山东省德州市“优高联盟”2024-2025学年高三下学期2月诊断性检测数学试题

★优高联考 高三数学试题 2025.2 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1一2页，第Ⅱ卷2一4 页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上， 第I卷选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的.) p 1.已知集合M={x|x2+x-12≤0}，N={0,1,2,3,4},则M∩N= 月 A.{0,3} B.{1,2,3} 典 C.{0,1,2,3} D.{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3} 2.已知直线l:y=x十b,⊙O:x2+y2=4,则“|b<2”是“直线1与⊙0相交”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 若双曲线父一1过点(4,3)，则其渐近线方茬 A.y=±2 C.y= 23 32 Dy- 4.已知向量a,b满足a=3,b=2,a十b=√7，则向量b在向量a上的投影向量为 A.-a B.-3 1 C. D.a 救 5.已知(2一x)的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为 A.240 B.-240 C.-60 D.60 6.某次考试后，甲、乙、丙、丁四位同学讨论其中一道考题，各自陈述如下，甲说：我做错了； 乙说：甲做对了；丙说：我做错了；丁说：我和乙中有人做对，已知四人中只有一位同学的 解答是正确的，且只有一位同学的陈述是正确的，则解正确的同学是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 高三数学试题第1页（共4页） 7.函数fx)=sin(2ax-)(w>0)在(0，)上单调递增，且在[0，m]上恰有三个零点，则 ω的取值范围为 A哈别 c) n哈 8.已知半球O的底面与圆台OO'的下底面完全重合，圆台上底面圆周在半球面上，半球的 半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台的母线长为 A号 g③ C23 3 3 号 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.某学校为了解学生身高（单位：cm)情况，采用分层随机抽样的方法从1500名学生（该校 男女生人数之比为3：2)中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为170，方 差为12，女生平均身高为160，方差为38.则下列说法正确的是 (注：总体分为2层，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：n1,x,s,2,y,s, 记总的样本平均数为0，样本方差为，则g2-n[十（丘-@）门十n:[s十⑤一@)]) n1十n2 A抽取的样本里男生有60人 B每一位学生被抽中的可能性为号 C.估计该学校学生身高的平均值为165 D.估计该学校学生身高的方差为46.4 0,已知椭圆C6十2的两个焦点分别为E,F2,P是C上任意一点，则 AC的离心率为号 B.△PFF2的周长为12 C.|PF1的最小值为3 D.|PF1|·PF2的最大值为16 11.已知函数f(x),g(x)及其导函数f(x),g'(x)的定义域都为R,若f(x十2)一g(1一x)=2, f(x)=g(x十1)，且g(x十1)为奇函数，则 A.g(1)=0 B.f(4)=0 2025 Cg)=0 n登fg)-0 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知复数之满足z(1+i)=1+5i,则|z= l3.直线y=kx与曲线f(x)=lnx和g(x)=aer均相切，则a= 14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c2=2a2-2b2,则A-B的最大值为 高三数学试题第2页（共4页） 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（(本小题满分13分) 已知函数f(x)=lnx+a(a为常数). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)不等式f(x)>1在x∈[？，3]上恒成立，求实数a的最大整数值 16.(本小题满分15分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2,BC=2√2，△PBC是等边三角形，平面 PBC⊥平面ABCD,O,F分别是BC,PC的中点，AC与BD交 于点E. (1)求证：BDL平面PAO; (2)平面OEF与直线PD交于点Q,求直线OQ与平面PCD所 成角0的大小 17.(本小题满分15分) 已知抛物线E:y2=2x的焦点为F,且A,B,C为E上不重合的三点， (1)若FA+FB+FC=0,求|FA|+|FB|+|FC|的值； (2)过A,B两点分别作E的切线l1、l2,l1与l2相交于点D,若|AB|=4,求△ABD面 积的最大值， 18.(本小题满分17分) 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.以人工智能的应用 为例，人工智能中的文生视频模型Sora(以下简称Sora),能够根据用户的文本提示创建 最长60秒的逼真视频.为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某 学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示 视频从业人员 Sora的应用情况 合计 减少 未减少 应用 54 72 没有应用 42 合计 90 150 高三数学试题第3页（共4页） (1)根据所给数据完成题中表格，并判断是否有99.9%的把握认为Sora的应用与视频 从业人员的减少有关？ (2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮 至第三轮塔训达到优秀”的复率分别为号，号，后，每轮相互独立，有二轮及以上秋得 “优秀”的员工才能应用Sora. (ⅰ)求员工经过培训能应用Sora的概率； (i)已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训 后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润l0万元；Sora培训平均每人每年 成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然 后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利 润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ n(ad-bc)2 附：X2=a+b)c十)a十c)6+d其中n=a+b+c+d, a=P(X2≥k) 0.010 0.005 0.001 k 6.635 7.879 10.828 19.(本小题满分17分) 已知数列.的前a项和为S,物∈N满足当--分，且a,=1,数列位，满足 b1b2b3…bn=2(n∈N*). (1)求数列{am},{bn}的通项公式； ②求数列会 的前n项和Mn; (3)若将数列{an}中的所有项按原顺序依次插入数列{bn}中，组成一个新的数列{cn}: b1,a1,b2,a2,a3,b3,a4,a5,a6,a7,b4,…,在be与b+1之间插入2-1项{an}中的项， c,}中6+之前（不包括6+）所有项的和记为T若d,-2（ an+1Tm十2 十2).求使得 [d1]十[d2]+[d3]十…十[dn]≤2025成立的最大整数n的值.（其中[x]表示不超过x 的最大整数) 高三数学试题第4页（共4页） 高三数学试题参芳答案 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的.) 1.C2.A3.D4.B5.A6.C7.D8.C 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)】 9.ABD 10.BD 11.ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.√13 13.214答 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 1解：f)=2-xe0,十∞， 2分 当a≤0时，因为f'(x)>0,所以f(x)在(0，十∞)上单调递增， …3分 当a>0时，令f'(x)=0,解得x=a, 若x>a,则f'(x)>0,所以f(x)在(a,十o)上单调递增， 若0<x<a,则f'(x)<0,所以f(x)在(0，a)上单调递减，…5分 综上，当a≤0时，f(x)在(0，十∞)上单调递增， 当a>0时，f(x)在(a,十∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减. …6分 (2)f(x)>1在x∈[7,3]上恒成立等价于lx+2>1在x∈[？，3]上恒成立， 即a>x-xlnc,x∈[2,3]， …8分 令g(x)=x-xln,x∈[7,3]，则g'(x)=-lnx,…9分 当x∈[2,1)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 当x∈[1,3]时，g'(x)<0,g(x)单调递诚，…11分 因为g(x)mx=g(x)极大值=g(1)=1,所以a>1 故实数a的最大整数值是2.…13分 高三数学试题答案第1页（共6页） 16.解：(1)因为△PBC为正三角形，O是BC中点，所以PO⊥BC, 又因为平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,POC平面PBC, 所以PO⊥平面ABCD,… …2分 又BDC平面ABCD,所以PO⊥BD,…3分 因为Bd·Aò=(BC+BA)·(2BC-BA)=号BC2-BA=4-4=0, 所以BD⊥AO,所以AO⊥BD.… …6分 又PO,AO在平面POA内且相交，故BD⊥平面PAO…7分 (2)因为E,O分别为BD,BC的中点，所以EODC, 又平面PDC过DC且不过EO,所以EO/平面PDC. 又平面OEQF交平面PDC于QF,故EO/∥QF,进而QFDC, 因为F是PC中点，所以Q是PD的中点.… …8分 以O为原点，OE,OC,OP所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系，…9分 则P06.C0.2,0.D2n2,0.0a,号9. 市-200.Pt-0,-6.0d-a,号9. …10分 设平面PCD法向量为n=(x,y,z), CD·n=0(2x=0 则 ,即 取y=3,得n=(0,3,1),…13分 P元.n=0V2y-√6x=0 则sinf=lcos(n,O夜)1=n·O 6√2 …14分 |nl·loa123 2 因为0∈[0，]，所以0=至 …15分 高三数学试题答案第2页（共6页） 17.解：1依题意，F(号，0， 1分 设A(x1y1),B(x2y2),C(x3y3), 由++庇-0得，(-号）+(2)+(，）=0，…2分 即x1十x2十x3=2 由抛物线定义得，耐+应+1武=（十号》+(+号》+(+）=8…4分 (2)显然，直线AB的斜率不为0， 可设直线AB的方程为x=my十n,A(x1,y1),B(x2y2), 1y2=2x, 由 得：y2-2my-2n=0, x=my+n △=4m2+8n>0,所以y1+y2=2m,y1y2=-2n.…6分 因为y=2x,则y=士V2x所以y王22-1， 匠以切线的方程为y=1(一x)+y三3 y1 2”…8分 1 同理，切线l2的方程为y= x+ V2 y= 2 x=2=-n 2 联立两直线方程 ,解得 ,即D(-n,m),…10分 y 1y2 2 y yifyz=m 2 则点D到直线AB的距离为d=m+2m 11分 √/1+m2 由|AB|=√1+m2√y1+y2)2-4y1y2=√1+m2√4m2+8n=4, 4 化简得：m2+2n= 视2)…13分 所以SaAm-号ABld=号×4Xlmt 8 ≤8， √1+m2 (1+m2)√1+m2 当且仅当m=0时取等号， 所以△ABD面积的最大值为8. …15分 高三数学试题答案第3页（共6页） 18.解：(1)依题意，2×2列联表如下： 视频从业人员 Sora的应用情况 合计 减少 未减少 应用 54 18 72 …2分 没有应用 36 42 78 合计 90 60 150 由列联表中数据得，X150X2设X36_65≈12.981>10.28 72×78×90×60 52 …4分 故有99.9%的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关…5分 (2)(1)设A:=“员工第i轮获得优秀”(i=1,2,3),且A:相互独立. 设B=“员工经过培训能应用Sora”,则 P(B)=P(AA2A3)+P(AA2A3)+P(AA2A3)+P(AA2A3) 故员工经过培训能应用s0a的概率是子， …8分 (ii)设视频部调x人至其他部门，x∈N,X为培训后视频部能应用Sora的人数， 则X~-B(100-x,2),因此E(X)10,2, 2 11分 调整后视频部的年利润为 102×10+(1-名(100-x)×6-(100-x）=(70-1z)(万元)，…14分 2 令700-7z≥00X6,解得x<190≈14.3，又zEN,所以xm=14 因此，视频部最多可以调14人到其他部门.…17分 1以解，0渊为-受-方所以受是以1为首项，宁为公差份等老致列， 所以-1+a-1D-+75.=(十a=+经 1、n2 n 2分 当n≥2时，an=Sn一Sn-1=n,n=1时满足，故an=n.…3分 高三数学试题答案第4页（共6页） 数列{bn},当n=1时，b1=2, b1b2…b123 当n≥2时，b,-61b2…ba-12-1 =25.9-1=2=2"」 所以，am=n,bn=2”… …4分 2由题可知 2 ① 合M= 22十29++n-102 12,22」 2n 2n+7 ② ①-@得号M-+是+是++2 2 2n+7. M-1+受+是+叶21- 2n12” ③ 6分 2”2+7 ④ -@得号M=1计号++…叶2是22++2 =1++安++2）多+ + =1+2 -) n2-2n2-4n+2 1-7 2n+1 =1+2 2号7+n4物+2 2 2n+1 9分 M,=6-n2+4n+6 …10分 2 (3)依题意，数列{cm}中bm+1之前的所有项中包括1十2十…+2m-1项{an}中的项，设其 和为Sn,则 S.=1+20-)02-D=(2-1D.2g01 …11分 2 高三数学试题答案第5页（共6页） 数列{cn}中bn+1之前的所有项中包括n项{bn}中的项，设其和为Sn',则 Sn/=2m+1-2… …12分 于是Tn=Sn十Sn'=(2-1)·2”-1+2+1-2 所ud写+》=a-++》 …13分 当=1时d.0d1=1 ……14分 当n≥2时，(n+1)(2m+3)-n2-2(2m+3)=(n-1)·2m-n2+3n-3 ≥(n-1)(n十2)-n2+3n-3=4n-5>0…15分 于是，0<十22+3》<1，因此，[d,]=20m-1D (n+1)(2十3) 所以，[d1]+[d2]+…+[dm]=1+2(1+2+…+(n-1)=n2-n+1≤2025…16分 所以，n≤45. 得[d1]+[d2]+[d3]+…+[dm]≤2025成立的最大整数n的值为45.…17分 高三数学试题答案第6页（共6页）