精品解析：四川省内江市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

内江市2024～2025学年度第一学期高一期末检测题 数学 本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号，班级用签字笔填写在答题卡相应位置． 2．选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不能答在试题卷上． 3．非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上． 4．考试结束后，监考人员将答题卡收回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 设命题三角形的内角和为，则p的否定为（ ） A. 所有三角形的内角和都不为 B. 有的三角形的内角和为 C. 存在三角形的内角和不为 D. 三角形的内角和不为 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 中国扇子历史悠久，源远流长，在长达数千年的发展过程中，被赋予了极其深厚的文化内涵和鲜明的民族特色．自古中国就有“制扇王国”的美誉，数量之大品种之多，皆居世界首位．如图，现从一圆面中剪下一个扇形制作一把扇形扇子，为了使扇子形状更为美观，要求剪下的扇形和圆面剩余部分的面积比值为黄金分割比，则扇子的圆心角应为（ ） A. B. C. D. 6. 在下列区间中，方程的解所在的区间为（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正常数），如果在前5h消除了10%的污染物，则污染物减少50%需要花费的时间约为（ ） （本题参考数据：） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（ ） A. 0 B. 2025 C. 2024 D. 2 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，，，下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 在区间单调递增 B. 在区间内有4个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 在区间上的最大值为 11. 设，用表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数，下列选项正确的有（ ） A. B. C. 当时， D. 方程在实数范围内有9个不同的实数根 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面直角坐标系中，已知是以原点O为圆心，半径长为3的圆，角的终边与的交点为P，则点P的纵坐标y关于x的函数解析式_______． 13. 如图，已知函数的图象经过点，则的最小值为_______． 14. 已知函数对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象经过点，其中． （1）求实数a，b的值； （2）求函数的定义域和值域． 16. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，． （1）求函数的解析式． （2）求函数的单调区间，并说明理由． 17. 经过市场调查分析，某地区一年的前个月内，对某种商品的需求累计万件，近似地满足下列关系：． （1）求这一年内，哪几个月需求量超过1.7万件? （2）若在全年销售，将该产品都在每月初等量投放市场，则为保证该产品全年不脱销，每月初至少投放多少万件?（精确到万） 18. 已知函数的最小正周期为2，部分图象如图所示． （1）求A，，； （2）在实数范围内，求使不等式成立的x的集合； （3）若，且满足，求满足要求的m的个数． 19. 意大利著名画家达芬奇曾提出一个引人深思的数学问题：倘若将项链的两端牢牢固定，并让它在重力的牵引下自然垂落，那么这条项链所勾勒出的曲线形态究竟怎样?这便是闻名遐迩的“悬链线问题”．1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为，其中c为参数.当时就是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为，悬链线方程在海洋、河流、道路工程等多个领域有着广泛的应用，它的应用不仅能提高工程结构的安全性和稳定性，也能增强整个工程项目的经济性和实用性． （1）求证：； （2）求函数的最小值； （3）求证：对，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江市2024～2025学年度第一学期高一期末检测题 数学 本试卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号，班级用签字笔填写在答题卡相应位置． 2．选择题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不能答在试题卷上． 3．非选择题用签字笔将答案直接答在答题卡相应位置上． 4．考试结束后，监考人员将答题卡收回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别确定集合，再求. 【详解】由，所以. 由，所以. 所以. 故选：A 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：利用作差法分析判断即可. 【详解】对于选项A：例如，可得，故A错误； 对于选项B：例如，满足， 但，即，故B错误； 对于选项C：例如，满足， 但，即，故C错误； 对于选项D：因为， 若，则， 可得，即，故D正确； 故选：D. 3. 设命题三角形的内角和为，则p的否定为（ ） A. 所有三角形的内角和都不为 B. 有的三角形的内角和为 C. 存在三角形的内角和不为 D. 三角形的内角和不为 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可判断正确选项. 【详解】命题：所有三角形的内角和都是， 所以命题的否定为：存在三角形的内角和不为. 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，把问题转化成“齐次式”求解. 【详解】由. 所以. 故选：B 5. 中国扇子历史悠久，源远流长，在长达数千年的发展过程中，被赋予了极其深厚的文化内涵和鲜明的民族特色．自古中国就有“制扇王国”的美誉，数量之大品种之多，皆居世界首位．如图，现从一圆面中剪下一个扇形制作一把扇形扇子，为了使扇子形状更为美观，要求剪下的扇形和圆面剩余部分的面积比值为黄金分割比，则扇子的圆心角应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合扇形面积公式运算求解即可. 【详解】设圆的半径为，剪下的扇形的圆心角为，则圆面剩余部分的圆心角为， 由题意可得：，解得. 故选：A. 6. 在下列区间中，方程的解所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递增， 可知函数在定义域内单调递增， 又因为， 可知函数的唯一零点在区间内， 所以方程的解所在的区间为. 故选：B. 7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正常数），如果在前5h消除了10%的污染物，则污染物减少50%需要花费的时间约为（ ） （本题参考数据：） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入数据先得到然后再根据指数函数的运算和对数运算即可求解. 【详解】根据题意可知,当为最开始的污染物含量.当时,废气的污染物含量为 所以所以当污染物减少时, 可设所以所以 则所以 故选：D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（ ） A. 0 B. 2025 C. 2024 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合奇函数定义可得，可知4为的一个周期，且，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，且函数是定义在上的奇函数， 则，即， 令，可得； 令，可得； 可得，则， 可知4为的一个周期，且， 所以. 故选：D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，，，下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据集合中元素的特点可排除AC；分析两直线的位置关系可判断B的真假；根据集合元素的关系可判断D的真假. 【详解】因为集合中的元素都是有序实数对（点）， 所以，的运算结果均为点的集合， 所以，都是错误的，即AC错误； 对B：因为方程组无解，所以正确，即B正确； 对D：因为， 又，所以，故正确，即D正确. 故选：BD 10. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 在区间单调递增 B. 在区间内有4个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 在区间上的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】先求的值，确定函数的解析式，求函数的单调区间，确定A的真假；求出函数在的零点，判断B的真假；求函数的对称中心，判断C的真假；求函数在的最大值，确定D的真假. 【详解】由（），又， 所以，，所以. 对A：由，得，， 的函数的单调增区间为，. 所以函数在上单调递增，因为，所以函数在上单调递增.故A正确； 对B：由，，所以且，所以的值可以为：，，，即函数在内有3个零点，故B错误； 对C：因为，所以点不是曲线的对称中心，故C错误； 对D：当时，， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以函数在上的最大值为.故D正确. 故选：AD 11. 设，用表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数，下列选项正确的有（ ） A. B. C. 当时， D. 方程在实数范围内有9个不同的实数根 【答案】BCD 【解析】 【分析】将表示为分段函数的形式，画出函数图像，由此判断函数的奇偶性，周期性，求出函数值，结合数形结合判断各个选项. 【详解】由于， 所以， 由此画出函数图象如下图所示， 由图可知，是非奇非偶函数，A选项错误； 是周期为1的周期函数，B选项正确； 当时，，C选项正确； 方程在实数范围内的实数根的个数可以转化为与交点的个数， 如图可得方程在实数范围内有9个不同的实数根，D选项正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：解题的主要方法是图象法数形结合得出函数的奇偶性及根的个数. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在平面直角坐标系中，已知是以原点O为圆心，半径长为3的圆，角的终边与的交点为P，则点P的纵坐标y关于x的函数解析式_______． 【答案】 【解析】 【分析】设出点的坐标，结合三角函数的定义可求. 【详解】设，则， ， 所以. 故答案为：. 13. 如图，已知函数的图象经过点，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，，且，利用乘“1”法，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为函数的图象经过点，则，即， 由图像可知，且， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】可知在定义域内单调递减，根据分段函数单调性以及对数函数性质列式求解即可. 【详解】由题意可知：在定义域内单调递减， 则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象经过点，其中． （1）求实数a，b的值； （2）求函数的定义域和值域． 【答案】（1）， （2）定义域：；值域： 【解析】 【分析】（1）把点代入函数的解析式，列方程组求解可得a，b的值. （2）根据对数的意义求函数的定义域，结合对数函数的性质结合二次函数在给定区间上的值域可求函数的值域. 【小问1详解】 由题意：， 又，所以. 【小问2详解】 因为， 由，所以函数的定义域为：. 因为，. 当时，，当时，取得最大值. 所以， 所以函数的值域为 16. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，． （1）求函数的解析式． （2）求函数的单调区间，并说明理由． 【答案】（1） （2）增区间，减区间，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性求函数的解析式. （2）先用单调性的定义证明函数在上的单调性，再结合偶函数的性质，可得函数在上的单调性. 【小问1详解】 设，则，所以， 又因为函数为偶函数，所以，所以，. 所以. 【小问2详解】 设， 则， 因为，所以，，所以. 即. 所以函数在上单调递增. 又函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以函数在上单调递减. 17. 经过市场调查分析，某地区一年的前个月内，对某种商品的需求累计万件，近似地满足下列关系：． （1）求这一年内，哪几个月需求量超过1.7万件? （2）若在全年销售，将该产品都在每月初等量投放市场，则为保证该产品全年不脱销，每月初至少投放多少万件?（精确到万） 【答案】（1）月 （2）1.43万件 【解析】 【分析】（1）首先求出第个月的月需求量，根据需求量超过万件建立等式关系，可求出所求； （2）设每月初等量投放商品万件，要使商品不脱销，对于第个月来说，不仅有本月投放市场的万件商品，还有前几个月未销售完的商品.所以，需且只需：，将分离出来，利用基本不等式可求出的最值. 【小问1详解】 第1个月的月需求量为， 第个月的月需求量为 ， 由得，又得， 即这一年的这四个月的需求量超过万件. 【小问2详解】 设每月初等量投放商品万件，要使商品不脱销，对于第个月来说，不仅有本月投放市场的万件商品，还有前几个月未销售完的商品.所以，需且只需：， 所以， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 即每月初至少要投放万件即1.43万件商品，才能保证全年不脱销. 18. 已知函数的最小正周期为2，部分图象如图所示． （1）求A，，； （2）在实数范围内，求使不等式成立的x的集合； （3）若，且满足，求满足要求的m的个数． 【答案】（1），， （2） （3）72 【解析】 【分析】（1）根据函数图象结合周期性、最值运算求解即可； （2）由（1）可知：，结合正弦函数性质解不等式即可； （3）根据正弦函数性质可得，代入整理可得，分类讨论k的奇偶性运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：， 因为，且函数的最小正周期为2， 则，解得，可得， 又因为函数的过点，则，即， 且，则，可得，即. 【小问2详解】 由（1）可知：， 因为，即，可得， 则，解得， 所以不等式成立的x的集合为. 【小问3详解】 因为，即， 可得，解得， 又因为，可得， 即，可得， 若为偶数，可得，解得，满足条件的有34个； 若为奇数，可得，解得，满足条件的有38个； 综上所述：满足条件的有个. 19. 意大利著名画家达芬奇曾提出一个引人深思的数学问题：倘若将项链的两端牢牢固定，并让它在重力的牵引下自然垂落，那么这条项链所勾勒出的曲线形态究竟怎样?这便是闻名遐迩的“悬链线问题”．1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为，其中c为参数.当时就是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为，悬链线方程在海洋、河流、道路工程等多个领域有着广泛的应用，它的应用不仅能提高工程结构的安全性和稳定性，也能增强整个工程项目的经济性和实用性． （1）求证：； （2）求函数的最小值； （3）求证：对，． 【答案】（1）因为. 所以：. （2） （3）当时，，. 对， 因为，所以为偶函数； 设，则， 因为，所以，，所以， 所以，即在上单调递增. 所以当时，. 对，类似的方法可得：为奇函数，在上单调递增. 所以当时，. 所以； 当时，. 设. 所以， 所以. 即. 综上可得：对，. 【解析】 【分析】（1）代入双曲余弦和双曲正弦函数的解析式，化简即可. （2）求函数解析式，利用换元法结合基本不等式可求函数的最小值. （3）当时，研究的符号，判断它们的大小，当时，构造函数，利用函数的单调性进行判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 . 设，则，当且仅当时取“”. 则，在上单调递增. 所以. 所以函数的最小值为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：在第三问中，关键是要分析双曲余弦函数和双曲正弦函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质比较大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $