精品解析：广东省仲元中学、龙城高级中学2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题

仲元中学-龙城高级中学2024-2025学年度 第一学期高二年级期末联考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点的直线的一个方向向量为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知数列是等比数列，其中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 5. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 当时，最大 B. 当时，最小 C. 数列中存在最大项，且最大项为 D. 数列中存在最小项 8. 斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列满足，，数列的前项的和为，前项的积为，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（不包括端点），则（ ） A. 当点为的中点时，与平面所成角为 B. 存在点，使得 C. 对于任意点，均不成立 D. 三棱锥的体积是定值 11. 已知为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，，为的中点，过作轴的垂线，垂足为.设抛物线的准线与轴交于点，且四边形为菱形，则（ ） A. 准线的方程为 B. C. 为钝角 D. 为钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与间的距离是__________. 13. 已知等比数列的前项和为，若，则__________． 14. 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则____________.动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角、、的对边分别为、、．已知． （1）求角的大小； （2）设为边的中点，若，，求的大小． 16. 已知关于x，y的方程. （1）若该方程表示圆C，求m的取值范围； （2）若圆C与圆外切，求m的值； （3）若（2）中的圆C与经过点的直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程． 17. 已知等差数列的前项和为，并满足. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 18. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点． （1）求证：平面平面； （2）若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长． 19. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. （1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为， （i）证明：为定值； （ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仲元中学-龙城高级中学2024-2025学年度 第一学期高二年级期末联考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点的直线的一个方向向量为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方向向量的定义即可求解. 【详解】由条件可得，解得. 故选：D. 2. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解. 【详解】由，因为椭圆的焦点在轴上，所以，， 因为长轴长是短轴长两倍，所以， 所以，得. 故选：D. 3. 已知数列是等比数列，其中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】推导出，结合等比中项的性质可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 因为，，由等比中项的性质可得，故. 故选：C. 4. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设对称圆的圆心，解方程组即得圆心，然后代入圆的标准方程得解. 【详解】圆的圆心为，设对称圆的圆心为， 依题意得，解得， 又圆的半径与对称圆的半径相等都为2， 所以对称圆的方程为. 故选：B. 5. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】联立方程，整理可得， 当时，即，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，解得； 所以直线与双曲线只有一个公共点时，或， 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【详解】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选：A. 7. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 当时，最大 B. 当时，最小 C. 数列中存在最大项，且最大项为 D. 数列中存在最小项 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可得，.对A：根据等差数列的前项和的性质结合二次函数分析判断；对B：分类讨论判断与的大小关系；对C、D：根据等差数列的单调性以及的正负性分析判断. 【详解】设等差数列的公差为d， ∵，则，即， 又∵，解得， 对A：∵为等差数列，则可设， 由二次函数可知不存在最大值，故A错误； 对B：因为，则有： 当时，，故； 当时，，故； 当时，，；故B错误； 对C、D：∵，则数列为递减数列， 且， 所以对，均有；对，均有0， 所以中，最大，无最小项，故C正确，D错误. 故选：C. 8. 斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设为中点，由可得，从而确定点坐标，再用点差法探索双曲线中，的关系，从而确定离心率. 【详解】如图： 取为中点，则由题意：，，则，. 作轴于点，则，， . 所以点坐标为. 再设，. 由， 且，，得： . 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据是等腰三角形，从而得到垂直关系是问题的突破口. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列满足，，数列的前项的和为，前项的积为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用递推公式逐项计算可判断A选项；根据数列的前项的值可判断数列的周期性，可判断B选项；利用数列的周期性计算可判断CD选项. 【详解】对于A选项，因为数列满足，，则， ，，，A对； 对于B选项，由A选项可知，数列是以3为周期的周期数列， 即对任意，，B对； 对于C选项，因为，且， 则，C对； 对于D选项，因为， 则，D错. 故选：ABC. 10. 如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（不包括端点），则（ ） A. 当点为的中点时，与平面所成角为 B. 存在点，使得 C. 对于任意点，均不成立 D. 三棱锥的体积是定值 【答案】AC 【解析】 【分析】在正方体中建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断A选项；利用空间位置关系的向量证明判断BC；利用点到平面距离的向量求法计算判断D. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令， 则、、、、、， 所以，， 对于A选项，当为的中点时，，， 易知平面的一个法向量为， 则， 故点为的中点时，与平面所成角为，A对； 对于B选项，令，则点，， ，若，则，必有，即与矛盾，B错； 对于C选项，，，其中， 若，则，解得，不合乎题意， 所以，对于任意点，均不成立，C对； 对于D选项，，设平面的法向量， 则，令，得， 于是点到平面的距离，，则不是常数， 又点、、是三个定点，面积是定值， 因此三棱锥的体积不是定值，D错. 故选：AC. 11. 已知为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，，为的中点，过作轴的垂线，垂足为.设抛物线的准线与轴交于点，且四边形为菱形，则（ ） A. 准线的方程为 B. C. 钝角 D. 为钝角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，由四边形为菱形且，求出的值，得抛物线方程和准线方程；由已知可得直线的倾斜角为，方程为，与抛物线方程联立求出两点坐标，求出判断B选项，利用向量数量积判断角的范围验证CD选项. 【详解】不妨设点在第一象限，如图， 对于A，由抛物线方程中的几何意义可知，， 四边形为菱形，， 为的中点，，解得， 抛物线的标准方程为，准线的方程为，A错误， 对于B，方法一： 在中，，，直线的倾斜角为， ，直线的方程为， 设，，联立得方程组 消去并整理，得， 解得或 则，， ，， 则，B正确， 方法二： 若直线过焦点，则有结论：， ，，， ， 而，，B正确， 对于C，方法一： 易知，，， ， ，为锐角，C错误， 方法二： 由抛物线的性质可知，以为直径的圆与准线相切， 又直线的倾斜角为，切点不是点，则点在圆外， 由圆的性质可知，为锐角，C错误， 对于D，在中，， ，，， ， 为钝角，则为钝角三角形，D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与间的距离是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式计算可得答案. 【详解】由得， 所以直线与间的距离是 . 故答案为：. 13. 已知等比数列的前项和为，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先说明数列的公比不为，由条件结合等比数列求和公式证明，再结合求和公式求结论. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，矛盾，故． 由题意，得，即，， 所以． 故答案为： 14. 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则____________.动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据椭圆定义可得出，可得出，当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立，可求出的值，进而可得出，根据椭圆的光学性质可得出点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】根据椭圆定义得， 所以，， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立， 因为的最大值为，且，则，解得， 则. 设切椭圆于点， 由椭圆的光学性质可得、、三点共线，， 则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以，到直线的距离为， 由圆的几何性质可知，点到直线的距离最小值，最大值，即. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角、、的对边分别为、、．已知． （1）求角的大小； （2）设为边的中点，若，，求的大小． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）用正弦定理将边化角，再用两角和的正弦公式化简即可求出，进而可得角的大小； （2）用余弦定理结合题目所给条件可求出及，再用向量即可求解. 【小问1详解】 , , , , ， . 小问2详解】 在中, 由余弦定理得, , 又因为， 所以， 联立解得， 因为为边的中点，所以, 所以， 即， 所以. 16. 已知关于x，y的方程. （1）若该方程表示圆C，求m的取值范围； （2）若圆C与圆外切，求m的值； （3）若（2）中的圆C与经过点的直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）4； （3）或. 【解析】 【分析】（1）化给定方程，利用方程表示圆，即可求出范围. （2）根据给定条件，利用两圆相外切，列出方程，求出的值. （3）由（2）求出圆的方程，由圆的弦长公式求出圆心到直线l的距离，再按斜率存在与否分类求出方程. 【小问1详解】 方程，变形得， 由方程表示圆，得，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由圆，得，此圆圆心，半径为， 又圆的圆心，半径， 由圆与圆相外切，得，即， 所以. 【小问3详解】 由（2）知，圆的圆心，半径， 由圆的弦长，得圆心到直线的距离， 圆心到直线的距离为，且直线过点，因此直线方程可以是； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由，解得，直线的方程为， 所以直线l的方程为或. 17. 已知等差数列的前项和为，并满足. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可求得数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，可得出的表达式，利用错位相减法可求得. 【小问1详解】 因为等差数列的前项和为，并满足， 当时，， 当时，， 满足，故对任意的，. 【小问2详解】 因为，则， 所以，， 所以，， ， 上式下式可得 ， 因此，. 18. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点． （1）求证：平面平面； （2）若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）设，设，根据空间向量的坐标运算求出点的坐标，将三棱锥的体积表示为关于的函数关系式，利用基本不等式求出三棱锥体积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，可得出点、的坐标，求出平面的一个法向量，设，求出的坐标，根据求出的值，即可得解. 【小问1详解】 取的中点，连接、， 因为，，则， 所以，所以，所以， 又因为，所以，则， 又因为，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 当点为的中点时，，，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 所以，， 故当为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设，因为，其中， 所以，，可得，即点， 因为平面，则点，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当点为线段的中点时，三棱锥的体积取最大值， 此时，点， 由（2）可知，此时，平面的一个法向量为， 设，其中， 则， 因为平面，则， 所以，，解得， 所以，，所以，即的长为. 19. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. （1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为， （i）证明：为定值； （ii）若直线斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 证明：设直线与椭圆的交点坐标为 ①当直线斜率存在时，如图， 设， 联立直线与椭圆的标准方程， 可得：， 显然：恒成立，则， ， ， ， ，即为定值； ②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图， 显然，可得：即0， 综上所述：为定值. （ii） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据椭圆的定义知点的轨迹是以为焦点的椭圆，确定a，b即可求解； （2）（i）设，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，结合两点表示斜率公式即可证明； （ii）根据三角形面积公式化简可得，设，由（i）和平面向量的坐标表示建立的方程，解之即可求解. 【小问1详解】 ， 点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设椭圆的方程为， ， ， 点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）， ，由（i）可知：， 设，即， ，可得， 又，，则， 又直线的斜率存在，， ， 综上：. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法：一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $