第08讲 实数-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（湘教版2024）

第08讲 实数 课程标准 学习目标 实数的有关概念 1.了解实数的概念和实数的分类 2.掌握实数的运算律和运算性质，会比较两个实数的大小; 知识点01 实数的概念及分类 概念:有理数和 统称为实数. 分类:(1)按定义分: (2)按性质分:正实数、零、负实数, 【即学即练1】 下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【即学即练2】 把下列各数分别填入相应的大括号 ，0，，，，，，，， 正有理数集合：｛                …｝ 非正整数集合：｛                …｝ 负分数集合：｛                   …｝ 无理数集合：｛                     …｝ 知识点02 实数与数轴 关系:实数和数轴上的点一一对应. 含义:(1)每一个实数都可以用数轴上 的一个点来表示; (2) 数轴上的每一个点都可以表示 的一个实数. 【即学即练1】 如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为0，以点A为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为 ． 【即学即练2】 在数轴上表示下列各数，并将其中的无理数用“<”连接． 的算术平方根，． 【即学即练3】 如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m． (1)实数m的值为_______； (2)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值． 知识点03 实数的运算 (1) 有关数、式、方程(组)的性质、法则、 和解法,对于实数仍然成立; (2)有理数的运算律在实数中仍然适用. 【即学即练1】 计算：； 题型01 实数概念理解 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根 【变式1】的相反数是 ． 【变式2】有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③绝对值等于本身的数是0，1；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．其中正确的个数是 个． 题型02 实数的分类 【典例1】将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{    …} ②无理数集合{    …} ③负实数集合{    …} 【变式1】请将下列各数分别填入相应的括号内： （每两个6之间的5依次多一个），． 正数集合：｛      ，…}； 有理数集合：｛      ，…}； 负数集合：｛      ，…}； 无理数集合：｛      ，…}． 【变式2】把下列各数填入相应的集合内： （每两个2之间的1依次多一个），，． 正有理数集合：{      …}； 正无理数集合：{      …}； 负有理数集合：{      …}； 负无理数集合：{      …}； 正实数集合：{      …}； 负实数集合：{      …}； 题型03 实数的性质 【典例1】实数2023的相反数是（　　） A． B． C． D．2023 【变式1】若没有平方根，则 ． 【变式2】若m，n为实数，且，求的值． 【变式3】在下列说法中①是的平方根；②的立方根是；③的算术平方根是5；④带根号的数都是无理数；⑤0的相反数和倒数都是0；⑥；⑦已知是有理数，则； 说法正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04 实数的大小比较 【典例1】比较的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】比较大小： ； ．（填“>”“<”或“=”） 【变式2】比较大小：7 ．（填“>”或“<”或“=”） 【变式3】阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． (1)比较的大小； (2)已知，比较的大小（均为大于的数）． 题型05 实数的混合运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【变式1】计算： (1) (2) 【变式2】计算： (1)； (2)． 题型06 程序设计与实数运算 【典例1】如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是（   ） A．3 B． C． D． 【变式1】以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺序和正确的选择判断依次计算并输出结果．如输入的，得到结果6；输入的，得出结果2．据此判断下列说法中，不正确的是（ ） A．如果输入的x为，输出的结果为0 B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数 C．如果输出的结果是，那么原来输入的x可能是1012或 D．输出的结果有可能为0 【变式2】如图是一个数值转换器，当输入的值为256时，则输出的值是 ． 【变式3】如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值是64时，输出的值是 ． 题型07 新定义下的实数运算 【典例1】现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【变式1】阅读材料： 如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得． 例如，，，或， 根据上述材料，解决下列问题： （1）已知，，或，，若，则 ； （2）已知，，为整数），．若，则用含，的式子表示为 ． 【变式2】定义：对于任意实数表示不大于x的最大整数．如：． (1)_______； (2)对数65进行如下运算：①；②；③．这样对数65运算3次后的值就为1，一个正整数总可以经过若干次这样的运算后值为1，则数255经过_______次这样的运算后值为1． 【变式3】设p，q为两个正整数，若p，q最大公约数为1，则p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数表示不超过n且与n互素的正整数的个数，记为，例如不超过5且与5互素的正整数个数，易知． (1)求． (2)判断是否一定成立（m，n均为正整数）． 设p为素数，k为正整数，使用p，k表示． 题型08 无理数整数部分的有关计算 【典例1】若的整数部分为，的立方根为，则 ． 【变式1】已知是的小数部分，则代数式的值为 ． 【变式2】估算的整数部分的数值是 ． 【变式3】若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 一、单选题 1．在实数，，，，，中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数所对应的点紧靠着（与数所对应的点重合）．假设硬币的直径为个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（  ） A．是分数 B．是整数 C．是无理数 D．0不是实数 4．如图是一个“数值转换机”的示意图，当输入81时，输出的值是（   ） A． B．3 C．6 D．9 5．如图，数轴上表示的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 6．如图所示，四边形、、均为正方形，且正方形面积为10，正方形面积为1，则正方形的边长可以是（   ） A．4 B． C．5 D． 7．估算 的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 8．对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（   ） A． B． C．或 D．1或2 9．在一列数，，，……中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．比较大小： （填“”“”或“”）． 12．已知二次三项式，则实数m的值为 ． 13．在中，介于2和3之间的数有 ，介于3和4之间的数有 ． 14．已知，则整数的值为 ． 15．一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“过数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成一个四位数，我们把这个四位数除以11所得的商记为，例如：时，，．则 ．若为“过数”，若与的个位数字之和能被5整除，则满足条件的最大“过数”与最小“过数”的差是 ． 16．已知a，b为实数，定义一种新的运算“☆”如下： ，若，则 17．规定两正数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，根据定义可得：，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 三、解答题 18．（1）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形的边长是，． 设，可画出示意图如如图． 由面积公式可得． 当x足够小时，可以略去，得，解得：，即_______； 1 x x 1 1 （2）已知，设，类比（1）的方法，深究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）． 19．计算：． 20．计算： (1)； (2)求中x的值． 21．如下图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周（无滑动），圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)求a的值； (2)求的算术平方根； (3)利用计算器计算时，按键，显示结果是_______． 22．阅读下面的文字，解答问题： 如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原来边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为_____；如图2，数轴上点表示的数是__________； (2)观察图3，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分（正方形）的边长是__________； (3)如图4，利用圆规在数轴上作出图3中正方形边长的对应点（保留作图痕迹）； (4)如图4，在数轴上，表示1的点记为，点也在这条数轴上且，直接写出点表示的数． 23．设的小数部分为的整数部分为，求的值． 24．对任何实数、，定义运算：，其中为常数． (1)已知，求的值； (2)在（1）的条件下，对于任意非零实数，都有，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 实数 课程标准 学习目标 实数的有关概念 1.了解实数的概念和实数的分类 2.掌握实数的运算律和运算性质，会比较两个实数的大小; 知识点01 实数的概念及分类 概念:有理数和无理数统称为实数. 分类:(1)按定义分: (2)按性质分:正实数、零、负实数, 【即学即练1】 下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【答案】D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 【即学即练2】 把下列各数分别填入相应的大括号 ，0，，，，，，，， 正有理数集合：｛                …｝ 非正整数集合：｛                …｝ 负分数集合：｛                   …｝ 无理数集合：｛                     …｝ 【答案】正有理数集合：{，，…}；非正整数集合：{，0，…}；负分数集合：{，…}；无理数集合：{0.1010010001…，…} 【分析】根据正有理数，非正整数，负分数，无理数的定义，进行解答即可． 【详解】正有理数集合：{，，，…} 非正整数集合：{，0，，…}； 负分数集合：{，，…}； 无理数集合：{0.1010010001…，，…}． 【点睛】此题考查正有理数，非正整数，负分数，无理数的定义，解题关键在于掌握其性质定义． 知识点02 实数与数轴 关系:实数和数轴上的点一一对应. 含义:(1)每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示; (2) 数轴上的每一个点都可以表示唯一的一个实数. 【即学即练1】 如图，正方形的顶点A在数轴上对应的数为0，以点A为圆心，长为半径画圆弧，交数轴于点E（点E位于点A的左侧）．若正方形的面积为2，则点E表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，熟练掌握正方形的面积公式，实数的开方运算．先由正方形面积为2可知边长为，而后根据点A表示的数为0即可得到答案． 【详解】解：∵正方形面积为2， ∴， ∵点A表示的数为0， ∵， ∵点E在点A的左边， ∴点E表示的数为， 故答案为：． 【即学即练2】 在数轴上表示下列各数，并将其中的无理数用“<”连接． 的算术平方根，． 【答案】数轴见解析，． 【分析】先化简数，再用数轴上的点表示同意这此数，然后找出无理数，利用数轴比较其大小即可． 【详解】解：∵ ，，的算术平方根为2， ∴在数轴上表示各数为： ∵无理数有：，， ∴无理数用“<”连接为：． 【点睛】此题综合考查了数轴、绝对值，算术平方根，无理数比较大小等知识，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 【即学即练3】 如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m． (1)实数m的值为_______； (2)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数与数轴、平方根、非负数的性质，正确理解题意是解题关键． （1）根据向右爬了2个单位长度则在起点基础上加，即可得到m的值； （2）根据非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为， ∴， 故答案为：； （2）解：因为与互为相反数， 所以， 因为与均为非负数， 所以， 所以， 所以原式 ． 知识点03 实数的运算 (1) 有关数、式、方程(组)的性质、法则、运算顺序和解法,对于实数仍然成立; (2)有理数的运算律在实数中仍然适用. 【即学即练1】 计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据算术平方根定义和立方根定义进行求解即可． 【详解】解： ． 题型01 实数概念理解 【典例1】下列说法正确的是（    ） A．是16的一个平方根 B．两个无理数的和一定是无理数 C．无限小数是无理数 D．0没有算术平方根 【答案】A 【分析】此题考查了实数的运算，平方根，算术平方根及实数的概念，利用有理数、无理数的性质，以及平方根定义判断即可． 【详解】解：A、16的平方根是，符合题意； B、两个无理数的和不一定是无理数，如：，不符合题意； C、无限不循环小数是无理数，，不符合题意； D、0的算术平方根是0，不符合题意， 故选：A． 【变式1】的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数、相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 【变式2】有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③绝对值等于本身的数是0，1；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．其中正确的个数是 个． 【答案】2 【分析】本题考查无理数，绝对值，实数的分类，近似数，实数和数轴的知识点，根据这些知识点注意判断即可． 【详解】解：无理数都是无限不循环小数，所以①正确； 数轴上的点与实数一一对应，所以②错误； 绝对值等于本身的数是0或正数，所以③错误； 是无理数，所以④错误； 近似数所表示的准确数a的范围是：，所以⑤正确． 故正确的有2个， 故答案为：2． 题型02 实数的分类 【典例1】将下列各数填入相应的集合内． ，，，，，，，，， ①有理数集合{    …} ②无理数集合{    …} ③负实数集合{    …} 【答案】①，，，，，，；②，，；③，， 【分析】本题考查实数，解题的关键是掌握：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，小于零的实数是负实数，据此可得答案．本题也考查了算术平方根和立方根的意义． 【详解】解：∵，，， ∴①有理数集合{，，，，，，，…}， 故答案为：，，，，，，； ②无理数集合{，，，…}， 故答案为：，，； ③负实数集合{，，，…}， 故答案为：，，． 【变式1】请将下列各数分别填入相应的括号内： （每两个6之间的5依次多一个），． 正数集合：｛      ，…}； 有理数集合：｛      ，…}； 负数集合：｛      ，…}； 无理数集合：｛      ，…}． 【答案】；；（每两个6之间的5依次多一个），；（每两个6之间的5依次多一个） 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 根据无理数和有理数的定义即可解答． 【详解】解：， 正数集合：； 有理数集合：； 负数集合：（每两个6之间的5依次多一个），； 无理数集合：（每两个6之间的5依次多一个）． 故答案为： ；；（每两个6之间的5依次多一个），；（每两个6之间的5依次多一个）． 【变式2】把下列各数填入相应的集合内： （每两个2之间的1依次多一个），，． 正有理数集合：{      …}； 正无理数集合：{      …}； 负有理数集合：{      …}； 负无理数集合：{      …}； 正实数集合：{      …}； 负实数集合：{      …}； 【答案】；（每两个2之间的1依次多一个），；；；（每两个2之间的1依次多一个，，，； 【分析】本题主要考查有理数、实数的分类等知识点，熟练掌握实数的定义及其分类是解题的关键．根据有理数、实数的定义及其分类求解即可． 【详解】解：，， 正有理数集合：； 正无理数集合：{（每两个2之间的1依次多一个），…}； 负有理数集合：； 负无理数集合：； 正实数集合：{（每两个2之间的1依次多一个，，，…}； 负实数集合：． 题型03 实数的性质 【典例1】实数2023的相反数是（　　） A． B． C． D．2023 【答案】A 【分析】本题考查了实数的性质，相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键．正数的相反数是负数，负数的相反数为正数，0的相反数是0，根据相反数的定义即可解答． 【详解】解：实数2023的相反数是， 故选：A． 【变式1】若没有平方根，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平方根的意义，实数的性质，根据负数没有平方根得出，即可求出m的取值范围，再判断的取值范围，最后根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵没有平方根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】若m，n为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是绝对值与平方的非负数性，实数的含义，求解代数式的值，根据非负数的性质可得，，求解，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 【变式3】在下列说法中①是的平方根；②的立方根是；③的算术平方根是5；④带根号的数都是无理数；⑤0的相反数和倒数都是0；⑥；⑦已知是有理数，则； 说法正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数的性质，无理数的定义，算术平方根和立方根，熟知相关知识是解题的关键． 对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此可判断①②③④⑥⑦，根据0没有倒数即可判断⑤． 【详解】解：①是的平方根，原说法错误； ②的立方根是，原说法错误； ③的算术平方根是5，原说法正确； ④带根号的数不一定都是无理数，例如是有理数，原说法错误； ⑤0的相反数是0，但是0没有倒数，原说法错误； ⑥，原说法错误； ⑦已知是有理数，则，原说法正确； ∴说法正确的有③⑦，共2个， 故选：B． 题型04 实数的大小比较 【典例1】比较的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是实数的比较大小，根据开方和乘方互为逆运算将无理数化为有理数，然后比较大小是解决此题的关键． 先分别求出这三个数的六次方，然后比较它们的六次方的大小，即可比较这三个数的大小． 【详解】解：∵，，， 而， ∴． 故选：D． 【变式1】比较大小： ； ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 > 【分析】本题考查了实数的大小比较和无理数的估算．根据正数的比较法则和无理数的估算即可得到答案． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， 故答案为：>， 【变式2】比较大小：7 ．（填“>”或“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，解题的关键是熟练掌握实数大小的比较方法． 根据实数大小的比较方法比较大小即可． 【详解】解：， 又 ∵ ， ， 故答案为：> ． 【变式3】阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． (1)比较的大小； (2)已知，比较的大小（均为大于的数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，幂的乘方的逆用，有理数的大小比较，掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键． （）根据材料二的方法求解即可； （）先根据材料一的方法可得，，然后判断即可解答； 【详解】（1）解：∵，，，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． 题型05 实数的混合运算 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，有理数的混合运算，熟练掌握算术平方根，立方根，有理数的混合法则是解题的关键． （1）先分别计算算术平方根，立方根，然后进行加减运算即可； （2）先分别计算算术平方根，立方根，乘方的运算，然后计算乘除法，最后进行加减法运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键； （1）先根据算术平方根的性质、实数的性质化简，再计算，即可求解； （2）先根据算术平方根、立方根的概念及实数的性质化简，再计算，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数运算法则是解题的关键． （1）先计算开方与乘方，再计算加减即可； （2）先计算开方与乘方，并求绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型06 程序设计与实数运算 【典例1】如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，实数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据程序第一步计算，，再次计算得，，是无理数，直接输出即可． 【详解】解：根据程序第一步计算， 再次计算得， 是无理数，直接输出， 故选：C． 【变式1】以下是一个复杂的程序算法，每当输入一个实数，就会按照箭头顺序和正确的选择判断依次计算并输出结果．如输入的，得到结果6；输入的，得出结果2．据此判断下列说法中，不正确的是（ ） A．如果输入的x为，输出的结果为0 B．如果输入一个无理数，有可能变成一个有理数 C．如果输出的结果是，那么原来输入的x可能是1012或 D．输出的结果有可能为0 【答案】C 【分析】本题考查了代数式和实数的运算，理解题中程序图的含义是解题的关键． 根据选项依次输入计算判断即可． 【详解】解：A、输入的x为时，， ∴， ∴，正确，不符合题意； B、当输入的无理数为：时，， ∴， ∴，为有理数，正确，不符合题意； C、当输入的x是1012时，输出， 当输入的x是时，， ∴， ∴，故选项错误，符合题意； D、由选项A得，当x为，输出的结果为0，正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】如图是一个数值转换器，当输入的值为256时，则输出的值是 ． 【答案】 【分析】如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，再代入计算即可求解． 本题考查算术平方根，无理数的含义，程序流程图，关键是掌握算术平方根的定义． 【详解】解：输入x的值为256时，256的算术平方根是16， 16是有理数，再输入可得： 16的算术平方根是4， 4是有理数，再输入可得： 4的算术平方根是2， 2是有理数，再输入可得： 2的算术平方根是， 是无理数，则输出y的值是． 故答案为：． 【变式3】如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值是64时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键熟练掌握实数的运算法则．首先求出64的平方根，然后再计算出其立方根即可． 【详解】解：由题意得当输入x的值是64时， ，， ， 故答案为：． 题型07 新定义下的实数运算 【典例1】现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式1】阅读材料： 如果整数，满足，，其中，，，都是整数，那么一定存在整数，，使得． 例如，，，或， 根据上述材料，解决下列问题： （1）已知，，或，，若，则 ； （2）已知，，为整数），．若，则用含，的式子表示为 ． 【答案】 9 或 【分析】本题主要考查了实数运算，整式运算，完全平方公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）结合，求解即可； （2）将代入，整理可得，即可获得答案； 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， 故答案为：9； （2）解：根据题意，， ， ， ， 或． 【变式2】定义：对于任意实数表示不大于x的最大整数．如：． (1)_______； (2)对数65进行如下运算：①；②；③．这样对数65运算3次后的值就为1，一个正整数总可以经过若干次这样的运算后值为1，则数255经过_______次这样的运算后值为1． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟记1至25的平方，在初中阶段非常重要，在解决本题时可提高效率． （1）根据表示不超过的最大整数计算，可得答案． （2）先估算要被开方的数的取值在那两个整数之间，根据表示不超过的最大整数对，255进行此类运算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：． （2）解：∵，，， ∴，，即对255经过了3次运算后结果为1， 故答案为：3． 【变式3】设p，q为两个正整数，若p，q最大公约数为1，则p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数表示不超过n且与n互素的正整数的个数，记为，例如不超过5且与5互素的正整数个数，易知． (1)求． (2)判断是否一定成立（m，n均为正整数）． 设p为素数，k为正整数，使用p，k表示． 【答案】(1)20 (2)①不一定，② 【分析】（1）根据题意，，得到偶数中2，4，8，14，奇数中1，7，11，13与15互素，得到；，得到偶数中2，4，8，14，16，20，奇数中1，5，11，13，17，19与21互素，得到；计算即可． （2）举反例说明即可． 设p为素数，当时，发现其中的规律，引申为一般性结论即可． 本题考查了新定义，数字的规律，熟练掌握定义，发现数字中的规律是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴偶数中2，4，8，14，奇数中1，7，11，13与15互素， ∴； ∵， ∴偶数中2，4，8，14，16，20，奇数中1，5，11，13，17，19与21互素， ∴； ∴． （2）解：根据题意，得， 故， 故不一定成立． 解：设p为素数，当时， ； 当时， ； 当时， ； 由此得到规律如下： 当时， ； 故素数为p，指数为k时，． 题型08 无理数整数部分的有关计算 【典例1】若的整数部分为，的立方根为，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了无理数的估算、立方根、代数式求值，熟练掌握无理数的估算和立方根的性质是解题关键．先根据无理数的估算、立方根的性质求出的值，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵的整数部分为， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， 故答案为：9． 【变式1】已知是的小数部分，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，结合，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的小数部分， ∴， 则， 故答案为：． 【变式2】估算的整数部分的数值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握估算方法是解题的关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴的整数部分的数值是4， 故答案为：4 ． 【变式3】若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了无理数的估算和实数的混合运算．根据无理数的估算得到的整数部分，小数部分，代入求值即可． 【详解】解：∵， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：， 一、单选题 1．在实数，，，，，中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了无理数的定义，算术平方根，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，由此即可判定选项． 【详解】解：在实数，，，，， 中，无理数有，，共2个， 故选：A． 2．如图，是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数所对应的点紧靠着（与数所对应的点重合）．假设硬币的直径为个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一圈，点恰好与数轴上点重合，则点对应的实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，先求出硬币的周长，进而根据点对应的数即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵硬币的直径为个单位长度， ∴硬币的周长为个单位长度， ∵ 与数所对应的点重合， ∴点对应的实数是，即， 故选：． 3．下列说法中，正确的是（  ） A．是分数 B．是整数 C．是无理数 D．0不是实数 【答案】C 【分析】本题考查实数的分类，熟知实数的分类是解答的关键． 根据实数的分类进行判断即可． 【详解】解：是无理数，故A说法错误，不符合题意； 是无理数，故B说法错误，不符合题意； 是无理数，故C说法正确，符合题意； 0是实数，故D说法错误，不符合题意． 故选：C． 4．如图是一个“数值转换机”的示意图，当输入81时，输出的值是（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了求算术平方根、无理数，根据“数值转换机”的示意图代入求值，并结合无理数的定义判断即可得解． 【详解】解：当输入81时，是有理数， 是有理数， 是无理数，即输出的值是， 故选：A． 5．如图，数轴上表示的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴、无理数的估算．熟练掌握实数在数轴上的位置，无理数近似值大小，是解决问题的关键．由，点B表示的数在2和3之间，即得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵数轴上点B所表示的数大于2而小于3， ∴数轴上表示的点可能是B， 故选：B． 6．如图所示，四边形、、均为正方形，且正方形面积为10，正方形面积为1，则正方形的边长可以是（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的应用，估算无理数的大小，根据算术平方根性质求出，再根据无理数的估算结合，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， 同理，得， ∵，即， ∴正方形的边长，即． ∴正方形的边长可能是． 故选：B． 7．估算 的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用得到，从而可对进行估算． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 8．对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（   ） A． B． C．或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了新定义、解分式方程，分两种情况：当时，当时，分别列出分式方程，解方程即可得解． 【详解】解：当时，， 解得：， 经检验，是分式方程的解； 当时，， 解得：， 经检验，是分式方程的解； 综上所述，方程的解为或， 故选：C． 9．在一列数，，，……中，已知，且当时，，（表示不超过实数a的最大整数，例如，），则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了定义新运算、数字变化的规律，理解题意，学会利用新定义的运算找出规律是解题的关键．由题意依次求出，，，，……，可得出规律以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环，利用规律即可解答． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， ， ， ，…… 观察规律可知，以1、2、3、4为一个循环组，每4个数为一次循环， ， ． 故选：B． 10．在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义运算“新运算操作”，正确理解“新运算操作”是解题关键． 根据数轴可知，，则有，结合“新运算操作”可得，即可判断说法①；结合可得，即可判断说法②；推导，易得，可知，即可判断说法③；根据“新运算操作”可知所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，即可判断说法④． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴，故说法①正确； ∵， ∴，故说法②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，说法③错误； 可能的“新运算操作”有， ， ， ， ， ， ， ∴所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，说法④错误． 故选：D． 二、填空题 11．比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，由可得，进而可得，即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 12．已知二次三项式，则实数m的值为 ． 【答案】非零实数 【分析】本题主要考查了多项式的定义．根据多项式的定义解答即可求解． 【详解】解：∵二次三项式， ∴， 即m的值为非零实数． 故答案为：非零实数 13．在中，介于2和3之间的数有 ，介于3和4之间的数有 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是求出每个实数的范围． 求出每个实数的范围，再判断即可． 【详解】解：，，，， 则， ， 故介于2和3之间的数有，介于3和4之间的数有． 故答案为：；． 14．已知，则整数的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解决本题的关键．根据题意估算的大小，进一步可以得出答案． 【详解】解：， ， m为正整数，且， ． 故答案为：6． 15．一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“过数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数．把放在的后面组成一个四位数，我们把这个四位数除以11所得的商记为，例如：时，，．则 ．若为“过数”，若与的个位数字之和能被5整除，则满足条件的最大“过数”与最小“过数”的差是 ． 【答案】 384 82 【分析】本题主要考查代数式的运算和有理数的混合运算，根据题意可知，且，利用已知定义即可求得；设，则，可求得，结合题意可知能被5整除，则能被5整除，令，分情况计算求得满足条件的最大“过数”与最小“过数”并作差即可． 【详解】解：当，则， ∴， 设， 则， ， ∵与的个位数字之和能被5整除，且， ∴， 则能被5整除， 令， 当时，或或或； 当时，或或或或或或或； 当时，或或或； 满足条件的最大“过数”与最小“过数”的差是， 故答案为：384，82． 16．已知a，b为实数，定义一种新的运算“☆”如下： ，若，则 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．分类讨论3与的大小，利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】解：当，即时，已知等式变形得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，但，不符合题意，舍去； 当，即时，已知等式变形得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意． 故答案为：． 17．规定两正数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，根据定义可得：，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算： （1）的值为 ； （2）的值为 ． 【答案】 3 6 【分析】本题考查了实数的运算．理清题意，熟练掌握新的运算法则，同底数幂乘法法则，是解题的关键． （1）利用规定的运算法则即可求解． （2）利用规定的运算法则，逐步脱式运算，即可求解． 【详解】解：（1）； 故答案为：3； （2） ． 故答案为：6． 三、解答题 18．（1）下面是小李探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形的边长是，． 设，可画出示意图如如图． 由面积公式可得． 当x足够小时，可以略去，得，解得：，即_______； 1 x x 1 1 （2）已知，设，类比（1）的方法，深究的近似值（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）． 【答案】（1）1.5；（2），图见解析 【分析】本题考查了估算无理数的大小，解一元一次方程，完全平方公式等知识点，考查数形结合的思想，画出示意图是解题的关键． （1）根据即可得出答案； （2）画一个边长为2的正方形，左下角正方形的面积大正方形的面积个长方形的面积+小正方形的面积得到，略去，求出，从而得到的近似值． 【详解】解：（1）解：∵， ， 故答案为：1.5； （2）由题意画出示意图如图． 设， ∴， 由面积公式可得， ∴， ∴． 当x足够小时，略去，得， 解得：， ∴， ∴． 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方、开方和绝对值，再算加减即可． 【详解】解：原式 ． 20．计算： (1)； (2)求中x的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了实数的运算，平方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据算术平方根、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）根据平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： （2）解：， 或． 21．如下图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周（无滑动），圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a． (1)求a的值； (2)求的算术平方根； (3)利用计算器计算时，按键，显示结果是_______． 【答案】(1)； (2)2； (3)0． 【分析】本题主要考查了实数的运算，实数与数轴： （1）根据题意可知，点A与原点的距离为该圆的周长，据此求解即可； （2）根据（1）所求结合实数的运算法则求解即可； （3）根据题意只需要计算出的结果即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵ ∴ ， ∴的算术平方根为2； （3）解：由题意得按键表示的是． 22．阅读下面的文字，解答问题： 如图1，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个面积为的大正方形，试根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的面积为的大正方形的边长就是原来边长为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为_____；如图2，数轴上点表示的数是__________； (2)观察图3，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分（正方形）的边长是__________； (3)如图4，利用圆规在数轴上作出图3中正方形边长的对应点（保留作图痕迹）； (4)如图4，在数轴上，表示1的点记为，点也在这条数轴上且，直接写出点表示的数． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 (4)或 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根的实际应用． （1）大正方形的面积求出边长即可即可； （2）利用割补法求出正方形的面积即可； （3）以原点为圆心，为半径画弧，交正半轴于点P，点P即为所求； （4）分两种情形画出图形，求出，可得结论． 【详解】（1）解：∵面积为的大正方形的边长，面积为的大正方形的边长就是原来边长为的小正方形的对角线长， ∴小正方形的对角线， ∴点A表示的数为， 故答案为：，； （2）解：图3中，正方形的面积为， ∴正方形的边长， 故答案为：； （3）解：如图，点P即为所求； （4）解：∵，， ∴， ∵， 当点N在点M的右侧时，N表示的数为， 当点N在点M的左侧时，表示的数为． 综上所述，点N表示的数为或． 23．设的小数部分为的整数部分为，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出x、y的值是解题的关键． 先根据无理数的估算求其x、y的值，然后计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 24．对任何实数、，定义运算：，其中为常数． (1)已知，求的值； (2)在（1）的条件下，对于任意非零实数，都有，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键． （1）根据题意列得方程，解方程即可； （2）根据题意列得方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：由题意得， 则， 对于任意非零实数，此式都成立， ， 解得：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$