专题01 应用乘法公式的五种技巧-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（湘教版2024）

专题01 应用乘法公式的五种技巧 技巧1：巧用乘法公式的变形求值 技巧2：巧用乘法公式进行简便运算 技巧3：巧用乘法公式解决整除问题 技巧4：巧用乘法公式确定个位数字 技巧5：巧用乘法公式解决实际问题 技巧1：巧用乘法公式的变形求值 已知，．则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求整式的值，完全平方公式的应用，非负数的和为零；将两个式子相减得，化为，即可求解；理解非负数的和为零的特征，能将式子化为完全平方和的形式是解题的关键． 【详解】解：①， ② ②①得： ， ， ， ，，，， ，，，， ； 故答案为：． 一．填空题（共3小题） 1．已知，求的值为 ． 【答案】66 【分析】本题考查了分式运算，完全平方公式的运算，先整理式子得，因为，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为：66． 2．已知，，则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，根据，，得出，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 即， ， 故答案为：5． 3．若能被整除，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据题意得出设，从而得到，即可． 【详解】解： 能被整除， 设， 则， ，， ，， 故答案为：2． 二．解答题（共3小题） 4．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用完全平方公式变形即可求解； （）利用完全平方公式变形即可求解； 本题考查了完全平方公式，解题的关键是熟记完全平方公式． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为， 所以，即， 所以． 5．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：． 6．已知，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）利用完全平方公式变形求解即可； （2）先将完全平方公式展开，利用整体思想代入求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：∵，， ∴ ． 技巧2：巧用乘法公式进行简便运算 利用乘法公式进行简便运算： 【答案】 【分析】根据完全平方公式和平方差公式的结构特征进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式，灵活运用乘法公式是解题的关键． 一．解答题（共6小题） 1．用乘法公式进行简便运算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)9996 (2)1006009 (3)4047 (4)1 【分析】本题考查利用平方差公式、完全平方公式进行简便运算： （1）利用平方差公式计算； （2）利用完全平方公式计算； （3）利用平方差公式计算； （4）利用完全平方公式计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 2．利用乘法公式进行简便运算 . 【答案】2003 【分析】利用平方差公式的逆用即可求解. 【详解】 = = =2003 【点睛】此题主要考查平方差公式的应用，解题的关键是熟知平方差公式的逆用. 3．应用乘法公式进行简便运算： （1）； ． 【答案】（1）1; （2）. 【分析】(1)将122×124变形为(123-1)(123+1)后，利用平方差公式化简，合并计算即可得到结果． (2)将原式变形为(0.2-80)2后，利用完全平方公式化简，计算即可得到结果. 【详解】解：(1)1232-122×124 =1232-(123-1)(123+1) =1232-(1232-12) =1； (2)(-79.8)2 =(0.2-80)2 =0.22-2×0.2×80+802 =0.04-32+6400 =6368.04. 故答案为(1)1；(2)6368.04. 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解本题的关键． 4．运用所学乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了乘法的平方差公式，完全平方公式的应用，根据题意构造公式是解题的关键． （1）将化为，利用平方差公式求解即可； （2）将化为，利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2） ， ， 5．运用所学乘法公式等进行简便运算： (1) (2) (3) 【答案】(1)﹣1． (2)98.01． (3)5000． 【分析】（1）根据积的乘方逆运算求解即可． （2）根据完全平方公式求解即可． （3）根据平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：（1）（﹣0.125）11×811 ＝ ＝ ＝（﹣1）11 ＝﹣1． （2）解：（2）9.92 ＝（10﹣0.1）2 ＝102﹣2×10×0.1+0.12 ＝100﹣2+0.01 ＝98.01． （3）解：（3） ＝ ＝ ＝502+1+502﹣1 ＝5000． 【点睛】本题主要考查积的乘方、有理数的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握积的乘方、有理数的乘方、完全平方公式、平方差公式是解决本题的关键． 6．先阅读例题的解答过程，再解答下面的问题． 例题：用简便方法求的值． 解： （第①步） （第②步） （第③步）． (1)在例题求解过程中，第②步变形的依据是_______； (2)用简便方法求的值． 【答案】(1)平方差公式 (2) 【分析】本题考查了平方差公式在计算中的应用． （1）根据平方差公式的构成分析即可； （2）先化，再依次运用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，第②步变形的依据是平方差公式； （2）解：原式 ． 技巧3：巧用乘法公式解决整除问题 设为正整数，若能被57整除，则能被下列哪个数整除（    ） A．55 B．56 C．57 D．58 【答案】C 【分析】利用同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用将改写成，由此即可得． 【详解】解： ， 能被57整除， 也能被57整除， 又能被57整除， 也能被57整除， 即能被57整除， 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用是解题关键． 一．解答题（共2小题） 1．多项式x3+kx+6能被x+2整除，求常数k的值． 【答案】﹣1 【分析】设商是A，将整式的除法变为整式的乘法,即x3+kx+6=A(x+2)，令x+2=0，利用等式的性质可得左边=右边=0，求出x的值再代入x3+kx+6=0，即可求得k的值． 【详解】解：设商是A，∵多项式x3+kx+6能被x+2整除， 则x3+kx+6=A(x+2)， 当x=﹣2时，x+2=0， ∴右边=A(x+2)=0，则左边=0， ∴x=﹣2， 则x3+kx+6=﹣8﹣2k+6=0， 解得：k=﹣1． 故常数k的值是﹣1． 【点睛】考查了多项式乘多项式和等式的性质，解决本题的关键是求出x=−2． 2．对于任意自然数n，多项式的值能否被6整除？ 【答案】多项式的值能被6整除． 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值： 所给多项式可化简为，可知该多项式能被6整除 【详解】因为原式， 所以对于任意自然数，多项式的值能被6整除． 技巧4：巧用乘法公式确定个位数字 观察以下等式： 第1个等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； 第2个等式：（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 第3个等式：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1：… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝　 　； （2）写出你猜想的第n个等式：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝　 　； （3）请利用上述规律，确定22019+22018+…+2+1的个位数字是多少？ 【答案】（1）x5﹣1；（2）xn+1﹣1；（3）原式的个位数为5． 【分析】（1）根据题干所给出的例子可知（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1； （2）根据规律写出通项公式然后证明即可； （3）给等式乘以（2﹣1）从而可知（22019+22018+…+2+1）＝22020﹣1，然后找出2n的尾数规律从而得到答案． 【详解】解：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1； （2）（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1； （3）原式＝（2﹣1）（22019+22018+…+2+1）＝22020﹣1， ∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32， ∴的个位数2，4，8，6循环， ∵2020＝505×4， ∴22020的个位数为6， 则原式的个位数为5． 故答案为（1）x5﹣1；（2）xn+1﹣1 【点睛】本题主要考查的是平方差公式的应用，找出2n的尾数规律是解题的关键． 1． 选择填空题（共3小题） 1．观察算式：，，，，，，，，…．通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是(　　) A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】B 【分析】从运算的结果可以看出尾数以、、、四个数字一循环，用除以，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可． 【详解】解：已知，末位数字为，             ，末位数字为，             ，末位数字为，             ，末位数字为，             ，末位数字为，             ，末位数字为，             ，末位数字为，             ，末位数字为，                          由此得到：的，，，，，，，，次幂的末位数字以、、、四个数字为一循环，             又， 所以的末位数字与的末位数字相同是． 尾数为， 的末位数字为．             故选：B． 【点睛】此题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出的乘方的末位数字以、、、四个数字为一循环是解决问题的关键． 2．观察算式：．通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是（    ） A．3 B．9 C．7 D．1 【答案】B 【分析】此题考查尾数特征及规律型：数字的变化类，通过观察得出3的乘方的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环是解决问题的关键．从运算的结果可以看出尾数以3、9、7、1四个数字一循环，用2011除以4，余数是几就和第几个数字相同，由此解决问题即可． 【详解】解：∵，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， ，末位数字为3， ，末位数字为9， ，末位数字为7， ，末位数字为1， …             由此得到：3的1，2，3，4，5，6，7，8，…次幂的末位数字以3、9、7、1四个数字为一循环，             又， 所以的末位数字与的末位数字相同是7． ∵ ， ∴的个位数字是； 故选：B． 3．观察下列算式：，，，，，…，进而确定的个位数字是 ． 【答案】2 【分析】本题考查数字规律的探究．根据题目中的数据可知尾数出现的规律是3、9、7、1四个数循环，从而可以得到的个位数字，本题得以解决． 【详解】解：∵，，，，，…， 尾数3，9，7，1四个数循环， ， ∴的个位数字是3， ∴的个位数字是2． 故答案为：2． 技巧5：巧用乘法公式解决实际问题 正方形的边长增加了，面积相应增加了．求这个正方形原来的面积． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设这个正方形原来的边长是，根据正方形的面积公式建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：设这个正方形原来的边长是． 由题意得：， 整理得：， 解得， 则这个正方形原来的面积为． 答：这个正方形原来的面积为． 一．解答题（共3小题） 1．如图所示的是一块“L”形菜地，要把这块菜地分成面积相等的两个梯形，种植两种不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是，下底都是，高都是．用含x，y的代数式表示菜地的面积．当时，菜地的面积是多少平方米？ 【答案】； 【分析】此题考查列代数式、代数式的值、平方差公式的应用，根据题意正确列出代数式是解题的关键．根据梯形的面积公式列出代数式，然后根据平方差公式进行计算；再把字母的值代入，计算即可． 【详解】解：菜地的面积是． 当时，菜地的面积是． 2．老王把一块边长为的正方形土地租给了老李，今年老王对老李说“我把这块地一边减少，另一边增加继续租给你，租金不变，你看如何？”老李一听，就答应了．你认为老李吃亏了吗？为什么？ 【答案】老李是吃亏了，理由见解析． 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 分别用代数式表示变化前后“土地的面积”即可． 【详解】解：老李是吃亏了， 理由如下： ∵原来土地的面积为， 更改后的土地的面积为，即， ∴更改后的土地面积比原来少， ∴老李是吃亏了． 3．问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解：． 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若，求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子即长方形以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为，求长方形院子的面积． 【答案】（1）18；（2）7；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握相应的运算法则是关键． （1）利用完全平方公式进行变形求解即可； （2）①根据合并同类项法则进行计算即可； 由可得，再利用完全平方公式进行计算即可； （3）由题意得，，再利用完全平方公式进行变形计算即可求解． 【详解】解：（1），， ， 即， ； （2）由得，， ， ， ； （3）由题意得，，， ， 即， ， ， 答：长方形院子的面积． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 应用乘法公式的五种技巧 技巧1：巧用乘法公式的变形求值 技巧2：巧用乘法公式进行简便运算 技巧3：巧用乘法公式解决整除问题 技巧4：巧用乘法公式确定个位数字 技巧5：巧用乘法公式解决实际问题 技巧1：巧用乘法公式的变形求值 已知，．则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求整式的值，完全平方公式的应用，非负数的和为零；将两个式子相减得，化为，即可求解；理解非负数的和为零的特征，能将式子化为完全平方和的形式是解题的关键． 【详解】解：①， ② ②①得： ， ， ， ，，，， ，，，， ； 故答案为：． 1． 填空题（共3小题） 1．已知，求的值为 ． 2．已知，，则的值是 ． 3．若能被整除，则的值是 ． 二．解答题（共3小题） 4．已知． (1)求的值； (2)求的值． 5．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 6．已知，求： (1)的值； (2)的值． 技巧2：巧用乘法公式进行简便运算 利用乘法公式进行简便运算： 【答案】 【分析】根据完全平方公式和平方差公式的结构特征进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式，灵活运用乘法公式是解题的关键． 一．解答题（共6小题） 1．用乘法公式进行简便运算： (1) (2) (3) (4) 2．利用乘法公式进行简便运算 . 3．应用乘法公式进行简便运算： （1）； ． 4．运用所学乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 5．运用所学乘法公式等进行简便运算： (1) (2) (3) 6．先阅读例题的解答过程，再解答下面的问题． 例题：用简便方法求的值． 解： （第①步） （第②步） （第③步）． (1)在例题求解过程中，第②步变形的依据是_______； (2)用简便方法求的值． 技巧3：巧用乘法公式解决整除问题 设为正整数，若能被57整除，则能被下列哪个数整除（    ） A．55 B．56 C．57 D．58 【答案】C 【分析】利用同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用将改写成，由此即可得． 【详解】解： ， 能被57整除， 也能被57整除， 又能被57整除， 也能被57整除， 即能被57整除， 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用是解题关键． 一．解答题（共2小题） 1．多项式x3+kx+6能被x+2整除，求常数k的值． 2．对于任意自然数n，多项式的值能否被6整除？ 技巧4：巧用乘法公式确定个位数字 观察以下等式： 第1个等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； 第2个等式：（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 第3个等式：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1：… 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝　 　； （2）写出你猜想的第n个等式：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝　 　； （3）请利用上述规律，确定22019+22018+…+2+1的个位数字是多少？ 【答案】（1）x5﹣1；（2）xn+1﹣1；（3）原式的个位数为5． 【分析】（1）根据题干所给出的例子可知（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1； （2）根据规律写出通项公式然后证明即可； （3）给等式乘以（2﹣1）从而可知（22019+22018+…+2+1）＝22020﹣1，然后找出2n的尾数规律从而得到答案． 【详解】解：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1； （2）（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1； （3）原式＝（2﹣1）（22019+22018+…+2+1）＝22020﹣1， ∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32， ∴的个位数2，4，8，6循环， ∵2020＝505×4， ∴22020的个位数为6， 则原式的个位数为5． 故答案为（1）x5﹣1；（2）xn+1﹣1 【点睛】本题主要考查的是平方差公式的应用，找出2n的尾数规律是解题的关键． 1． 选择填空题（共3小题） 1．观察算式：，，，，，，，，…．通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是(　　) A．3 B．9 C．7 D．1 2．观察算式：．通过观察，用你所发现的规律确定的个位数字是（    ） A．3 B．9 C．7 D．1 3．观察下列算式：，，，，，…，进而确定的个位数字是 ． 技巧5：巧用乘法公式解决实际问题 正方形的边长增加了，面积相应增加了．求这个正方形原来的面积． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设这个正方形原来的边长是，根据正方形的面积公式建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：设这个正方形原来的边长是． 由题意得：， 整理得：， 解得， 则这个正方形原来的面积为． 答：这个正方形原来的面积为． 一．解答题（共3小题） 1．如图所示的是一块“L”形菜地，要把这块菜地分成面积相等的两个梯形，种植两种不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是，下底都是，高都是．用含x，y的代数式表示菜地的面积．当时，菜地的面积是多少平方米？ 2．老王把一块边长为的正方形土地租给了老李，今年老王对老李说“我把这块地一边减少，另一边增加继续租给你，租金不变，你看如何？”老李一听，就答应了．你认为老李吃亏了吗？为什么？ 3．问题情境： 我们已经学过完全平方公式，通过对进行适当的变形，如或，可以使某些问题得到解决． 例如：已知，，求的值． 解：． 独立思考： （1）已知，，求的值； （2）若，求的值； 解决问题： （3）如图，小唯家打算用长为的篱笆围一个长方形院子即长方形以，为边分别向外作正方形、正方形，并在两块正方形空地上种植不同品种的农作物，其种植面积和为，求长方形院子的面积． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$