2.1.1平方根和算术平方根课件2025-2026学年湘教版数学七年级下册

湘教版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月10日 2.1.1平方根和算术平方根 第2章 实数 湘教版数学七年级下册2.1.1 平方根和算术平方根练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕平方根和算术平方根知识点设计，涵盖平方根的定义、算术平方根的定义、求法及简单应用，分基础巩固、能力提升、拓展应用三个层次，旨在帮助同学们熟练掌握两个概念的区别与联系，灵活解决相关问题，时长建议25分钟。 一、基础巩固题（每题10分，共40分） 1. 判断下列说法是否正确，错误的请改正。 （1）16的平方根是4 （ ） 改正：________ （2）0的算术平方根是0 （ ） 改正：________ （3）-9的平方根是±3 （ ） 改正：________ （4）算术平方根一定是正数 （ ） 改正：________ 2. 直接写出下列各数的平方根和算术平方根。 （1）64：平方根________，算术平方根________ （2）0.25：平方根________，算术平方根________ （3）$$\frac{1}{16}$$：平方根________，算术平方根________ （4）0：平方根________，算术平方根________ 3. 求下列各数的平方根。 （1）121 （2）$$\frac{49}{81}$$ （3）0.0016 （4）10⁻⁴ 4. 填空：若x的算术平方根是3，则x = ________；若$$\sqrt{a} = 5$$，则a = ________；若$$\pm\sqrt{x} = \pm 4$$，则x = ________。 二、能力提升题（每题15分，共30分） 1. 计算下列各式的值。 （1）$$\sqrt{36} + \sqrt{49}$$（2）$$\sqrt{0.09} - \sqrt{\frac{1}{25}}$$ （3）$$\pm\sqrt{1 - \frac{7}{16}}$$ 2. 求下列各式中x的值。 （1）$$x^2 = 25$$ （2）$$4x^2 = 81$$ （3）$$(x - 2)^2 = 16$$ 三、拓展应用题（每题15分，共30分） 1. 已知一个正数的两个平方根分别是2a - 5和a + 1，求这个正数及其算术平方根，并说明理由。 2. 已知$$\sqrt{x - 2} + \sqrt{y + 3} = 0$$，求$$(x + y)^2$$的平方根和算术平方根。 参考答案 一、基础巩固题 1. （1）×，16的平方根是±4；（2）√；（3）×，-9没有平方根；（4）×，算术平方根是非负数（0的算术平方根是0） 2. （1）±8，8；（2）±0.5，0.5；（3）$$\pm\frac{1}{4}$$，$$\frac{1}{4}$$；（4）0，0 3. （1）±11；（2）$$\pm\frac{7}{9}$$；（3）±0.04；（4）±0.01 4. 9；25；16 二、能力提升题 1. （1）13（解析：$$\sqrt{36}=6$$，$$\sqrt{49}=7$$，6+7=13）；（2）0.1（解析：$$\sqrt{0.09}=0.3$$，$$\sqrt{\frac{1}{25}}=0.2$$，0.3-0.2=0.1）；（3）$$\pm\frac{3}{4}$$（解析：$$1 - \frac{7}{16}=\frac{9}{16}$$，$$\pm\sqrt{\frac{9}{16}}=\pm\frac{3}{4}$$） 2. （1）x=±5；（2）$$x=\pm\frac{9}{2}$$；（3）x=6或x=-2（解析：$$x-2=\pm4$$，解得x=6或x=-2） 三、拓展应用题 1. 这个正数是9，算术平方根是3（解析：正数的两个平方根互为相反数，故2a-5 + a+1=0，解得a=$$\frac{4}{3}$$；则其中一个平方根为2×$$\frac{4}{3}$$-5=-$$\frac{7}{3}$$，另一个为$$\frac{7}{3}$$，这个正数为$$(\pm\frac{7}{3})^2=\frac{49}{9}$$，修正：解析：正数的两个平方根互为相反数，故2a-5 + a+1=0，解得a=$$\frac{4}{3}$$；则a+1=$$\frac{7}{3}$$，这个正数为$$(\frac{7}{3})^2=\frac{49}{9}$$，算术平方根为$$\frac{7}{3}$$） 2. 平方根是±1，算术平方根是1（解析：由算术平方根的非负性，$$\sqrt{x-2}\geq0$$，$$\sqrt{y+3}\geq0$$，且和为0，故x-2=0，y+3=0，解得x=2，y=-3；$$(x+y)^2=(2-3)^2=1$$，1的平方根是±1，算术平方根是1） 温馨提示：解题时需牢记平方根与算术平方根的区别与联系——一个正数有两个平方根，它们互为相反数，算术平方根是其中的非负平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根；易错点为混淆两个概念、忽略算术平方根的非负性，计算时需仔细验证结果。 1.了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示 一个数的算术平方根.（重点） 2.会求非负数的平方根与算术平方根.（难点） 学习目标 请你说一说解决问题的思路． 　　学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 平方根 问题引导 1 （1）若正方形画布的面积如下，请填表： （2）你能指出它们的共同特点吗？ 正方形的面积/dm2 1 9 16 36 正方形的边长/dm 都是已知一个数的平方，求这个数的问题. 1 3 4 6 填一填: 问题 如果一个数的平方等于 9，那么这个数是多少？ 想一想：3 和 -3 有什么特征？ 由于 ， 所以这个数是 3 或 -3. 3 和 -3 互为相反数，会不会是巧合呢 根据上面的研究过程填表： 如果我们把 　 分别叫作 　 的平方根，你能给出平方根的概念吗？ 根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数. 由此我们抽象出下述概念： 如果有一个数 r，使得 r2 = a，那么 r叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根. 总结归纳 因为边长大于 2 的正方形，它的面积一定大于 4，所以，比 2 大的数都不是 4 的平方根. 边长为 2 边长为 4 < > 类似地，边长小于 2 的正方形， 它的面积一定小于 4，因此， 比 2 小的正数都不是 4 的平方根. 思考：除了 2 和 －2 以外，4 的平方根还有其他的数吗？ 如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与 -r. 这样，正数 a 的平方根可以用 “ ”来表示. 把正数 a 的负平方根记作 ，读作“负根号 a”. 我们把正数 a 的正平方根记作 ，读作“根号a”； 总结归纳 由于 02 = 0，而非零数的平方不等于 0，因此零的平方根就是 0 本身. 由于同号两数相乘得正数，且 02 = 0，即在迄今为止我们所认识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，因此负数没有平方根. 小结：正数平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是 0；负数没有平方根. 说一说 零的平方根是多少？负数有平方根吗？ 例1 分别求下列各数的平方根：36， ，1.21. 解：由于 62 = 36， 因此 36 的平方根是 6 与 -6. 即 由于 1.12 = 1.21， 因此 1.21 的平方根是 1.1 与 -1.1. 即 由于 ， 因此 的平方根是 与 . 即 典例精析 例2 已知一个正数的两个平方根分别是 2a－2和 a－4，则 a 的值是________． 方法总结：本题考查了平方根的概念．一个正数有两个平方根，它们是互为相反数，两个数互为相反数，它们的和为 0. 解析：因为一个正数的两个平方根分别是 2a－2 和 a－4， 所以2a－2＋a－4＝0，解得 a＝2. 2 我们把正数 a 的正平方根 叫作 a 的算术平方根. 思考：正数、负数、0 的算术平方各有几个？ 正数的算术平方根是一个正数， 0 的算术平方根还是 0， 负数没有算术平方根. 算术平方根的概念及性质 2 算术平方根具有双重非负性 a 的算术平方根 算术平方根的性质 非负数 非负数 例3 分别求下列各数的算术平方根： （1）100； （2） ； （3）0.49. 解：(1) 由于 102 = 100，因此 . (3) 由于 0.72 = 0.49，因此 . (2) 由于 = ，因此 . 例4 若 |m - 1| + = 0，求 m + n 的值. 方法归纳：几个非负式的和为 0，则每个式均为 0，初中阶段学过的非负式有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根. 解：因为 | m - 1| ≥0， ≥0， 又 | m - 1| + = 0， 所以 | m - 1 | = 0， = 0. 所以 m = 1，n = -3. 所以 m + n = 1 + (-3) = -2. 1. 包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种. 平方根与算术平方根的联系与区别： 2. 只有非负数才有平方根和算术平方根. 3. 0 的平方根是 0，算术平方根也是 0. 联系： 区别： 1. 个数不同：一个正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根. 2. 表示法不同：平方根表示为± ， 而算术平方根表示为 . 1. 分别求下列各数的平方根： 练 习 （1）64； （2） ；（3）6.25. 解：（1） ； （2） ； （3） . 随堂练习 2. 分别求下列各数的算术平方根： （1）81； （2） ；（3）0.16. 解：（1） ； （2） ； （3） . 随堂练习 3. 判断下列说法是否正确，并说明理由. （1） 的值是±4；（2）(－4)2 的平方根是－4. 解：（1）不正确， ； （2）不正确， (－4)2 的平方根是±4. 随堂练习 1. 的平方根的数学表达式是( ) D A. B. C. D. 2. 的算术平方根是( ) D A. B. C. D. 0.64 中考考法 21 3. 下面语句中正确的是( ) D A. 64的平方根是 B. 的平方根是 C. 的平方根是 D. 0的平方根和算术平方根都是0 中考考法 22 4. 的平方根是_______. 5. 完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是 ___. 6. 当为_ ___时， 有最小值，最小值为___. 5 6 中考考法 23 7. 教材P33习题T3 求下列各式的值： （1） ； 【解】 . （2） ； . 中考考法 24 （3） . . 中考考法 25 8. 求下列各式中 的值： （1） ； 【解】，, , 解得 . （2） . ，， ， 解得或 . 中考考法 26 9. 已知一个正数的两个平方根分别是和 . （1）求这个正数； 【解】由题意可得 ， 解得 ， 所以这个正数是 . （2）求 的算术平方根. 由（1）知，所以 . 中考考法 27 10. 如果是一个整数，那么整数 可取的值 共有( ) A A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 11. 若与 的和是单项式，则 的平方根为____. 【点拨】因为与的和是单项式，所以 ， .所以.所以 的平方根 是 . 中考考法 28 平方根的概念 正数的平方根 负数的平方根 0 的平方根 正平方根 → → （没有） （就是 0 本身） 负平方根 算术平方根 ↑ 课堂小结 $