的平方根分别是，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了平方根的意义．正数的平方根有两个，一个正的平方根和一个负的平方根，且互为相反数，据此进行解答即可． 【详解】解：∵，的平方根分别是，， ∴，互为相反数且都不为0， ∴， ∴， 故选：B 题型02 平方根的应用 【典例1】若2025的两个平方根是和，则的值是（   ） A．0 B．2025 C． D．4050 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键，平方根：如果，则x叫做a的平方根，记作“ ”．根据平方根的定义即可求解，正数的平方根互为相反数． 【详解】解：∵2025的两个平方根是m和n， ∴ ， 故选：C 【变式1】已知正方形的面积是5，那么它的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根． 设正方形的边长为 ，根据题意可得，根据平方根的定义解出即可． 【详解】解：设正方形的边长为 ，根据题意得： ，解得： 或 （不合题意，舍去）． 故选：B． 【变式2】若的平方根是它本身，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵的平方根是它本身， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式3】若一个正数的两个平方根为和，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的应用，解一元一次方程等知识点，熟练掌握平方根的应用是解题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数可列出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根为和， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型03 无理数的概念 【典例1】下列实数中，无理数是（   ） A．3.1415926 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根，立方根，根据无理数的定义，即可求解． 【详解】解：A. 是有理数，故该选项不符合题意；     B. 是有理数，故该选项不符合题意；         C. 是有理数，故该选项不符合题意；         D. 是无理数，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】在下列数：，，0，，，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据循环节，有理数的定义，无理数的定义判断即可． 本题考查了无理数即无限不循环小数，循环节，有理数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵，，0，，是有理数， ，是无理数； 故选：B． 【变式2】下列各数中∶  ，，，，，，无理数有（    ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数即无限不循环小数，先求出的立方根，然后再一一判断即可． 【详解】解：， 则这些数中，无理数的有，，是无理数，共3个， 故选：B． 【变式3】若实数满足，则 是无理数（填“一定”“不一定”或“一定不”）． 【答案】不一定 【分析】本题考查了无理数和实数的运算，掌握无理数的定义是解答本题的关键． 根据无理数的定义和实数的运算判断即可． 【详解】解：当时，，是有理数， 当时，，是无理数， ∴不一定是无理数． 故答案为：不一定． 一、单选题 1．4的平方根是（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平方根的定义，解题注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数． 根据平方根的概念即可求出结果． 【详解】解：4的平方根是， 故选：C． 2．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是3 B． C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3 【答案】C 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根，根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故的平方根是，故原选项说法错误，不符合题意； B、，故原选项说法错误，不符合题意； C、4的算术平方根是2，故原选项说法正确，符合题意； D、9的立方根是，故原选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 3．若的平方是9，的平方是25，且，则的值是（   ） A． B．或 C．或8 D．8或 【答案】B 【分析】此题考查了代数式求值，平方根，熟练掌握运算法则确定与的值是解本题的关键． 根据题意，利用平方根的定义求出与的值，即可确定出原式的值． 【详解】解：∵的平方是9，的平方是25， ∴，， 又∵，即， ∴或， ∴或， 故选：B． 4．已知，若，则x的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了被开方数的变化与算术平方根之间的变化规律，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动2位，它的算术平方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．先求出的平方根，再求出的平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】A．是有限小数，是有理数，故本选项不符合题意； B．是分数，是有理数，故本选项不符合题意； C．是整数，是有理数，故本选项不符合题意； D．开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 6．如图，在等边三角形中，是的中线，点E为的中点，，P是上一个动点，则的最小值是（） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，两点之间线段最短，能够将两线段的和的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．连接，，可推出的最小值为的长，再根据等边三角形的性质，可得，从而解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 在等边三角形中，是的中线， 所在的直线是等边三角形的对称轴， ， ， 的最小值为的长， 点为的中点， 也是等边三角形的中线， ， 的最小值是2． 故选：B． 7．我们经常会听到有人惊叹年轻时尚的妈妈与女儿像同龄人，一位同学声称可以证明母女年龄“的确”会相同，并证明如下： 设母亲的年龄为，女儿的年龄为，母女年龄之和为，则：， 两边同乘，得，① 移项，得， 两边加上，得，② 即，③ 两边开方，得，④ 即，母女年龄相同， 以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质、完全平方公式、平方根，熟知一个正数的平方根有两个，且互为相反数是解答的关键．根据等式的性质、完全平方公式和平方根的定义逐步判断即可得到答案． 【详解】解：根据平方根的定义，第④步出现错误，应为或， 即或， 故选：D． 8．若，则的倒数是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的求解，涉及了绝对值和算术平方根的非负性，算术平方根的求解以及倒数的概念，解题的关键是灵活运用相关基本知识进行求解． 根据绝对值和算术平方根的非负性，得到关于的二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即，化简可得， ①+②得：，解得， 将代入①得，，解得， ∴， ∴的倒数是， 故选：C 9．已知：（n是自然数）．那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算 再求解 再化简 再计算即可得到答案. 【详解】解：由题意得：， ∴ ， 则 ∴． 故选D． 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，算术平方根的含义，负整数指数幂的含义，幂的运算，熟知以上运算的运算法则是解题的关键. 10．有个依次排列的整式：第项是，用第项减去得到，将乘以得到第项，再将第项减去得到，将乘以得到第项，…，以此类推，下面四个结论中正确的个数为（   ） 方程的实数解为； ；第项；若为整数，且值为整数，则的取值个数为个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式运算、求一个数的平方根、数字规律探究，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据题意探索出，的规律所在，然后根据规律逐一验证即可解答． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 当， 即， 解得：或，故错误； ，故正确； ，故正确； ， 为整数，且值为整数， 的值为，，，，，，，， 的取值为，，，，，，，， 整数的取值为，，，，的取值个数为个，故正确； 综上，正确的有，共个， 故选：B． 二、填空题 11．若和都是同一个正数的平方根，则这个正数是 ． 【答案】25或225/225或25 【分析】本题考查平方根，分类讨论，根据正数的平方根互为相反数，两平方根相加等于0求出a值，再求出一个平方根，平方就可以得到这个正数；或者这个两个数是同一个数求解． 【详解】解：由题可知， ①， 解得， 这个正数为； ②， 解得：， 所以这个正数为：， 故答案为：25或225． 12．已知，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根的意义，先根据算术平方根的非负性求出a，b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 故答案为：． 13．已知某数的一个平方根为，它的另一个平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求平方根．根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数解答即可． 【详解】解：已知某数的一个平方根为，它的另一个平方根是， 故答案为：． 14．已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．首先根据的平方根是，可得：，据此求出的值是多少；然后根据的算术平方根是4，可得： ，据此求出的值是多少，进而求出的平方根是多少即可． 【详解】解：的平方根是， 解得； 的算术平方根是4， 解得， 的平方根是：． 故答案为：． 15．若，则 ． 【答案】4或6/6或4 【分析】本题考查了算术平方根的性质，解决本题的关键是熟练掌握算术平方根的有关性质，根据算术平方根等于它本身的数有0和1计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或， 故答案为：4或6． 16．下列各数：，，，中，无理数有 个． 【答案】2 【分析】此题主要考查了无理数的定义：无限不循环小数是无理数，根据定义即可判断．注意带根号的要开不尽方才是无理数． 【详解】解：是整数，是有理数；是无限循环小数，是有理数； 和符合无理数的定义， 故答案为：2． 17．设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式： ，则的值为 ． 【答案】0 【分析】利用二次根式被开方数非负性得到x、y、z大小关系，最后由符号之间的关系推导得到及y、z等量关系，最后直接计算整式的值即可． 【详解】及且x、y、z是两两不等的实数， 且， ， ，， 与、均同号，或， 又，，故、不同号， ， ， ， 故答案为0． 【点睛】本题考查二次根式的运算，由二次根式被开方数的非负性推导求值，通常这类由一个含有二次根式的式子进行求值的题，都能得到特殊大小或关系，从而求解目标式子，正确的利用二次根式被开方数的非负性推导字母符号和关系是解题的关键． 三、解答题 18．已知一个正数x的两个平方根分别是和，求a和x的值． 【答案】， 【分析】本题考查了平方根的意义，正数x有两个平方根，分别是和，所以和互为相反数，可求出a；根据，代入可求出x的值． 【详解】解：依题意可得 解得：， ∴， ∴，． 19．求下列各数的算术平方根： (1)900； (2)1； (3)； (4)14． 【答案】(1)30 (2)1 (3) (4) 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可解答； （2）根据算术平方根的定义即可解答； （3）根据算术平方根的定义即可解答； （4）根据算术平方根的定义即可解答； 【详解】（1）∵， ∴900的算术平方根为30； （2）∵， ∴1的算术平方根为1； （3） 的算术平方根为; （4）, 的算术平方根为. 20．已知是实数，且与互为相反数，求的平方根． 【答案】 【详解】本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组，求平方根．根据非负数的性质可得关于x，y的方程组，求出x，y的值，即可求解． 解：与互为相反数， ， ， 解得， ， 的平方根为． 21．已知一个正数的两个平方根分别是和，求m和这个正数． 【答案】， 【分析】本题考查了平方根的定义，正确把握正数的平方根是一对相反数是解题关键．根据一个数的两个平方根互为相反数，列方程解答即可． 【详解】解：和是同一个正数的两个平方根， ， 解得， 则，， 这个正数为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$