精品解析：上海市静安区彭浦初级中学2024-2025学年上学期九年级数学期中考试试卷

彭浦初中2024学年第一学期期中练习 （时间100分钟 满分150分） 考生注意：本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列选项中的两个图形一定相似的是（ ） A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个菱形 D. 两个等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的识别，熟练掌握相似图形的定义：对应边成比例，对应角相等的图形叫相似图形是解题的关键．根据相似图形的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、两个平行四边形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； B、两个正方形对应边成比例，对应角相等，故一定相似，符合题意； C、两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； D、两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； 故选：B． 2. 在中，点分别在边上，下列选项中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据相似三角形的性质与判定，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：如图， A、， ，即， 又， ， ， ，故此选项不符合题意； B、， ， 又， ， ， ，故此选项不符合题意； C、，， ， ， ，故此选项不符合题意； D、不能判定，符合题意； 故选：D． 3. 已知线段，求作线段使，下列作法（图中虚线均为平行线）中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质画图的方法，根据平行线的性质一一分析． 【详解】解：A、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； B、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； C、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； D、根据平行线的性质得，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 4. 已知、为非零向量，下列判断错误的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果为单位向量，且，那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面向量，平面向量既有大小，又有方向．根据相等向量，平行向量，模，单位向量的定义一一判断即可． 【详解】解：A、如果，那么两向量是共线向量，则，故本选项正确，不符合题意； B、如果，那么两向量为共线向量，则，，故本选项正确，不符合题意； C、，只能说明两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项错误，符合题意； D、根据向量模的定义知，，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 5. 如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．将图像画出，设点是直线上的点，设点，过点作轴于点，则，即可求解． 【详解】解：设点是直线上的点，设点，过点作轴于点，则， ； ； ； ． 故选C． 6. 如图，四边形的对角线与相交于点，，，，，那么下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．先证出和，再根据相似三角形的性质，对选项逐个分析判断即可得出结论． 【详解】解：，，，， ，， 又，， ，， ，故A选项结论正确，不符合题意；，故B选项结论正确，不符合题意； ，， ，， ，故C选项结论错误，符合题意； ，， ，， ，故D选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知，那么的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质．熟练掌握分式的性质是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 8. 甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形的相似比等于对应边的比是解题的关键．根据相似图形的性质，用两个图的比例尺相比即可求得相似比． 【详解】解：甲图与乙图的相似比． 故答案为：． 9. 计算：___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面向量，利用平面向量的定义与运算性质解答即可，熟练掌握平面向量的运算性质是解题的关键． 【详解】 ； 故答案为：． 10. 如果P是线段的黄金分割点，，那么较长线段的长是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比． 根据黄金分割的定义解答． 【详解】解：设， 根据题意列方程得，， 即， 解得(负值舍去)． 故答案为：． 11. 如果两个相似三角形对应边上的高之比为，则这两个三角形的周长比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边上的高之比为， ∴这两个三角形的周长比为． 故答案为：． 12. 如果是边长为10的菱形的一个锐角，，那么这个菱形的面积是______． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数、菱形的性质，掌握正弦的定义是解题的关键．先画出符合题意的菱形，作交于点，利用正弦的定义求出，再利用菱形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图，菱形的边长为10，，作交于点， 在中，， ， 菱形的面积． 故答案为：80． 13. 如图2，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，，那么____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论， 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，找准对应线段是解题的关键． 14. 如图，在中，，若点是的重心，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了重心的性质及直角三角形的性质，延长交于点D，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及重心的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点D， ∵，若点是的重心，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，用手电来测量古城墙高度，将平面镜水平放置在点处，光线从点出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙的顶端处．若，，米，米，米，根据物理学中光的反射定律，可计算出该古城墙的高度是______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．通过证明，得到，再代入数据求出的长，即可解答． 【详解】解：，， ， 由题意得，， ， ，即， 解得：米． 该古城墙的高度是米． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，是边上一点，，连接，过作的垂线交边于点，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的性质与判定，掌握相关知识点，结合图形找到合适的相似三角形是解题的关键．通过证明，利用相似三角形的性质得到，再根据正切的定义得到，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 17. 如图，在中，，点在边上，，且，那么的比值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质．证明，推出，证明，推出，据此计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．如图，等腰斜边上的高就是它的优美线．在中，，若是的优美线，且是等腰三角形，那么优美线______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，一元二次方程等知识，分三种情形讨论①若，，则，设，，可得，解方程即可；②若，由，设，，可得，解方程即可；③若，显然不可能； 【详解】解：如图， 分以下三种情况： ①若，， 则，设，， ∴， 解得，， ∴； ②若，由，设，， 可得，解得，（负根已经舍弃）， ∴； ③若，显然不可能． 综上所述，或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7题，满分78分）【请将解题过程填入答题纸的相应位置】 19. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的混合运算．先将特殊角锐角三角锐角三角函数值代入，再合并，即可求解． 【详解】解： 20. 如图，点在直角边上，，，，求的余切值． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形的性质与判定、勾股定理，掌握锐角三角函数的定义，学会添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．作交于点，根据正切的定义得到，利用勾股定理得到，通过证明得到、的长，再利用余切的定义即可解答． 【详解】解：如图，作交于点， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ，， ， 在中，， 的余切值为2． 21. 如图，已知中，，设． （1）求关于，的分解式； （2）连接，在图中作出向量分别在，方向上的分向量． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【答案】（1） （2） 如图所示：向量分别在、方向上的分向量为、． 【解析】 【分析】此题考查了向量、向量的平行四边形法则和三角形法则、相似三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）先求出，通过证明，根据相似三角形对应边成比例即可进行解答； （2）连接，过点E作的平行线，交于点G，即可进行解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 略 22. 好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． （1）请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． （2）请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： （3）请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 【答案】（1）；； （2）；； 证明：如图，作于点，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 同理可得：， ． （3） 如图所示，钝角三角形的示意图即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，掌握正弦的定义，学会添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）结合题意，完成推理过程即可； （2）作于点，则，分别在和中利用正弦的定义得到，，等量代换即可得出答案； （3）作使得，，则，作于点，利用特殊锐角的三角比值得到，，设，表示出、的长，再由（2）得结论可得，代入数据即可求出的值． 【小问1详解】 解：如图①，在中，，， ，． ． 故答案为：；；． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作使得，，则， 作于点，则， ， ， ， ， 在中，，， ，， 设，则，， ， 由（2）的结论得，， ， 解得：． 23. 如图，点分别在的边上，延长交于点，且． （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 【答案】（1） 证明：，， ， 又， ， ， ． （2） 证明：，， ， ，， ， ， ， 又， ， ，， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定，结合图形找出合适的相似三角形是解题的关键． （1）通过证明，得到，即可得证； （2）先证明，得到和，再证明得到，，得到，最后利用比例的性质得到，结合，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角系中，直线AB：分别交x轴、y轴于A、B两点，点是x轴上的一点，连接BC． （1）求证：； （2）求的值； （3）点D在y轴上，且使与相似，求点D的坐标． 【答案】（1） 证明：令，则， ∴， 令，则， ∴A， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）D点坐标为或． 【解析】 【分析】（1）分别求出两个三角形的三边，根据三角形的三边对应成比例进行证明即可； （2）过点C作交于F点，分别求出的长，即可求； （3）先判断出，再分两种情况讨论：当时，，根据平行线分线段成比例可求；当时，由，可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点C作交于F点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴； 当时， ， ∴， ∴； 综上所述：D点坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键． 25. 如图，已知在中，，，点为边上一动点（与点、不重合），点为上一点，，过点作，垂足为点，交射线于点． （1）如果点为边的中点，求的正切值； （2）当点在边上时，设，，求关于的函数解析式及的取值范围； （3）联结，如果与相似，求线段的长． 【答案】（1） （2） （3）的值为或或 【解析】 【分析】（1）过点作于．解直角三角形求出， 即可解决问题； （2）如图2中，过点作，延长交于，直线交于，交的延长线于．根据全等三角形的平时和性质证明，根据相似三角形的性质可得，即，可得结论； （3）利用相似三角形的性质，可得或，由此构建方程求出，当点在下方时，同法可求． 【小问1详解】 如图1中，过点作于． ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 如图2中，过点作，延长交于，直线交于，交的延长线于． ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【小问3详解】 如图3中，连接，作于． ∵， ∴ ∵与相似 ∴与相似 ∴或 ∴或 整理得，或 解得，或（舍弃） 或（舍弃） ∴或 当点在下方时，同法可得， 综上所述，满足条件的的值为或或． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 彭浦初中2024学年第一学期期中练习 （时间100分钟 满分150分） 考生注意：本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列选项中的两个图形一定相似的是（ ） A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个菱形 D. 两个等腰三角形 2. 在中，点分别在边上，下列选项中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知线段，求作线段使，下列作法（图中虚线均为平行线）中不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知、为非零向量，下列判断错误的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果为单位向量，且，那么 5. 如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形的对角线与相交于点，，，，，那么下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知，那么的值为________． 8. 甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是______． 9. 计算：___________________． 10. 如果P是线段的黄金分割点，，那么较长线段的长是_____________． 11. 如果两个相似三角形对应边上的高之比为，则这两个三角形的周长比为______． 12. 如果是边长为10的菱形的一个锐角，，那么这个菱形的面积是______． 13. 如图2，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、．如果，，，那么____________． 14. 如图，在中，，若点是的重心，，则______． 15. 如图，用手电来测量古城墙高度，将平面镜水平放置在点处，光线从点出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙的顶端处．若，，米，米，米，根据物理学中光的反射定律，可计算出该古城墙的高度是______米． 16. 如图，在中，，，，是边上一点，，连接，过作的垂线交边于点，连接，则______． 17. 如图，在中，，点在边上，，且，那么的比值是______． 18. 从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．如图，等腰斜边上的高就是它的优美线．在中，，若是的优美线，且是等腰三角形，那么优美线______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分）【请将解题过程填入答题纸的相应位置】 19. 计算：． 20. 如图，点在直角边上，，，，求的余切值． 21. 如图，已知中，，设． （1）求关于，的分解式； （2）连接，在图中作出向量分别在，方向上的分向量． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 22. 好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． （1）请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． （2）请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： （3）请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 23. 如图，点分别在的边上，延长交于点，且． （1）求证：； （2）连接，若，求证：． 24. 如图，在平面直角系中，直线AB：分别交x轴、y轴于A、B两点，点是x轴上的一点，连接BC． （1）求证：； （2）求的值； （3）点D在y轴上，且使与相似，求点D的坐标． 25. 如图，已知在中，，，点为边上一动点（与点、不重合），点为上一点，，过点作，垂足为点，交射线于点． （1）如果点为边的中点，求的正切值； （2）当点在边上时，设，，求关于的函数解析式及的取值范围； （3）联结，如果与相似，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $