第2章 实数单元测试卷-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（湘教版2024）

实数单元测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1．下列实数中，属于无理数的是（　　） A．﹣2 B．0 C． D．5 2．36的算术平方根是（    ）． A． B．-6 C．6 D．36 3．估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 4．若是一个数的算术平方根，则（  ） A． B． C． D． 5．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ）．    A． B． C． D． 6．下列无理数中，大小在3与4之间的是（    ）． A． B． C． D． 7．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．已知 是整数，则满足条件的最小正整数n为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．b D． 10．下列说法正确的是（ ） A．精确到百分位 B．5的平方根是 C．2.60精确到百分位 D．是无理数 二、填空题（共8小题，每小题3分，合计24分） 11．若实数a、b满足|a2+3|+＝3．则a+b＝ ． 12．计算： ． 13．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是 ． 14．若某正数的两个平方根分别是与，则b的立方根是 ． 15．已知为实数，规定运算：，，，……，．按以上算法计算：当时，的值等于 ． 16．若实数a、b满足，则 . 17．如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ．    18．定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么 ． 三．解答题（共8小题，合计66分） 19．（6分）把下列各数填在相应的大括号内： ，，0，，，，，(1和3之间的2逐次加1个)． 整数：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 分数：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 无理数：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}． 20．（6分）计算：（1）；      （2）． 21．（8分）观察下列等式: 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 按以上规律解答下列问题： （1）列出第四个等式_______________. （2）计算的结果 22．（8分）已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 23．（9分）已知一个正数的两个平方根分别为a和2a－9. (1)求a的值，并求这个正数； (2)求17－9a2的立方根． 24．（9分）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 25．（10分）[新考法阅读类比法]先阅读（1）的解法，再解答第（2）题． （1）已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值． 解：，，即． ∵a，b为有理数，也为有理数． 解得 （2）已知m，n是有理数，且m，n满足等式，求的立方根． 26.（10分）阅读材料： 我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（、均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部． 复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如 计算：； 根据上述材料，解决下列问题： (1)填空：____，_____； (2)计算：； (3)将化为（、均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 实数单元测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1．下列实数中，属于无理数的是（　　） A．﹣2 B．0 C． D．5 【答案】C 【分析】无理数是指无限不循环小数，根据定义逐个判断即可． 【详解】解:﹣2、0、5是有理数，是无理数． 故选：C． 【点睛】本题考查了对无理数定义的应用，能理解无理数的定义是解此题的关键. 2．36的算术平方根是（    ）． A． B．-6 C．6 D．36 【答案】C 【分析】由算术平方根的定义，即可得到答案． 【详解】解：36的算术平方根为． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是熟记定义进行解题． 3．估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】B 【分析】化简原式等于，因为，所以，即可求解； 【详解】解：， ∵， ， 故选B． 【点睛】本题考查估算无理数的大小；能够将给定的无理数锁定在相邻的两个整数之间是解题的关键． 4．若是一个数的算术平方根，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义即可列出不等式求出a的范围. 【详解】解：一个非负数才有算术平方根，且该数的算术平方根大于或等于0， ∴a−3⩾0 ∴a⩾3 故选B. 【点睛】本题考查了算术平方根的定义. 5．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数在数轴上的位置，判断实数的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：由图可知，，， A、，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确； 故选D． 【点睛】本题考查利用数轴比较实数的大小关系．正确的识图，掌握数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键． 6．下列无理数中，大小在3与4之间的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的估算可得答案，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键 【详解】解：∵，，而，， ∴大小在3与4之间的是， 故选：C． 7．若，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无理数的估算判断出，，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故选：C． 【点睛】此题考查了实数的大小比较，无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键． 8．已知 是整数，则满足条件的最小正整数n为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题关键．首先化简二次根式进而得出的最小值． 【详解】解： 是整数， 最小正整数的值是：5． 故选：D 9．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果为（   ） A． B． C．b D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，化简绝对值，根据数轴可知，，得到，从而化简绝对值，计算出结果即可． 【详解】解：观察数轴，可知，， ， ， 故选：C． 10．下列说法正确的是（ ） A．精确到百分位 B．5的平方根是 C．2.60精确到百分位 D．是无理数 【答案】C 【分析】根据近似数、平方根、无理数的定义解答即可． 【详解】A．3.14×103精确到十位，故本选项错误； B．5的平方根是±，故本选项错误； C．2.60精确到百分位，正确； D．是有理数，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了近似数、平方根、无理数．对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错． 二、填空题（共8小题，每小题3分，合计24分） 11．若实数a、b满足|a2+3|+＝3．则a+b＝ ． 【答案】9 【分析】直接利用算术平方根的性质以及绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵a2≥0， ∴a2+3＞0， ∴|a2+3|＝a2+3， ∵|a2+3|+＝3， ∴a2+3+＝3， ∴a2+＝0， ∴a2＝0，＝0， ∴a＝0，b＝9， ∴a+b＝0+9＝9． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 12．计算： ． 【答案】 【分析】估算的大小从而确定−1的符号，再根据绝对值的定义及零指数幂的意义即可完成． 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了算术平方根据的估值，绝对值的意义，零指数幂的意义等知识，关键是掌握绝对值的意义和零指数幂的意义，并能对算术平方根正确估值． 13．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是 ． 【答案】1 【分析】先估算出，再估算出即可完成求解． 【详解】解：∵； ∴； 因为1.236介于整数1和2之间， 所以; 故答案为：1． 【点睛】本题考查了对算术平方根取值的估算，要求学生牢记的近似值或者能正确估算出的整数部分即可；该题题干前半部分涉及到数学文化，后半部分为解题的要点，考查了学生的读题、审题等能力． 14．若某正数的两个平方根分别是与，则b的立方根是 ． 【答案】2 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出关于a、b的方程，解方程求出b的值，再根据立方根的定义进行求解即可． 【详解】解：∵某正数的两个平方根分别是与， ∴， ∴， ∴， ∵8的立方根是2， ∴b的立方根是2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根，平方根的定义，熟知一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 15．已知为实数，规定运算：，，，……，．按以上算法计算：当时，的值等于 ． 【答案】 【分析】化简前几个数，得到an以三个数为一组，不断循环，因为2022÷3=674，所以a2021=a3，再代数求值即可． 【详解】解：a1=a1， ， ， ， ∴an以三个数为一组，不断循环， ∵2022÷3=674， ∴a2021=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减法，探索规律，通过计算找到规律是解题的关键． 16．若实数a、b满足，则 . 【答案】1 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性质，列方程组求解，最后代入即可. 【详解】∵，得， 即： ∴. 17．如图，将面积为7的正方形和面积为9的正方形分别绕原点O顺时针旋转，使，落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a，b，则 ．    【答案】 【分析】分别求出两个正方形的边长，从而得到a，b的值，代入计算即可． 【详解】∵正方形的面积为7，正方形的面积为9 ∴， 即， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查算术平方根的意义，在数轴上表示实数，正确求出算术平方根是解题的关键． 18．定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 即 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键． 三．解答题（共8小题，合计66分） 19．（6分）把下列各数填在相应的大括号内： ，，0，，，，，(1和3之间的2逐次加1个)． 整数：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 分数：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}； 无理数：{　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…}． 【答案】见解析 【分析】根据整数，分数，无理数的定义进行分类即可． 本题考查了实数的分类,掌握整数，分数，无理数的定义是解题的关键． 【详解】解： 整数：{，0，，…}； 分数：； 无理数：{(1和3之间的2逐次加1个) … }． 20．（6分）计算：（1）；      （2）． 【答案】（1）12；（2）6 【分析】（1）利用有理数的加减混合运算法则可直接进行求解； （2）先算乘方及立方根，然后再进行求解即可． 【详解】解：（1）原式=； （2）原式=． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算及立方根，熟练掌握有理数的混合运算及立方根是解题的关键． 21．（8分）观察下列等式: 第一个等式： 第二个等式： 第三个等式： 按以上规律解答下列问题： （1）列出第四个等式_______________. （2）计算的结果 【答案】（1）．（2）. 【分析】（1）连续奇数乘积的倒数等于各自倒数差的一半，据此可得； （2）利用所得规律将原式裂项求和即可得. 【详解】解：（1）根据题意知，第4个等式为， 故答案为． （2）a1+a2+a3+a4+a5 =++++ = = =. 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出规律：. 22．（8分）已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据平方根、立方根的含义先求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为； 23．（9分）已知一个正数的两个平方根分别为a和2a－9. (1)求a的值，并求这个正数； (2)求17－9a2的立方根． 【答案】(1)这个正数为9；(2) 17－9a2的立方根为－4. 【分析】（1）根据平方根的性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数列出算式，求出a的值即可；（2）求出17-9a²的值，根据立方根的概念求出答案． 【详解】(1)由平方根的性质，得a＋2a－9＝0，解得a＝3，32＝9. ∴这个正数为9. (2)当a＝3时，17－9a2＝－64. ∵－64的立方根是－4， ∴17－9a2的立方根为－4. 【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0． 24．（9分）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为，其中T表示周期（单位：s），l表示摆长（单位：m）．假如一台座钟的摆长为0.2m．（取3，） (1)求摆针摆动的周期． (2)如果座钟每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在6分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？ 【答案】(1) (2)该座钟大约发出了420次滴答声 【分析】（1）将数据代入函数关系式，进行计算即可； （2）用总时间除以一个周期的时间进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； （2）（次）． 答：该座钟大约发出了420次滴答声． 【点睛】本题考查求实数运算的实际应用．属于基础题型，正确的计算，是解题的关键． 25．（10分）[新考法阅读类比法]先阅读（1）的解法，再解答第（2）题． （1）已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值． 解：，，即． ∵a，b为有理数，也为有理数． 解得 （2）已知m，n是有理数，且m，n满足等式，求的立方根． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数的运算，解二元一次方程组，代数式求值，求一个数的立方根，仿照题意求出m，n的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：， ， ∵m，n是有理数， ，都是有理数， 解得， ， 的立方根为1． 26.（10分）阅读材料： 我们定义：如果一个数的平方等于，记作，那么这个就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为（、均为实数）的形式，其中叫做它的实部，叫做它的虚部． 复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似． 例如 计算：； 根据上述材料，解决下列问题： (1)填空：____，_____； (2)计算：； (3)将化为（、均为实数）的形式（即化为分母中不含的形式）． 【答案】(1)1，； (2)； (3)． 【分析】（）根据，则，然后计算； （）根据平方差公式计算，出现，化简为计算； （3）分子分母同乘以后，把分母化为不含的数后计算； 本题考查了实数的运算，平方差公式和完全平方公式的运用，熟练掌握运算法则及能读懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：，， 故答案为：1，； （2） ， ， ； （3）， ， ， ． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$