广东省仲元中学、龙城高级中学2024-2025学年高二上学期期末联考数学试题

仲元中学-龙城高级中学2024-2025学年度 第一学期高二年级期末联考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过两点的直线的一个方向向量为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知数列是等比数列，其中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ） A B. C. D. 5. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，，，则（ ） A. 当时，最大 B. 当时，最小 C. 数列中存在最大项，且最大项为 D. 数列中存在最小项 8. 斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设数列满足，，数列的前项的和为，前项的积为，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（不包括端点），则（ ） A. 当点为的中点时，与平面所成角为 B. 存点，使得 C. 对于任意点，均不成立 D. 三棱锥的体积是定值 11. 已知为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，，为的中点，过作轴的垂线，垂足为.设抛物线的准线与轴交于点，且四边形为菱形，则（ ） A. 准线的方程为 B. C. 钝角 D. 为钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与间的距离是__________. 13. 已知等比数列的前项和为，若，则__________． 14. 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则____________.动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角、、的对边分别为、、．已知． （1）求角的大小； （2）设为边的中点，若，，求的大小． 16. 已知关于x，y的方程. （1）若该方程表示圆C，求m取值范围； （2）若圆C与圆外切，求m的值； （3）若（2）中圆C与经过点的直线l相交于M，N两点，且，求直线l的方程． 17. 已知等差数列的前项和为，并满足. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 18. 如图，在三棱锥中，，，是线段上的点． （1）求证：平面平面； （2）若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若平面，为垂足，直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的长． 19. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且. （1）以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程； （2）过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为， （i）证明：为定值； （ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围. 仲元中学-龙城高级中学2024-2025学年度 第一学期高二年级期末联考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 【15题答案】 【答案】（1） （2）2 【16题答案】 【答案】（1）； （2）4； （3）或. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 证明：设直线与椭圆的交点坐标为 ①当直线斜率存在时，如图， 设， 联立直线与椭圆的标准方程， 可得：， 显然：恒成立，则， ， ， ， ，即为定值； ②当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图， 显然，可得：即0， 综上所述：为定值. （ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $