精品解析：广西桂林市龙胜县2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷

2024-2025学年度上学期期中学情调研卷 九年级数学 （考试用时：120分钟 满分：120分） 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；不能使用计算器；考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列函数中，不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则把它改写成比例式后，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 6. 如图，与是位似图形，点是位似中心，若，且的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 关于反比例函数的图象性质，下列说法正确的是（　　） A. 图象位于第二、四象限 B. 图象经过点 C. 当时，y随x的增大而增大 D. y随x的增大而减小 8. 如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（ ）． A. B. C. 50 D. 30 9. 把一元二次方程化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点B，点P在x轴上，若的面积为2，则k的值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 11. 如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，正方形的顶点P，Q分别在反比例函数和的图象上，点M，N在x轴上，交y轴于点G，连接交y轴于点H，若，则（ ） A. B. C. D. 2 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 方程的解为______________． 14. 如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，则______． 15. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂（单位：）的函数解析式为______． 16. 如图，四边形四边形，若，则_________． 17. 反比例函数的图像经过、两点，当时，，写出符合条件的的值_________（答案不唯一，写出一个即可）． 18. 若a，b是方程的两个实数根，则的值为 _______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，的竹竿垂直地面放置、影子长为，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子高为，那么这棵树的高度是多少？ 21. 某种原料需要达到及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度与时间之间的关系，其中线段表示原料加热阶段；线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是双曲线的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题： （1）填空：的值为_______； （2）求线段对应的函数解析式； （3）在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度． 22. 已知：关于x的方程． （1）不解方程，判别方程的根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m的值和方程另一个根． 23. “黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为的等腰三角形，如图，在中，，． （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：请你利用所学知识，证明点是边的黄金分割点． 24. 如图1，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃，已知旧墙可利用的最大长度为，篱笆长为． （1）若围成的花圃面积为，求的长． （2）如图2，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为，请你判断能否围成这样的花圃．如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 25. 如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点． （1）求证：BD=CE； （2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长； 26. 如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，连接，． （1）求反比例函数的表达式． （2）请直接写出当时，的取值范围． （3）反比例函数的图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在．求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度上学期期中学情调研卷 九年级数学 （考试用时：120分钟 满分：120分） 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；不能使用计算器；考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列函数中，不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，形如的函数是反比例函数，据此判断即可求解，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，是反比例函数，该选项不合题意； 、不是反比例函数，该选项符合题意； 、是反比例函数，该选项不合题意； 、∵， ∴，是反比例函数，该选项不合题意； 故选：． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A、，是分式方程，故此选项不符合题意； B、，是二元二次方程，故此选项不符合题意； C、，是一元一次方程，故此选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是含有一个未知数且未知数的最高次数是2是解答本题的关键． 3. 已知，则把它改写成比例式后，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据比例的性质求解即可． 【详解】解：， ，， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握基础知识是解题的关键． 4. 已知点是反比例函数上一点，则下列各点中在该图像上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把点（3，1）代入双曲线 ( k ≠0)，求出 k 的值，再对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵点（3，1）是双曲线 ( k ≠0）上一点， ∴ k =3×1=3， A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； B 、1×=≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； C 、×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误； D 、6×=3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确， 故选： D． 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的应用，解题的关键是同时满足一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式大于0的条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数；再由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式计算的取值范围，最后结合两者得到的最终范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴； ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； 综上，且． 故选：D． 6. 如图，与是位似图形，点是位似中心，若，且的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由与是位似图形，可得，进而由得相似比为，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解的题关键． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴， ∵点是位似中心，若， ∴相似比为， ∴， ∵的面积为， ∴， 故选：． 7. 关于反比例函数的图象性质，下列说法正确的是（　　） A. 图象位于第二、四象限 B. 图象经过点 C. 当时，y随x的增大而增大 D. y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题反比例函数的图象及性质，根据反比例函数的图象及性质逐一判断即可． 【详解】对于反比例函数， ∵， ∴函数图象位于第一、三象限，在其象限内，y随x的增大而减小，故选项A、C、D错误； ∵当时，， ∴图象经过点，故选项B正确． 故选：B 8. 如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（ ）． A. B. C. 50 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可求出的长． 【详解】解：， ， 即， ， 的长是． 故选：D． 9. 把一元二次方程化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先把常数移到右边，再两边加上一次项系数一半的平方，把左边变成完全平方式即可，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 配方得，， 即， 故选：． 10. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，轴于点B，点P在x轴上，若的面积为2，则k的值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义．熟练掌握几何图形的面积与比例系数的关系是解题的关键． 如图，连接，由轴，可得，，然后计算作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 解得，或（舍去）， 故选：D． 11. 如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，运算程序与方程计算，正确掌握一元二次方程的解法及理解运算程序图是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 直接开平方得：或， 解得． 故选：C． 12. 如图，正方形的顶点P，Q分别在反比例函数和的图象上，点M，N在x轴上，交y轴于点G，连接交y轴于点H，若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定与性质；由反比例函数比例系数的几何意义得；易得，则可得，由此即可求得结果． 【详解】解：∵正方形的顶点P，Q分别在反比例函数和的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 13. 方程的解为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”进行求解． 【详解】解：由，得 或， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 14. 如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据点D是AB中点直接得出的值即可 【详解】解：∵点D是AB中点， ∴AB=2AD， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了线段的中点及线段的比，解决本题的关键是熟练掌握线段中点的定义． 15. 公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂（单位：）的函数解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式． 【详解】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m， ∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5=Fl， 则． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键． 16. 如图，四边形四边形，若，则_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题考查相似多边形的性质：对应角相等，由四边形相似得到，由四边形内角和即可求出答案，正确理解相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 17. 反比例函数的图像经过、两点，当时，，写出符合条件的的值_________（答案不唯一，写出一个即可）． 【答案】－1（答案不唯一，取的一切实数均可） 【解析】 【分析】先根据已知条件判断出函数图象所在的象限，再根据系数k与函数图象的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过、两点，当时，， ∴此反比例函数的图象在二、四象限， ∴k＜0， ∴k可为小于0的任意实数． 例如，k＝﹣1等． 故答案为：﹣1（答案不唯一，取的一切实数均可） 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 18. 若a，b是方程的两个实数根，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根于系数的关系，根据一元二次方程根于系数的关系可得，，代入即可求解，熟练掌握一元二次方程根于系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ，， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法． （1）利用因式分解法把方程化为或，然后解一次方程即可； （2）利用因式分解法把方程化为或，然后解一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 所以，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 所以，． 20. 如图，在离某建筑物处有一棵树，在某时刻，的竹竿垂直地面放置、影子长为，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子高为，那么这棵树的高度是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过点作于点，则，，可知，得到，据此求出即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示，则，， 由题意可知，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， 答：这棵树的高度是． 21. 某种原料需要达到及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度与时间之间的关系，其中线段表示原料加热阶段；线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是双曲线的一部分，表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题： （1）填空：的值为_______； （2）求线段对应的函数解析式； （3）在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度． 【答案】（1）21 （2） （3） 【解析】 【分析】本题为实际应用背景的函数综合题，考查求得一次函数、反比例函数解析式．解答时应注意临界点的应用． （1）由线段轴，且点的纵坐标为100，代入，即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）将分别代入和，即可求解． 【小问1详解】 解：∵线段轴，且点的纵坐标为100， ∴， 解得， 故答案为：21； 【小问2详解】 解：设线段的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴线段的解析式为； 【小问3详解】 解：在中，当时，， 解得， 在中，当时，， 解得， ∴， ∴在图中所示的温度变化过程中，可进行零件加工的时间长度为． 22. 已知：关于x的方程． （1）不解方程，判别方程的根的情况； （2）若方程有一个根为3，求m的值和方程另一个根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根 （2）综上所述，另一根为或者，另一根为 【解析】 【分析】(1)、根据根的判别式判断即可； (2)、将代入方程，解方程即可得m的值，继而可得方程的另一个根． 【小问1详解】 解： ， ∴方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：把代入方程得： ， 解得： 当时，方程的解为 ∴另一根为； 当时，方程的解为 ∴另一根为； 综上所述，另一根为或者，另一根为． 【点睛】本题考查根的判别式和方程的解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 23. “黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为的等腰三角形，如图，在中，，． （1）实践与操作：利用尺规作的平分线，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； （2）猜想与证明：请你利用所学知识，证明点是边的黄金分割点． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 证明：∵在中，，， ∴， 平分， ∴， ，， ， ， ∵，， ∴， ：：， ：：， ∴， 点是边的黄金分割点． 【解析】 【分析】（1）作的角平分线，交于点； （2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可知，再证，根据相似三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了黄金分割，等腰三角形、相似三角形的判定和性质，以及尺规作图等知识；熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 24. 如图1，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃，已知旧墙可利用的最大长度为，篱笆长为． （1）若围成的花圃面积为，求的长． （2）如图2，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为，请你判断能否围成这样的花圃．如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2） 不能围成这样的花圃． 理由：依题意可知，即， ， ∴方程无实数根， 答：不能围成这样的花圃． 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题． （1）根据题意列方程，列方程即可得到结论． （2）根据题意列方程，列方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的边长为，根据题意得， 则， 解得，， 当时，；当时，． 墙可利用的最大长度为，舍去， 答：的长为． 【小问2详解】 略 25. 如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点． （1）求证：BD=CE； （2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长； 【答案】（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， ∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE， ∴△ADB≌△AEC， ∴BD=CE． （2）PB的长为或． 【解析】 【分析】（1）依据等腰三角形的性质得到AB=AC，AD=AE，依据同角的余角相等得到∠DAB=∠CAE，然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到BD=CE； （2）分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PEB∽△AEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可． 【详解】解：（1） 略 （2）解：①当点E在AB上时，BE=AB﹣AE=1． ∵∠EAC=90°， ∴CE==． 同（1）可证△ADB≌△AEC， ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠PEB=∠AEC， ∴△PEB∽△AEC， ∴， ∴， ∴PB=． ②当点E在BA延长线上时，BE=3． ∵∠EAC=90°， ∴CE==． 同（1）可证△ADB≌△AEC， ∴∠DBA=∠ECA． ∵∠BEP=∠CEA， ∴△PEB∽△AEC， ∴， ∴， ∴PB=． 综上所述，PB的长为或． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得△PEB∽△AEC是解题的关键． 26. 如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，连接，． （1）求反比例函数的表达式． （2）请直接写出当时，的取值范围． （3）反比例函数的图象上是否存在点，使四边形为菱形？如果存在．求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标是 【解析】 【分析】（）利用一次函数求出点坐标，再利用等腰三角形的性质得到点坐标，进而求出点坐标，最后代入反比例函数的表达式求出即可求解； （）当时，反比例函数图象位于一次函数图象上方，结合函数图象即可求解； （）存在点，使四边形为菱形．连接与交于点，由菱形的性质可得，即得点的横坐标，再把横坐标代入反比例函数的表达式即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴点， ∵轴于点， ∴点的横坐标为, 把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，反比例函数图象位于一次函数图象上方， ∴由图象可得的取值范围为； 【小问3详解】 解：存在点，使四边形为菱形． 连接与交于点 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 把代入反比例函数得， ， ∴点的坐标是， ∴反比例函数图象上存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标是． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，等腰三角形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，菱形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $