精品解析：湖南省岳阳市湘阴县洞庭区联考2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

2024年下学期洞庭区八年级数学期中调研 （时间：90分钟 满分：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数：，，0，，，，，中，无理数有（ ）个 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 如图，为等边三角形，．若，则（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（　　） A. B. C. D. 5. 若，则m、n的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小南马上发现了其中有一道题目错了，你知道错的是哪道题目吗？（　　） 用平方差公式分解下列各式： （1） （2） （3）（4） A. 第（1）道题 B. 第（2）道题 C. 第（3）道题 D. 第（4）道题 7. 如图①，从边长为a的大正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形纸片后，将其沿虚线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图②），则通过计算图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（ ） A. B. C. D. 8. 把代数式中的x，y同时扩大2倍后，代数式的值（ ） A. 扩大为原来的1倍 B. 扩大为原来2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小为原来的一半 9. 如图，在中，，，，，E是上一点，交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 30 B. 48 C. 50 D. 60 10. 已知：a，b，c满足a2+2b=7，b2﹣2c=﹣1，c2﹣6a=﹣17，则a+b+c的值等于（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 计算：____________． 12. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时旋转90°得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠BAA′的度数为______． 13. 当时，代数式______． 14. 已知x、y为实数，且．则的平方根______． 15. 已知2a÷4b＝16，则代数式a－2b+1的值是_____． 16. 如图，在中，，为的平分线，，垂足为M，且，，则________． 三、解答题（本大题有8个题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2） 19. 先化简，再求值：，其中x是从-1、0、1、2中选取一个合适的数． 20. 如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O，AB＝DC，AC＝BD. 求证：（1）△ABC≌△DCB.（2）∠ABO=∠DCO 21. 如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE． （1）求证：△ACB≌△EBD； （2）若DB＝10，求AC的长． 22. 关于的方程. （1）当时，求该方程的解； （2）若方程有增根，求的值． 23. 定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列分式：①，②，③，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）； （2）分式是否为“和谐分式”，请说明理由； （3）当整数取多少时，的值为整数？ 24. 在四边形中． （1）如图1，，E，F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系． 小林同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，他的结论是 ； （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由． （3）如图3，在四边形中，，，若点F在的延长线上，点E在的延长线上，若，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期洞庭区八年级数学期中调研 （时间：90分钟 满分：120分） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数：，，0，，，，，中，无理数有（ ）个 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握常见的无理数有3种：开方开不尽的数，含π的数，有特定结构的数． 【详解】解：，，0，，，，，中，无理数有，，，无理数有4个，故C正确． 故选：C． 2. 如图，为等边三角形，．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质．得用平行线性质“两直线平行，同旁内角互补”求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 故选：D． 3. 下列运算结果正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：A. ，故此选项错误，不符合题意； B. ，故此选项错误，不符合题意； C. ，故此选项错误，不符合题意； D. ，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 4. 如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB最短．下面四种选址方案符合要求的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短． 则选项A 符合要求， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称的性质的运用，最短路线问题数学模式的运用，也考查学生的作图能力，运用数学知识解决实际问题的能力． 5. 若，则m、n的值分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】将左边的式子展开，然后与右边的式子进行对比，从而确定和的值．本题主要考查了多项式乘法法则，熟练掌握多项式乘法法则是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：B． 6. 课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小南马上发现了其中有一道题目错了，你知道错的是哪道题目吗？（　　） 用平方差公式分解下列各式： （1） （2） （3）（4） A. 第（1）道题 B. 第（2）道题 C. 第（3）道题 D. 第（4）道题 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平方差公式，牢记平方差公式是解题的关键． 【详解】解：（1）符合平方差公式中的形式，可以用平方差公式分解，题目正确； （2）不符合平方差公式的形式，题目错误； （3）符合平方差公式中的形式，可以用平方差公式分解，题目正确； （4），符合平方差公式中的形式，可以用平方差公式分解，题目正确． 综上分析可知，错的是第（2）道题，故B正确． 故选：B． 7. 如图①，从边长为a的大正方形纸片中挖去一个边长为b的小正方形纸片后，将其沿虚线裁成两个相同的直角梯形，然后拼成一个等腰梯形（如图②），则通过计算图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了乘法公式几何背景问题的解决能力，关键是能根据题意准确列式，并能利用关系式推导出乘法公式． 根据阴影部分面积的不同方式可求得此题结果． 【详解】解：解：∵图形①中阴影部分的面积可表示为：， 图形②中阴影部分的面积可表示为， ∴， 故选：D． 8. 把代数式中的x，y同时扩大2倍后，代数式的值（ ） A. 扩大为原来的1倍 B. 扩大为原来2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小为原来的一半 【答案】C 【解析】 【分析】将x，y同时扩大2倍后再进行化简即可求解． 【详解】将x，y同时扩大2倍，得： 即扩大为原来的4倍； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答此题的关键． 9. 如图，在中，，，，，E是上一点，交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 30 B. 48 C. 50 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质； 求出，证明，可得，则，然后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 已知：a，b，c满足a2+2b=7，b2﹣2c=﹣1，c2﹣6a=﹣17，则a+b+c的值等于（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式将已知条件进行变形，然后确定a、b、c的值，代入计算即可． 【详解】解：由a2+2b=7，b2-2c=-1，c2-6a=-17， 得a2+2b+b2-2c+c2-6a+11=0， ∴（a-3）2+（b+1）2+（c-1）2=0， ∴a=3，b=-1，c=1， ∴a+b+c=3． 故选B． 【点睛】此题考查了学生的应用能力，解题时要注意对完全平方公式的熟练运用．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 计算：____________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据负整数指数幂和0指数幂的法则解答即可． 【详解】解：； 故答案为：5． 【点睛】本题考查了负整数指数幂和0指数幂，熟练掌握运算法则是关键． 12. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时旋转90°得到△A′B′C，连接AA′，若∠1=20°，则∠BAA′的度数为______． 【答案】70°##70度 【解析】 【分析】由旋转的性质可得AC= CA′，然后可得∠CAA′=∠CA′A=45°，则有∠CA′B′=∠CAB=25°，进而问题可求解． 【详解】解：由旋转的性质可得：AC= CA′，∠CA′B′=∠CAB，∠ACA′=∠ACB=90°， ∴∠CAA′=∠CA′A=45°， ∵∠1=20°， ∴∠CA′B′=∠CAB=∠CA′A-∠1=25°， ∴∠BAA′=∠CAA′+∠CAB=70°， 故答案为70°． 【点睛】本题主要考查旋转的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 13. 当时，代数式______． 【答案】9 【解析】 【分析】根据因式分解中公式法对进行因式分解，再将进行变行代入值即可 【详解】解： ∵ ∴ ∴ 故答案为：9 【点睛】本题主要考查因式分解中的公式法，掌握相关因式分解方法是解题的关键． 14. 已知x、y为实数，且．则的平方根______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，平方根定义，解题关键是根据二次根式有意义的条件求出，． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 36的平方根为， 故答案为：． 15. 已知2a÷4b＝16，则代数式a－2b+1的值是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】把各个数字化为以2为底数的形式，按照同底数幂的除法法则，求解即可． 【详解】解：∵2a÷4b＝16， ∴2a÷22b＝24， ∴2a－2b＝24， ∴a－2b＝4， ∴a－2b+1＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查的知识点有代数式求值，幂的乘法与积的乘方以及同底数幂的除法，熟记各知识点的运算法则是解此题的关键． 16. 如图，在中，，为的平分线，，垂足为M，且，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等角对等边性质，延长交于点E，首先证明出，得到，，，然后结合得到，进而得出，进而求解即可．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质（对应边相等，对应角相等）和判定（，，，，），等角对等边性质． 【详解】解：如图所示，延长交于点E， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴； 又∵， ∴ ∴，，， ∴； ∵，即， ∴； ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 三、解答题（本大题有8个题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，幂的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值、乘方，再计算加减法即可； （2）先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂乘法，最后计算同底数幂除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，解题的关键是熟悉解分式方程的基本步骤． （1）根据解分式方程的步骤，逐步计算，最后检验x的值是否符合题意即可； （2）根据解分式方程的步骤，逐步计算，最后检验x的值是否符合题意即可． 【小问1详解】 解： 方程两边同乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 方程两边同乘，得 ， 解得 ， 检验：当时，， ∴不是原方程的解，原方程无解． 19. 先化简，再求值：，其中x是从-1、0、1、2中选取一个合适的数． 【答案】，． 【解析】 【分析】先把分子分母因式分解，约分后进行通分化为同分母，再进行同分母的加法运算，然后再约分得到原式=，由于x不能取±1，2，所以把x=0代入计算即可． 【详解】解： = = = =， ∵x不能取±1，2， ∴x只能取0， 当x=0时，原式=． 20. 如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O，AB＝DC，AC＝BD. 求证：（1）△ABC≌△DCB.（2）∠ABO=∠DCO 【答案】 （1）证明：在△ABC和△DCB中, , ∴△ABC≌△DCB（SSS）． （2）证明：∵△ABC≌△DCB， ∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC（全等三角形的对应角相等） ∴∠ABC－DBC =∠DCB－∠ACB，即∠ABO=∠DCO. 【解析】 【分析】（1）利用SSS判定△ABC≌△DCB； （2）由全等三角形的性质得到∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，从而得∠ABO=∠DCO相等 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定，在做题时要牢固掌握并灵活运用．证明三角形全等是解答本题的关键． 21. 如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB＝DE． （1）求证：△ACB≌△EBD； （2）若DB＝10，求AC的长． 【答案】 （1）证明：∵∠ACB＝∠DBC＝90°，DE⊥AB， ，， ， 在和中， ， ，； （2）5 【解析】 【分析】（1）易证，即可证明，即可解题； （2）根据（1）中结论可得，，根据长度即可求得长度，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， 是的中点， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是利用判定定理求证． 22. 关于的方程. （1）当时，求该方程的解； （2）若方程有增根，求的值． 【答案】（1）x=1；（2）k=1． 【解析】 【分析】（1）把k=3代入方程计算即可求出解； （2）由分式方程有增根求出x的值，分式方程去分母后代入计算即可求出k的值． 【详解】（1）把k=3代入方程得：3，去分母得：1+3x﹣6=x﹣3，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解； （2）分式方程去分母得：1+3x﹣6=x﹣k，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，把x=2代入方程得：2﹣k=1，解得：k=1． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 23. 定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列分式：①，②，③，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）； （2）分式是否为“和谐分式”，请说明理由； （3）当整数取多少时，的值为整数？ 【答案】（1）①③ （2） 是“和谐分式”，理由如下， ∵， ∴是和谐分式； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干“和谐分式”定义，逐个化简变形即可得到答案； （2）将式子化简变形即可得到答案； （3）将式子化简，根据值为整数及分式的分子是分母的整数倍得到相关数值，再根据分式有意义取舍即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵①，是“和谐分式”； ②不能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，所以不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”， 故答案为①③； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 当，，0，1时，的值为整数． 由于当，0，1时，原分式没有意义， 所以当时，该分式的值为整数． 【点睛】本题考查分式化简，新定义的理解及分式有意义条件，解题的关键是读懂题干新定义． 24. 在四边形中． （1）如图1，，E，F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系． 小林同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出之间的数量关系，他的结论是 ； （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由． （3）如图3，在四边形中，，，若点F在的延长线上，点E在的延长线上，若，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1） （2） 成立，理由： 如图2，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在△AEF和△AEG中， ， ∴， ∴． ∴． （3） ， 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【小问1详解】 解：结论：． 理由：如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等和对应边相等进行推导变形．． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $