精品解析：辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷

2025年1月葫芦岛市普通高中期末考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名､准考证号，并核对条形码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效. 第I卷（选择题，共58分） 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据即可求解出斜率． 【详解】直线的斜率为， 故选：C． 2. 直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用垂直关系求出，再代入方程联立求解交点. 【详解】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为. 故选：C. 3. 设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意以基底表示向量即可得出结论. 【详解】由向量在基底下的坐标为可得， 又， 所以， 即可得向量在基底下的坐标是. 故选：A 4. 已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实轴和虚轴的长度列方程即可求解得解. 【详解】由题意可知：实轴长为，虚轴长为， 故，解得， 故双曲线方程为， 故选：C 5. 现将包含球的5个不同的小球放入包含甲盒的四个不同的盒子里，每盒至少一球.其中小球不放入甲盒中，则不同安排方案的种数是（ ） A. 180 B. 168 C. 120 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】将5个小球首先分成四组，再分别放入四个不同的盒子中去，保证小球不放入甲盒即可. 【详解】首先，将包含球的5个不同的小球分成四组，共有种组合； 然后，将含有球的一组小球放到除去甲盒之外的三个盒子中，共有种； 剩余三组小球再分别放入3个不同的盒子中，共种； 因此不同安排方案的种数是. 故选：A 6. 过点的直线与圆相切，则直线的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】就直线的斜率是否存在分类讨论，当斜率存在时，利用圆心到直线的距离为半径可求直线方程，故可得正确的选项. 【详解】若直线的斜率不存在，则直线的方程为：， 圆心，半径为，圆心到直线的距离为，符合要求； 若直线的斜率存在，设直线的方程为即， 故圆心到直线的距离为，故， 故此时直线的方程为， 故选：D. 7. 已知集合，直线中的是取自集合中的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，符合以上所有条件的直线的条数为（ ） A. 40 B. 32 C. 24 D. 23 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意按照顺序分别将的选法种类逐一确定，再除去不合题意的即可. 【详解】由直线的倾斜角为锐角可知斜率一定存在，可得， 且，所以异号， 从集合中任取三个不同元素，且异号， 易知有4种选法，有2种选法，有3种选法，共有种， 又因为当和时，都表示直线， 所以符合条件的直线的条数为种. 故选：D 8. 已知点在双曲线上，到两渐近线的距离分别为，为双曲线的一个焦点，且到双曲线渐近线的距离为，若恒成立，则双曲线的离心率的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式，即可根据求解. 【详解】设，则双曲线的渐近线方程为， 因此， 故， 由于在双曲线上，故，即， 因此， 由于， 由可得，故，故离心率的最小值为， 故选：B 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 已知圆与圆交于两点，则（ ） A. 两圆有2条公切线 B. 圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C. D. 四边形的面积为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出圆心距后可判断A的正误，两圆方程相减后可得公共弦方程，故可判断B的正误，利用弦长公式求出可判断C的正误，利用面积公式求出四边形的面积后可判断D的正误. 【详解】由题设可圆，故， 而，故. 对于A，, 而，故两圆相交，故两圆有2条公切线，故A正确； 对于B，两圆方程相减后可得公共弦方程为即，故B正确； 对于C，到直线的距离为， 故，故C错误； 对于D，因为， 故四边形的面积为，故D正确， 故选：ABD. 10. 如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. 若点运动到线段中点，则异面直线与所成角的正切值是2 D. 存在点，使直线平面成立 【答案】AB 【解析】 【分析】对于选项A，需通过等体积法将三棱锥的体积转化为易求的形式来判断是否为定值；对于选项B，要找到点M的位置使得最小，可利用勾股定理求解；对于选项C，先找出异面直线与所成的角，再求其正切值；对于选项D，可通过假设存在这样的点M，利用线面垂直的判定定理进行推理判断. 【详解】选项A：因为正四棱柱中，，所以. 由正四棱柱性质可知，且在平面内，不在平面内，所以平面. 那么点到平面的距离等于点到平面的距离，都是固定的， 则底面积和高都为定值，三棱锥体积也是定值，选项A正确. 选项B：连接，，在中，，，. 由余弦定理可得. 设（），则. 在中，由余弦定理可得. 当时，取得最小值，，则的最小值为，选项B正确. 选项C： 因为，当点为中点时，取中点N，连接，则 ，所以异面直线与所成的角等于.且底面AC. 中，， ， 底面AC 底面AC.则 则，选项C错误. 选项D：假设存在点，使直线平面. 因为平面，所以. 在正四棱柱中，，，平面， 若，则平面，所以，这与正四棱柱中且与相交矛盾， 所以不存在点，使直线平面成立，选项D错误. 故选：AB. 11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 直线与间的距离最小值为4 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，联立直线方程和抛物线方程后可得，，据此逐项计算后可得正确的选项. 【详解】 由题设有过焦点，而， 设，则可得即， 此时且，， 故，故A正确； ， 故B正确； 对于C，， 而，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为，故C成立； 对于D，故直线与间的距离， 当且仅当时等号成立，故直线与间的距离最小值为8， 故选：ABC. 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则线段的长度为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】以为基底，利用空间向量数量积的运算律计算可求得线段的长. 【详解】如下图所示： 易知， 由棱长均为，且可得， ， 因此 ， 即可得线段的长度为. 故答案为：. 13. 已知椭圆的右焦点为，短轴长为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的4倍，则椭圆的焦距为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆短轴长可得，再根据的最值构造方程组可解得，求出结果. 【详解】依题意可知， 由的最大值是最小值的4倍可得，即； 又，即； 联立，解得， 所以椭圆的焦距为. 故答案为： 14. 已知正三棱柱的底面边长为，线段是该三棱柱内切球的一条直径，点是该正三棱柱表面上的动点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三棱柱性质确定出内切球的半径和球心位置，再利用极化恒等式结合向量数量积的运算律计算可求出结果. 【详解】由正三棱柱的底面边长为， 设底面三角形内切圆半径为 则 若该三棱柱有内切球，则三棱柱的高刚好为底面内切圆的直径，即为， 设内切球球心为，如下图所示： 易知球心在正三棱柱的中心处，且半径为，即 所以， 又点是该正三棱柱表面上的动点，最小值为内切球半径，最大值为， 所以， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用极化恒等式将数量积表达式化简可得，再由可得结果. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知， （1）求的值； （2）求的值； （3）求展开式中系数的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式通项特征即可求解， （2）利用赋值法即可求解， （3）根据通项特征，即可列不等式求解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 令得 令得 则； 【小问3详解】 的通项为， 令，① ② 代入得：解得， 解得， 解得，所以， 所以展开式中系数的最大值. 16. 如图，在正三棱柱中，是棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线性质利用线面平行判定定理即可证明得出结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量即可计算得出直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 连接，与相交于点，连接，如下图： 因为四边形为矩形，故为的中点. 又为的中点，故， 又平面平面， 所以平面 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 由于平面，故平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，故， 又 设直线与平面所成的角为， 所以， 故直线与平面所成角正弦值为. 17. 已知抛物线经过点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若，且在抛物线上，求的最小值； （3）若过点的直线与圆相切，且直线与抛物线有两个不同的交点，求（为坐标原点）的面积. 【答案】（1） （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）将点代入，求得值，从而求得抛物线的标准方程. （2）由在抛物线上及抛物线的性质可知到F的距离与Q到准线的距离相等，故仅当垂直于准线时有最小值. （3）设直线的方程，由直线与圆相切，圆心到直线距离的等于半径，求得，再联立直线与抛物线方程，利用韦达定理与弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求得到AB的距离为，最后根据三角形面积公式，代入的值即可求得的面积. 小问1详解】 因为抛物线经过，故，所以， 所以抛物线的方程. 【小问2详解】 在抛物线上， 到F的距离与Q到准线的距离相等，设为. 的最小值转化为的最小值， 易知当垂直于准线时，取到最小值， ， 所以的最小值为. 【小问3详解】 当AB斜率不存在时，，显然不合题意. 当AB斜率存在时，设直线的方程为，即， 与圆相切， ， 联立直线与抛物线方程得：， 设， ， ， 到AB的距离为， . 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面垂直得到，进而得到线面垂直，最后得到平面平面.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和法向量，结合点面距离公式计算即可； （3）结合（2），设，得到平面的一个法向量，结合题意，构造方程计算即可. 【小问1详解】 由平面平面，则， 又，由，且平面， 所以面， 又面，所以平面平面 【小问2详解】 由（1）易知，又，过作于， 由面面，面面面， 所以面， 过作，易知， 故可构建如图示空间直角坐标系. 又， 则， 所以， 若是面的一个法向量， 则解得， 所以点到平面的距离. 【小问3详解】 同（2）构建空间直角坐标系，易知平面的法向量 设， 于是 ， ， 设是平面的一个法向量， 则，令， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以， 整理得，即或（舍） 故，所以 19. 阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质，定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆的离心率为是上一点. （1）求椭圆的标准方程并写出与点对应的极线方程； （2）设分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为.证明： ①为定值； ②点在定直线上. 【答案】（1）椭圆方程为，极线方程为 （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及坐标即可求解得椭圆方程，根据极线方程的公式即可求解， （2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，即可根据斜率公式化简求解①，联立两直线方程可得交点坐标，即可求解②. 【小问1详解】 因为离心率为，故 又是上一点，所以，故，所以 椭圆方程为， 由于点对应的极线方程为；故处的极线方程为，即极线方程为， 【小问2详解】 ①由题意可知的斜率不为，设， 设， ， ，， ②根据①结果，可设，则 （1） （2） 联立（1）（2）可得： 故点，易知点恒在上 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年1月葫芦岛市普通高中期末考试 高二数学 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名､准考证号，并核对条形码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效. 第I卷（选择题，共58分） 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若直线倾斜角为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，则向量在基底下的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 现将包含球的5个不同的小球放入包含甲盒的四个不同的盒子里，每盒至少一球.其中小球不放入甲盒中，则不同安排方案的种数是（ ） A. 180 B. 168 C. 120 D. 90 6. 过点的直线与圆相切，则直线的方程为（ ） A. B. 或 C. D. 或 7. 已知集合，直线中的是取自集合中的三个不同元素，并且该直线的倾斜角为锐角，符合以上所有条件的直线的条数为（ ） A. 40 B. 32 C. 24 D. 23 8. 已知点在双曲线上，到两渐近线的距离分别为，为双曲线的一个焦点，且到双曲线渐近线的距离为，若恒成立，则双曲线的离心率的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 已知圆与圆交于两点，则（ ） A. 两圆有2条公切线 B. 圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C D. 四边形的面积为2 10. 如图，在正四棱柱中，，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 的最小值为 C. 若点运动到线段中点，则异面直线与所成角的正切值是2 D. 存在点，使直线平面成立 11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 直线与间的距离最小值为4 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则线段的长度为__________. 13. 已知椭圆的右焦点为，短轴长为，点在椭圆上，若的最大值是最小值的4倍，则椭圆的焦距为__________. 14. 已知正三棱柱的底面边长为，线段是该三棱柱内切球的一条直径，点是该正三棱柱表面上的动点，则的取值范围是__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知， （1）求的值； （2）求的值； （3）求展开式中系数的最大值. 16. 如图，在正三棱柱中，是棱的中点. （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知抛物线经过点. （1）求抛物线的标准方程； （2）若，且在抛物线上，求的最小值； （3）若过点直线与圆相切，且直线与抛物线有两个不同的交点，求（为坐标原点）的面积. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，. （1）证明：平面平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 阅读材料： （一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；对于抛物线，与点对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线基本性质，定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： 已知椭圆的离心率为是上一点. （1）求椭圆的标准方程并写出与点对应的极线方程； （2）设分别为椭圆的左、右顶点，过点作斜率不为0的直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点，记的斜率为的斜率为.证明： ①定值； ②点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$