精品解析：河南省开封市2024-2025学年高一上学期期末数学试题

2024—2025学年第一学期期末调研考试 高一数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题:，，则该命题的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定判断即可. 【详解】根据命题的否定得该命题的否定为：. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式求得集合，结合，可判断每个选项的正误. 【详解】因为，所以或， 又因为，所以，故A错误；，故B错误； ，故C正确，，故D错误. 故选：C. 3. 已知是函数的零点，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结果. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可得，又因为，，故. 故选：B. 4. 已知，是第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及同角公式计算得解. 【详解】由，得，则， 而，且是第三象限角，则， 所以. 故选：A 5. 设、，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法、不等式的基本性质、函数的单调性结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】对于A选项，若，不妨取，，则，故“”“”，A不满足要求； 对于B选项，若，且函数在上为增函数，所以，， 故“”“”，所以，是的一个充要条件，B不满足要求； 对于C选项，由可得，则，且，则， 由不等式的基本性质可得，故，则， 则有或， 所以，“”“”，C不满足要求； 对于D选项，因为，且函数为增函数，故，可得， 所以，“”“”，且“”“”， 所以，“”是“”的一个充分不必要条件，D满足要求. 故选：D. 6. 已知是第一象限角，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是第一象限角，可得角的终边在一、二象限或y轴非负半轴上，角的终边在第一象限或第三象限，再根据三角函数在各象限的符号判断即可. 【详解】因为是第一象限角， ∴，所以 则角的终边在一、二象限或y轴非负半轴上， ，A不正确；，B不正确； 由，角的终边在第一象限或第三象限， 所以 ，D正确； 角的终边在第三象限时，，C不正确； 故选：D． 7. 已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对称性有，结合有及已知区间的函数解析式求时表达式即可. 【详解】若，则，故， 由函数的图象关于点成中心对称图形， 则. 故选：A 8. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最大值为2 B. 函数的单调递增区间是 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 直线与函数的图象所有公共点的横坐标之和为 【答案】D 【解析】 【分析】应用三角恒等变换化简，结合正弦型三角函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】， 由，则， 当，即时，取最大值为3，A错； 由正弦函数的单调性，知和， 即和时，单调递增，B错； ，但不关于对称，C错； 令，则，又， 所以或或，即或或， 故所有公共点的横坐标之和为，D对. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 集合A，B与对应关系f如图所示，则是从集合A到集合B的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用函数的定义逐一判断即可. 【详解】选项A：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数， 选项B：集合A中存在元素3在集合B中没有对应的，不是函数， 选项C：集合A中任何一个元素在集合B中都有唯一一个与之对应的，是函数， 选项D：集合A中存在元素5在集合B中有2个元素与之对应，不是函数. 故选：AC. 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，该函数解析式为，则下列关于函数的命题中，是真命题的为（ ） A. 是偶函数 B. 任意非零有理数都是的周期 C. ， D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A根据偶函数的定义可判断；选项B根据周期函数的定义可得；选项C根据函数解析式分类代入可得；选项D举反例若，，可判断. 【详解】选项A：当为有理数时，则也是有理数，则， 当为无理数时，则也是无理数，则， 故当时，，故A正确； 选项B：，当为有理数时，则也是有理数，， 当为无理数时，则也是无理数，，故B正确 选项C：当为有理数时，，， 当为无理数时，，，故C正确； 选项D：若，，则，但，故D错误， 故选：ABC 11. 如图，已知直线，与函数，的图象分别交于，，，四点，且为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】首先确定点点的坐标，利用平行四边形对边平行且相等的性质 ，建立关于 的等式，利用平方差公式化简得到 ，再通过均值不等式可得 ，最后分析选项得出结论. 【详解】依题意，当 时， 在 图象下方， 所以在 图象上， 在 图象上， 所以 ， ， ， 又因为四边形为平行四边形， 所以 ，即 ，即 ， 又因为 ，所以 ， . 故A正确， B错误. 由均值不等式 ，化简可得 ，当 时等号成立， 由于 ，故 ， D正确， C错误. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据指数函数的性质确定的值，即可求解. 【详解】因为函数无限接近直线但又不与该直线相交，所以， 又函数图象过原点，所以. 所以. 所以. 故答案为：1 13. 设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为________． 【答案】32 【解析】 【分析】直接根据定义求出集合中的元素，再根据元素个数求出集合的子集个数即可. 【详解】因为定义集合，且，， 又， 所以集合A中的元素分别为1，2，3，4，5共5个， 则集合的子集的个数为. 故答案为：32． 14. 设，表示不超过的最大整数，例如：．．若存在实数，使得，，，同时成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定定义，利用根式的性质求解即得. 【详解】由，得；由，得，则； 由，得，则；由，得，则， 而，， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的各式的值： （1）若，，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用指数运算计算得解. （2）利用对数换底公式及指数式与对数式的互化关系计算得解. 【小问1详解】 由，，得， 所以. 【小问2详解】 由，得， 所以. 16. 某公司生产某种仪器的固定成本为4000元，每生产一台仪器需增加投入500元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台，，）满足函数：，利润是总收入与总成本之差． （1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）或时，公司获得最大利润为74120元． 【解析】 【分析】（1）由利润是总收入与总成本之差即可求解； （2）通过配方法即可求解； 【小问1详解】 利润是总收入与总成本之差，所以． 【小问2详解】 ， 所以当或时，公司获得最大利润为74120元． 17. 如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是． （1）求圆心角的弧度数； （2）若点的纵坐标为，求点的横坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据扇形的弧长、面积公式进行计算. （2）利用和角公式结合三角函数的定义求解. 【小问1详解】 记圆的半径为，扇形的弧长与面积分别为，， 则由得， 由得，所以圆心角的弧度数为． 【小问2详解】 由题意，所以， ， 所以点横坐标． 18. 已知函数的定义域为，且，． （1）借助，证明：函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和； （2）设函数． （i）判断在区间上的单调性，并根据定义进行证明； （ii）求不等式的解集． 【答案】（1）函数的定义域为，则函数，的定义域也为， 由，，得，函数为偶函数， 由，，得，函数为奇函数， 又， 所以函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和. （2）（i）函数在区间上单调递增， ，且， ， 由，知，则，，， 因此，，所以在区间上单调递增. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用函数奇偶性定义推理得证. （2）（i）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证；（ii）利用函数单调性求解不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为为偶函数图象关于轴对称，在区间上单调递增， 不等式等价于，即，解之得， 所以不等式的解集为. 19. 如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（，不与点重合），已知． （1）求证：的周长为定值，并求出该定值； （2）求面积的最小值． 【答案】（1）证明见解析，2； （2）. 【解析】 【分析】（1）法一：设，，，，应用和角正切公式得并变形代入的周长为化简即可证；法二：延长至点，使，连接，证明得，进而得到，即可证结论； （2）法一：由，结合，应用基本不等式及一元二次不等式的解法得，即可求最值；法二：设，，结合三角形全等有，由和角正切公式得，应用基本不等式求得，即可求最值. 【小问1详解】 法一：设，，，，则，， 因为，所以，变形得①， 的周长为②， 将①变形得代入②， 所以， 又，所以， 所以的周长为定值2； 法二：延长至点，使，连接， 易得，则，，， 所以，则， 的周长为. 【小问2详解】 法一： ， 由①得，当且仅当时取等号③， 将③变形得，， 所以或（舍去）， 所以， 所以面积的最小值为， 法二：设，，则，， 由第一问知，， 所以， 因为，所以，展开得， 由基本不等式变形可得，解得， 所以，所以面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期末调研考试 高一数学 注意事项： 1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题:，，则该命题的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是函数的零点，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 5. 设、，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是第一象限角，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象关于点成中心对称图形，当时，，则时，（   ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最大值为2 B. 函数的单调递增区间是 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 直线与函数的图象所有公共点的横坐标之和为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 集合A，B与对应关系f如图所示，则是从集合A到集合B的函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，该函数解析式为，则下列关于函数的命题中，是真命题的为（ ） A. 是偶函数 B. 任意非零有理数都是的周期 C. ， D. 若，则 11. 如图，已知直线，与函数，的图象分别交于，，，四点，且为平行四边形，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则________． 13. 设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合的子集的个数为________． 14. 设，表示不超过的最大整数，例如：．．若存在实数，使得，，，同时成立，则的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求满足下列条件的各式的值： （1）若，，求的值； （2）若，求的值． 16. 某公司生产某种仪器的固定成本为4000元，每生产一台仪器需增加投入500元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台，，）满足函数：，利润是总收入与总成本之差． （1）将利润（单位：元）表示为月产量的函数； （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 17. 如图，以轴的非负半轴为始边的角，的终边分别交圆（为坐标原点）于，两点，其中点在第一象限，已知扇形的弧长与面积的数值都是． （1）求圆心角的弧度数； （2）若点的纵坐标为，求点的横坐标． 18. 已知函数的定义域为，且，． （1）借助，证明：函数总能表示成一个奇函数与一个偶函数之和； （2）设函数． （i）判断在区间上的单调性，并根据定义进行证明； （ii）求不等式的解集． 19. 如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的点（，不与点重合），已知． （1）求证：的周长为定值，并求出该定值； （2）求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $