辽宁省大连市甘井子区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年辽宁省大连市甘井子区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在美术字中，有些汉字是轴对称图形，下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2.六边形的外角和等于（ ） A. B. C. D. 3.如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使.连接BC并延长到点E，使.连接DE，可证，那么测量出DE的长就是池塘两端A，B的距离.证明的依据是（ ） A.SAS B.ASA C.AAS D.HL 4.如图，在中，，，，点D是AB的中点，，则DE的长度是（ ） A.0.5 B.1 C.2 D.4 5.如图，，若，，则GH的长度是（ ） A.1.1 B.2.1 C.2.2 D.3.3 6.如图，在中，，，AD是的角平分线，则（ ） A. B. C. D. 7.如图，在中，，点D在AC上，且，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8.如图，在中，，，则的高AD与CE的比是（ ） A. B. C. D. 9.如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点G，交AC于点H；再分别以点G、H为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点O；连接AO并延长交BC于点D，点P是AD上的一点，过点P分别作，，交BC于点E，E过点D作于点M，于点N，交PE于点K，PF于点L.下列线段的数量关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10.如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔.设计要求：发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两条高速公路m和n的距离也相等.关于发射塔应修建的位置，下列说法正确的是（ ） A.线段AB的中点 B.直线m和n的交角（锐角）的角平分线与线段AB的交点 C.线段AB的垂直平分线和直线m和n的交角（锐角）的角平分线的交点 D.线段OA的垂直平分线和线段OB的垂直平分线的交点 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 11.如图，和关于直线MN对称，，则________. 12.如图，，，垂足分别为E，F，，若要依据HL证明，则需添加的一个条件是________. 13.如图，从A处观测C处仰角，从B处观测C处的仰角，从C外观测A、B两处时视角________度. 14.如图，五边形ABCDE的内角都相等，且，，则________. 15.如图，是等边三角形，BD是中线，延长BC至点E，使，，垂足为F.若，，则的面积是________.（用含a和b的式子表示） 三、解答题：本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题8分） 如图，，，.求的度数. 17.（本小题8分） 如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，.求证：. 18.（本小题8分） 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，. （1）请画出关于y轴对称的图形，并直接写出顶点的坐标________； （2）关于x轴对称的图形为. ①不用画图，请直接写出三个顶点的坐标：________，________，________； ②若内任意一点P的坐标为，则点P在内的对应点的坐标为________.（用含x和y的式子表示） 19.（本小题8分） 如图，点D在AB上，点E在AC上，，，BE和CD相交于点O，求证：. 20.（本小题8分） 如图，中，，，BO平分，CO平分，过点O作交AB，AC于点M，N.求的周长. 21.（本小题10分） 图1 图2 图3 【课题回顾】 在学习《13.4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军饮马”和“造桥选址”两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题. 【问题探究】 如图1，在等边中，点D为BC中点，点P，Q分别为AC，BC上的点，，，点M是线段AD上的动点，连接MP，MQ，求的最小值. （1）小明提出的探究思路如下：如图2，作点Q关于直线AD的对称点，连接交AD于点M，连接MQ，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小. ①请你运用小明的探究思路，证明此时的值最小； ②求的最小值. 【类比探究】 （2）如图3，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点B为y轴正半轴上一点，连接AB，，点C为AB中点，OD平分交边AB于点D，点P为边OB上的一个动点若点M在线段OD上，连接MC，MP，当的值最小时，请直接写出点P的坐标________. 22.（本小题12分） 图1 图2 图3 图4 【发现问题】 在全等三角形研究“筝形”的数学活动中，学习了筝形的定义：有两组邻边分别相等的四边形叫做笔形，以及筝形的边，角，对角线的性质.小明在学完十三章《轴对称》后，将学过的角平分线的性质与判定定理，线段垂直平分线的性质与判定定理的图形进行了整理，发现这些图形中都存在笔形，且笔形是轴对称图形. 【提出问题】 小明利用筝形是轴对称图形对它的面积进行了探究，得到了笔形面积与对角线的数量关系. （1）如图1，在四边形ABCD中，，，对角线AC与BD相交于点O，求证： . 【分析问题】 （2）如图2，在四边形ABCD中，，，于点B，于点D，点M、N分别是AD、AB上的点，且，求的周长.（用含a的式子表示） 【解决问题】 （3）①如图3，在中，点D为内一点，AD平分，且.求证：. ②如图4，在中，，，点D、E分别是边BC、AB上的动点，当四边形AEDC为筝形时，请直接写出________. 23.（本小题13分） 图1 图2 图3 备用图 【活动初探】 在学习第十三章《轴对称》数学活动3时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系. （1）如图1，在中，，点D为BC中点，于点E，于点F.求证：. 【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，CF与BE相交于点G，连接AG并延长，交BC于点D.求证：点D为BC的中点. 【类比深探】 （3）在中，，点D为BC中点，，点F为直线AD上一动点，点E为射线CA上一动点（点E不与点A，C重合），，连接BE. ①如图3，当点F在点A上方，猜想并证明AC，AE，DF的数量关系： ②若，，且，请直接写出________（用含m，n的代数式表示）. 答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：选项A、C、D的汉字均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，选项B的汉字能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形. 故选：B. 根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.据此解答即可. 本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形. 2.【答案】C 【解析】解：多边形的外角和为，六边形的外角和等于. 故选：C. 根据多边形的外角和为进行作答即可. 本题主要考查多边形内角与外角，熟练掌握以上知识点是解题的关键. 3.【答案】A 【解析】解：在和中， ， 故选：A. 根据全等三角形的判定方法并结合图形即可解答. 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 4.【答案】B 【解析】解：在中，，，，， 点D是AB的中点，， ，，. 故选：B. 根据含角的直角三角形的性质即可得到结论. 本题考查了含角的直角三角形的，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键. 5.【答案】C 【解析】解：，， ，. 故选：C. 利用全等三角形的性质求解. 本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质. 6.【答案】C 【解析】解：，AD是的角平分线，， ， . 故选：C. 先根据角平分线的定义得出的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论. 本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知以上知识是解题的关键. 7.【答案】A 【解析】解：设，， 是的一个外角，， ，， ，， ，， 解得：，，，. 故选：A. 设，根据等腰三角形的性质可得：，再利用三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用三角形内角和定理进行计算即可解答. 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键. 8.【答案】B 【解析】解：与CE是的高，，，， ，，. 故选：B. 利用相似三角形的判定与性质解答即可. 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键. 9.【答案】D 【解析】解：由作法得AD平分，， ，，， ，，，，，， ，即PD平分， ，，即. 故选：D. 利用基本作图得AD平分，则根据角平分线的性质得到，再利用平行线的性质得到，，，，接着证明PD平分，根据角平分线的性质得到，所以. 本题考查了作图－基本作图：熟练掌握角平分线的画法和角平分线的性质，平行线的性质是解决问题的关键. 10.【答案】C 【解析】解：发射塔到两个城镇A，B的距离相等， 发射塔在线段AB的垂直平分线上， 在S区，发射塔到两条高速公路m和n的距离相等， 发射塔到在直线m和n的交角（锐角）的角平分线上， 发射塔的位置为线段AB的垂直平分线与直线m和n的交角（锐角）的角平分线的交点. 故选：C. 根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质进行判断. 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了线段垂直平分线的性质. 11.【答案】90 【解析】解：和关于直线MN对称，，. 故答案为：90. 根据轴对称的性质解决问题即可. 本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题. 12.【答案】 【解析】解：需添加的一个条件是， ，， 在和中， ， 故答案为：. 根据直角三角形全等的判定方法并结合图形即可解答. 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键. 13.【答案】15 【解析】解：方法1：是的外角， ，. 方法2：由邻补角的定义可得 . ， . 因为是的外角，所以，则. 本题考查的是三角形外角与内角的关系，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 14.【答案】 【解析】解：五边形ABCDE的内角和， 而五边形ABCDE的内角都相等， ， ，， 而，， ，. 故答案为. 先根据多边形的内角和定理得到五边形ABCDE的内角和，而五边形ABCDE的内角都相等，则， 根据三角形内角和定理得到，， 而，，则可计算出， 然后利用进行计算. 本题考查了多边形的内角和定理：n边形的内角和为. 15.【答案】 【解析】解：是等边三角形，，，， 是的中线，，， ，， ，， 在中，，，， 的面积是：. 故答案为：. 根据等边三角形的性质得，，，则，进而得，在中，根据得，然后根据三角形的面积公式求出的面积即可. 此题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握等边三角形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键. 16.【答案】解：，，，， ，， ，， . 【解析】先根据得出，再由可得出的度数，由得出的度数，根据即可得出结论. 本题考查的是三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟知三角形的内角和等于是解题的关键. 17.【答案】证明：，，， 在和中， ，.. 【解析】【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，属于基础题. 证明，然后根据SSS即可证明，然后根据全等三角形的对应角相等即可证得. 18.【答案】 【解析】解：（1）如图，即为所求. 由图可得，点的坐标为.故答案为：. （2）①与关于x轴对称，，，. 故答案为：；；. ②由题意得，点的坐标为.故答案为：. （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案. （2）①关于x紬对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得三个顶点的坐标. ②关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得答案. 本题考查作图－轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键. 19.【答案】证明：在和中 ，， ， 在和中 ， ，. 【解析】根据ASA证，推出，求出，再根据AAS推出即可. 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS. 20.【答案】解：平分，， ，， ，， 同理可得：， 的周长 ， ，， 的周长. 【解析】根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得；同理可得，从而确定出等腰三角形，再求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解. 本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键. 21.【答案】 【解析】（1）①证明：是等边三角形，点D为BC中点，， 点Q、关于直线AD的对称， ，， 两点之间，线段最短，此时的值最小； ②解：，， ，，， ，是等边三角形，， 的最小值； （2）解：作点C关于直线OD的对称点E，连接OC，OE，则OD垂直平分CE， 图3 ， 过E作于P交OD于M，则此时，的值最小， 点A坐标为，， ，， 点C为AB中点，，， 平分交边AB于点， ，， 轴，，，，. 故答案为：. （1）①根据等边三角形的性质得到，根据轴对称的性质得到，求得，得到，根据两点之间，线段最短，于是得到此时的值最小； ②由，，得到，，求得，推出是等边三角形，得到，于是求得的最小值； （2）作点C关于直线OD的对称点E，连接OC，OE，则OD垂直平分CE，得到，，过E作于P交OD于M，则此时，的值最小，由点A坐标为，得到，根据直角三角形的性质得到，，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论. 本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的判定和性质，轴对称－最短路径问题，直角三角形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键. 22.【答案】或40 【解析】（1）证明：，，是BD的垂直平分线，，， ，， ，； （2）解：如图2，延长AB到E，使，连接CE， 图2 ，，，， 在和中， ，，， ， 在和中， ，，， 的周长； （3）①证明：如图3，过点D作于E，作于F，则， 图3 平分，， 在和中， ，，， ，，， 即，； ②分两种情况： 如图4，当，时，连接CE， 图4 ，，，； 如图5，当，时，连接AD， 图5 ，， ，， ， 综上，的度数为或； 故答案为：或40； （1）先根据线段垂直平分线的判定可得：AC是BD的垂直平分线，最后由三角形的面积公式可得结论；（2）如图2，延长AB到E，使，连接CE，证明和，根据等量代换可得的周长； （3）①如图3，过点D作于E，作于F，根据HL证明，得，由等边对等角得，最后由等角对等边可得结论； ②分两种情况：如图4，当，时，连接CE；如图5，当，时，连接AD，证明两三角形全等解答即可. 此题是三角形的综合题，考查了笔形的判定与性质，线段垂直平分线的判定以及全等三角形的判定与性质等知识.本题综合性强，证明三角形全等是解此题的关键. 3.【答案】 【解析】（1）证明：如图1，连接AD， 图1 ，点D是BC边上的中点，平分， 于点E，于点F，； （2）证明：如图2，和分别为等边三角形， 图2 ，，，， ，，， ，，即， ，是BC的垂直平分线，是BC的中点； （3）解：①，理由如下： 如图3，连接CF， 图3 ，D为BC的中点，，， 是BC的垂直平分线，，， ，， ，，，， ，，， 在AE上截取，连接FN， ，，，， 是等边三角形，，， ，，， ，，， ， 中，，， ， ②分三种情况： i）当点F在点A的上方时，如图4， 图4 由①知：， ，，， ，， 此种情况不符合题意； ii）当点F在线段AD上时，如图5，在AC上截取，连接FM，CF， 图5 ，是等边三角形， ，，， ，，， ，， ，， ，，， ，， 此种情况不符合题意； iii）当点F在点D的下方时，如图6，在AF上截取，连接EN，BE，CF， 图6 同理得：是等边三角形， ，，， ，， ，， ， ，， ，， ， 是等边三角形，， ， ， ，， ， . 综上，DF的长为. 故答案为：. （1）根据等腰三角形三线合一的特性，可知道AD也是的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么； （2）如图2，根据等边三角形的性质得：，，，根据ASA证明，则，最后由线段垂直平分线的逆定理可得结论； （3）①如图3，连接CF，先根据等边对等角和三线合一的性质得：，，在AE上截取，连接FN，证明是等边三角形，再证明，最后由线段的和差及含角的直角三角形的性质可得结论； ②分三种情况进行讨论：点F在A的上方，点F在边AD上，点F在点D的下方，由①同理可得DF的长.本题属于三角形综合题：主要考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质与判定，角平分线的性质与判定，等边三角形的性质和判定等相关知识，熟练掌握相关知识，作等边三角形是解题关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$