专题02 整式乘法的数学思想-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（湘教版2024）

专题02 整式乘法的数学思想 思想1：数形结合思想 思想2：整体思想 思想3：归纳思想 思想1：数形结合思想 如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论，这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论． 【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为； 拼成的长方形的面积：， 所以得出：， 故选：C． 一．解答题（共5小题） 1．初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图②）．    (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______________________________； (2)应用（1）中的公式，计算：． 2．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ． (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且已知，，求的值； (3)如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 3．如图，学校有一块边长为的正方形空地，计划在阴影部分的地方进行绿化，搭建一个小花坛，中间修建一个长为、宽为的长方形鱼池供观赏． (1)绿化的面积是多少平方米？ (2)若，求绿化面积． 4．数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b；图2是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和b，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1______；图2______； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系； 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为20，求的面积； 【知识迁移】 （4）若，则______．（直接写出结果） 5．学生在学校里的实践环节是教学内容的重要组成部分，是巩固理论知识，汲取新的知识，发展智能的重要途径．某校为了提高学生的探究能力、科学素养和创新意识，特意修建了一个理化生实验中心，如图，长为，宽为的长方形是实验中心的场地示意图，校方计划在场地中间隔出两个边长为的正方形区域，用于摆放备用实验器材，其他区域（阴影部分）用于实验操作． (1)用含a、b的式子表示实验操作区的面积； (2)若米，米，求实验操作区的面积． 思想2：整体思想 已知，则的值 ． 【答案】36 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示阴影部分的面积是解决问题的关键．设a=x-2021，b=x-2023，进而得出则，再进行计算即可． 【详解】解：设，则， 所以， 即， 所以， 即． 故答案为：36 一．解答题（共3小题） 1．在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决． 例：试比较与的大小． 解：设， 那么． 因为______， 所以x______y（填“>”或“<”）． 填完后，尝试解决下面的问题． 计算：． 2．学科素养·整体思想（广东二模）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式． 请用上面的方法计算： (1)； (2)． 3．阅读材料并回答下列问题： 材料一：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．如图1可以得到，，之间的等量关系是______ 材料二：换元法：是指引入一个或者几个新的变量代替原来的某些变量，通过引入新的变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子，可以把其 中某些部分看作整体，用新的字母代替(即整体换元)，可以化繁为简从而找到解题的捷径，请看以下例子： 若x满足，求的值． 解：设，，则， ______   所以______ 问题： (1)补全材料一、材料二中横线处； (2)若x满足， 求的值； (3)如图2，在长方形中 ，，， 点 E，F 分别是边，上的点，且， 分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为60，求图中两个正方形的面积之和． 思想3：归纳思想 “杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（    ） A．21 B．1 C．35 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”写出第八行的数得出的各项系数，即可求解． 【详解】解：依题意，第行的个数分别为： 第行的个数分别为： 第行的个数分别为： 第行的个数分别为： 即的各项系数为： 其中第四项为：， ∴的展开式中的系数是， 故选：C． 一．解答题（共2小题） 1．观察下列等式： ①； ②； ③； …… (1)直接写出第4个等式：______； (2)写出第n个等式，并通过计算说明等式的正确性． 2．分别计算下列各式的值： (1)填空： _______； _______； _______； … 由此可得：_______． (2)求的值； (3)根据以上结论，计算． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式乘法的数学思想 思想1：数形结合思想 思想2：整体思想 思想3：归纳思想 思想1：数形结合思想 如图①，从边长为a的大正方形的四个角中挖去四个边长为b的小正方形后，将剩余的部分剪拼成一个长方形，如图②．通过计算阴影部分的面积可以得到（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论，这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论． 【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为； 拼成的长方形的面积：， 所以得出：， 故选：C． 一．解答题（共5小题） 1．初中数学的一些代数公式可以通过几何图形的面积来推导和验证．如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，将其沿虚线裁剪，然后拼成一个长方形（如图②）．    (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______________________________； (2)应用（1）中的公式，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中阴影部分的面积是正确解答的关键． （1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； （2）利用（1）的结论，连续利用平方差公式即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为：；图②中阴影部分的面积为：； 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）解：原式 ． 2．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ． (2)运用你所得到的公式，计算：若m、n为实数，且已知，，求的值； (3)如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，掌握公式的变形是解题的关键． （1）根据同一个图形面积的不同表示方法求解； （2）根据（1）中的公式得，再整体代入求解； （3）先把题中的条件进行变形，再整体代入求解． 【详解】（1）解：∵图2中的阴影部分的面积等于大正方形的面积减去4个小长方形的面积， ∴； 故答案为：； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴ ∴； （3）解：∵点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为：， ∴图中阴影部分面积为9． 3．如图，学校有一块边长为的正方形空地，计划在阴影部分的地方进行绿化，搭建一个小花坛，中间修建一个长为、宽为的长方形鱼池供观赏． (1)绿化的面积是多少平方米？ (2)若，求绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)92平方米 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据绿化的面积等于正方形的面积减去长方形的面积列出运算式子，利用完全平方公式进行计算即可得； （2）将（1）中的结论利用完全平方公式进行变形，再将代入计算即可得． 【详解】（1）解：由题意得：绿化的面积等于正方形的面积减去长方形的面积， 则绿化的面积为 ， 答：绿化的面积是平方米． （2）解：∵， ∴绿化的面积为 （平方米）， 答：绿化面积为92平方米． 4．数学活动 【知识生成】 数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． （1）如图1是一个边长为的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为a和b；图2是一个边长为a的正方形，用两条分割线将其分为两个正方形和两个长方形，正方形的边长分别为和b，请分别写出阴影部分的面积所揭示的乘法公式： 图1______；图2______； 【拓展探究】 （2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系； 【解决问题】 （3）如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，若，两正方形的面积和为20，求的面积； 【知识迁移】 （4）若，则______．（直接写出结果） 【答案】（1），；（2）；（3）4；（4） 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据图形的阴影部分可直接进行求解； （2）根据图中所给阴影部分面积可直接进行求解； （3）设，则有，然后根据完全平方公式可进行求解； （4）由题意易得，然后根据整体思想及完全平方公式可进行求解． 【详解】解：（1）由图1可知满足的乘法公式为；由图2可知满足的乘法公式为； 故答案为：，； （2）根据图形可知：图中阴影部分的面积为或者， ∴满足的关系式为； （3）由可设，则， ∴， ∵两正方形的面积和为20，即， ∴， ∴， ∴； （4）由题意可知：， ∴ ∵， ∴； 故答案为：13． 5．学生在学校里的实践环节是教学内容的重要组成部分，是巩固理论知识，汲取新的知识，发展智能的重要途径．某校为了提高学生的探究能力、科学素养和创新意识，特意修建了一个理化生实验中心，如图，长为，宽为的长方形是实验中心的场地示意图，校方计划在场地中间隔出两个边长为的正方形区域，用于摆放备用实验器材，其他区域（阴影部分）用于实验操作． (1)用含a、b的式子表示实验操作区的面积； (2)若米，米，求实验操作区的面积． 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查了多项式的乘法与图形面积；代数式求值； （1）根据长方形面积减去两个边长为的正方形面积，即可求解； （2）将米，米，代入（1）中的结论，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：依题意，实验操作区的面积为 （2）当米，米， 实验操作区的面积为平方米 思想2：整体思想 已知，则的值 ． 【答案】36 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示阴影部分的面积是解决问题的关键．设a=x-2021，b=x-2023，进而得出则，再进行计算即可． 【详解】解：设，则， 所以， 即， 所以， 即． 故答案为：36 一．解答题（共3小题） 1．在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决． 例：试比较与的大小． 解：设， 那么． 因为______， 所以x______y（填“>”或“<”）． 填完后，尝试解决下面的问题． 计算：． 【答案】；<； 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式的应用，根据题干信息完善示例的填空即可；再设，可得，，再进一步计算即可． 【详解】解：设， 那么． 因为， 所以； 设， ∴，， ∴， ∴ ． 2．学科素养·整体思想（广东二模）阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式． 请用上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的乘法，整式的加减运算，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解本题的关键． （1）根据题意设为，为，原式变形后计算即可求出值； （2）根据题意设为，为，原式变形后计算即可求出值． 【详解】（1）解：设为，为， 则原式； （2）解：设为，为， 则原式． 3．阅读材料并回答下列问题： 材料一：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．如图1可以得到，，之间的等量关系是______ 材料二：换元法：是指引入一个或者几个新的变量代替原来的某些变量，通过引入新的变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子，可以把其 中某些部分看作整体，用新的字母代替(即整体换元)，可以化繁为简从而找到解题的捷径，请看以下例子： 若x满足，求的值． 解：设，，则， ______   所以______ 问题： (1)补全材料一、材料二中横线处； (2)若x满足， 求的值； (3)如图2，在长方形中 ，，， 点 E，F 分别是边，上的点，且， 分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为60，求图中两个正方形的面积之和． 【答案】(1)材料一：；材料二：；； (2) (3) 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，完全平方公式与图形面积； （1）根据题干信息提示完善材料一，材料二即可； （2）设，，可得，，再结合完全平方公式的变形可得答案； （3）由，，，可得，，，结合，利用，从而可得答案． 【详解】（1）解：材料一：； 材料二：设，，则， ； ∴； （2）解：设，， ∴，， ∴ ； （3）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， ∵长方形的面积为60， ∴， ∴ ； 思想3：归纳思想 “杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（    ） A．21 B．1 C．35 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”写出第八行的数得出的各项系数，即可求解． 【详解】解：依题意，第行的个数分别为： 第行的个数分别为： 第行的个数分别为： 第行的个数分别为： 即的各项系数为： 其中第四项为：， ∴的展开式中的系数是， 故选：C． 一．解答题（共2小题） 1．观察下列等式： ①； ②； ③； …… (1)直接写出第4个等式：______； (2)写出第n个等式，并通过计算说明等式的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了数的规律和利用整式的乘法证明代数恒等式的成立，解答此题的关键是根据已有的式子的特征得出第n个式子的规律． （1）根据规律直接写出即可； （2）根据规律可得出第n个等式，然后根据整式的乘法化简即可证明. 【详解】（1）解：由题可得，， 故答案为：． （2）解：第n个等式为， 等号左边：， 等号右边：， 即． 2．分别计算下列各式的值： (1)填空： _______； _______； _______； … 由此可得：_______． (2)求的值； (3)根据以上结论，计算． 【答案】(1)，，，； (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的应用问题，平方差公式的应用，找到规律是解题关键． （1）用多项式乘以多项式的计算方法计算前三项，总结出规律即可； （2）根据（1）中得出的规律计算即可； （3）根据（1）中得出的规律计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 由此可得：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$