精品解析：山西省部分学校2025届高三上学期期末数学试题

2024~2025学年第一学期高三期末质量检测卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.； 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简，根据并集定义求，再结合补集定义求结论. 【详解】依题意，全集， 又，， 所以， 所以. 故选：C. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据复数相等的概念结合题目条件列方程组可得结果. 【详解】由，得， 设，则, ∴， ∴，解得，， ∴. 故选：B. 3. 已知角的终边过点，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条仵 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】的终边过点时，，充分性满足， 但当的终边过点时，也有，必要性不满足， 因此为充分不必要条件． 故选：A． 4. 的展开式中的常数项为（ ） A. 8 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】可变形为，结合二项式的展开式的通项公式求结论. 【详解】因为， 二项式的展开式的通项公式为，， 所以展开式的常数项为. 故选:C. 5. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】由题意知， 当且仅当，且，即，时等号成立， 即的最小值为. 故选:A. 6. 已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的范围，由条件结合正弦函数的图象列不等式求结论. 【详解】因为，所以时，则有， 因为在区间内有最大值，但无最小值， 结合函数图象，得，解得. 故选：D. 7. 已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用离心率先求出参数a，再利用点差法求出直线的斜率，即可得到答案. 【详解】由题设，，即，可得， 过的直线与椭圆交于且满足，则为线段的中点， 所以，，又，， 则，即， 所以， 故直线的方程为，即. 故选：C. 8. 已知两条曲线与恰好存在两个公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，条件可转化为恰有两个不同的实数解，画函数与函数的图象，观察图象可得结论. 【详解】由题可知恰有两个不同的实数解，即恰有两个不同的实数解. 令，则， 又，所以在上单调递增， 所以函数的值域为， 所以恰有两个不同的实数解. 所以函数与函数的图象有且仅有两个交点， 设，则， 令，解得，在上单调递增， 令，解得，在单调递减， 且， 当时，，当时，， 当时，， 作出函数和的大致图象如图， 由图象可知，当时，恰有两个不同的实数解， 即的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过令将条件转化为方程恰有两个不同的实数解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于对称 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和题设条件，推得是周期为4的周期函数，结合周期函数的性质求值，利用单调性比较大小，逐项判定即可求解. 【详解】因为为奇函数，所以 ,即函数关于对称，C正确; 由函数关于对称可知, 又因为为偶函数，所以 ，即函数关于对称， 则, 所以,即, 所以,所以是周期为4的周期函数， 所以,又, 所以,所以,所以,B正确; 是偶函数，A错误; 对任意的,且,都有,不妨设, 则,由单调性的定义可得函数在上单调递增， 又由函数关于对称，所以在上单调递增 又,, 所以,得，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数，解题关键是合理利用抽象函数的单调性，奇偶性周期性分析题意，然后逐个选项分析即可． 10. 甲、乙、丙、丁四人玩报数游戏：第一轮，甲报数字，乙报数字，，丙报数字，，，丁报数字，，，；第二轮，甲报数字，，，，，依次循环，直到报出数字，游戏结束，则（ ） A. 是乙报的 B. 是丁报的 C. 甲共报了轮 D. 甲在前四轮所报数字之和大于 【答案】BC 【解析】 【分析】有条件可得甲、乙、丙、丁第轮的报数个数分别为，，，，计算前，轮所报数数字的个数和，判断AC，计算前，轮所报数字个数和判断B，计算前四轮甲所报数值的和判断D. 【详解】甲、乙、丙、丁第轮的报数个数分别为，，，， 前轮共报数个数为. 当时，； 当时，； 且，故是甲报出的，且甲报了轮，A错误，C正确； 对于B，当时，； 当时，，故在第轮报数中，， 故数字是丁报的，B正确； 对于D，甲在前四轮所报数字之和为，D错误. 故选：BC. 11. 如图，在直三棱柱中，P，Q分别为线段，的中点，，，则（ ） A. 异面直线与所成的正弦值为 B. 平面截三棱柱所得截面的面积为 C. 二面角的余弦值为 D. 多面体的体积为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别取线段，的中点M，N，分析可知异面直线与所成角即为，在中结合余弦定理公式即可求得的余弦值，从而求得正弦值，即可判断选项A；取线段的中点，分析可知平面截三棱柱所得截面为等腰梯形，利用梯形面积公式，即可求得截面面积，从而判断选项B；建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量法求得的余弦值，即可判断选项C；几何体的体积可以拆分为，分析可知，，利用棱锥体积公式即可求得几何体的体积，从而判断选项D. 【详解】如图1，分别取线段，的中点M，N，连接，，，， 则，，，则（或其余角）是直线与所成角. 易证得，，两两垂直，， ，，，， 在中，， 所以，故A错误； 取线段的中点，连接，，则， 又，所以，所以平面截四棱柱所得截面为等腰梯形， 其中，，， 所以，故B正确； 如图2，分别以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为，则 令，得，易知平面的一个法向量为， 所以， 由题意知，二面角为锐二面角，所以其余弦值为，故C正确； 多面体的体积为 ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，若为直角，则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】计算的坐标，根据垂直利用数量积为0可求的值. 【详解】由题意得，， ∵为直角，∴，即，解得. 故答案为：. 13. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖.如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】画出示意图，根据球的性质确定球心，利用数量关系列式求解球的半径，代入球的体积公式即可得解. 【详解】设该球的半径为，由圆锥和圆柱的高相等及对称性，可知球心O在高线上， 作出组合体的轴截面图如图所示， 则，，， 在中，，即，解得， 所以该球的体积为. 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，射线分别交于两点（为坐标原点），若，则的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的对称性，结合定义与垂直关系转化将已知条件集中在与中，建立方程组消参化简可得的齐次关系，从而得到离心率. 【详解】由双曲线的对称性得，由，得， 不妨设点在的右支上，且， 在中，由双曲线定义知， 由勾股定理得， 则， 且 又，，所以， 则在中，由，得， 化简得， 即，所以， 所以，化简得. 所以的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角的大小； （2）延长到，使得，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知利用正弦定理得，然后利用余弦定理求得，再根据角的范围即可求解. （2）根据余弦定理及同角三角函数关系得，然后利用两角差的正弦公式求得，然后在中由正弦定理得，最后代入三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得. 所以设，，则，， 由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以，又， 所以， 所以 . 在中，由正弦定理得， 所以， 所以，，所以的面积. 16. 如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为，点为的中点，所以， 因为平面平面ABD，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以. 因为，，所以是等边三角形，所以， 所以，所以，即， 又平面，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）取的中点，连接，可得出平面，以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 又因为平面，则平面， 因为，以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则、，、、、， 所以，，. 设平面的一个法向量为，则， 令，得，，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 随着国内人均消费水平的提高，居民的运动健身意识不断增强，加之健康与解压需求的增长，使得健身器材行业发展趋势强劲，下表为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元），其中年年对应的代码依次为. 年份代码 中国健身器材市场规模 （1）由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的归方程（，的值精确到）； （2）数据显示年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从年购买过体育用品类的中国消费者中随机抽取人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列及数学期望. 参考数据： 其中，. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 3 4 数学期望为 【解析】 【分析】（1）设，可得，结合参考数据及公式求，由此可得结论； （2）由条件确定的可能取值，判断服从二项分布，再求其取各值的概率，由此可得分布列，再利用二项分布期望公式求期望. 【小问1详解】 两边同时取自然对数得. 设，所以， 因为，，， 所以. 把代入，得， 可得，. 所以， 即关于的回归方程为. 【小问2详解】 由题意，得的所有可能取值依次为，，，，，且， ，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 . 18. 已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，且，其中为坐标原点． （1）求的方程； （2）若垂直于直线的直线与交于不同的两点，且以为直径的圆过两点，求直线的斜率． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）将直线与抛物线方程联立，借助韦达定理和向量垂直的坐标表示求出得解. （2）设，利用可得；由在以为直径的圆上可得，，由向量的坐标运算可整理得到，由此构造方程求得. 【小问1详解】 依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，消去y得：，显然， 设， 则，，则， 由，得，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，抛物线：，显然直线的斜率，否则直线与抛物线只有一个交点， 设，直线的斜率，则， 而在以为直径的圆上，则，，即，， ，整理得， 由（1）知，，，于是，两式相减得：， 又，因此，解得， 所以直线的斜率为或. 【点睛】关键点点睛：本题第二问求解直线斜率的关键是能够根据两点在以为直径的圆上，得到垂直关系，进而利用向量垂直关系的坐标表示构造方程组求得. 19. 已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，求和的值； （3）已知函数不存在零点，且当时具有性质，若数列满足，，且，求的通项公式. 【答案】（1）函数不具有性质，理由： 若函数具有性质，则存在实常数及， 使得对任意的都成立， 即， 所以，，不合题意，舍去.所以函数不具有性质. （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得存在实常数及，使得，进而可判断； （2）由题意化简得对任意的都成立，再根据对应系数均为0求解即可； （3）由题意，再构造可得，进而可得通项公式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意存在实常数及，使得对任意的都成立， 即， 化简得对任意的都成立， 所以 解得或 所以或 【小问3详解】 由函数不存在零点，且具有性质得， 对任意的，，都有， 即，所以， 所以， 又，，所以，所以， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期高三期末质量检测卷 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.； 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边过点，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条仵 D. 既不充分也不必要条件 4. 的展开式中的常数项为（ ） A. 8 B. 2 C. D. 5. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 6 6. 已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知两条曲线与恰好存在两个公共点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于对称 D. 10. 甲、乙、丙、丁四人玩报数游戏：第一轮，甲报数字，乙报数字，，丙报数字，，，丁报数字，，，；第二轮，甲报数字，，，，，依次循环，直到报出数字，游戏结束，则（ ） A. 是乙报的 B. 是丁报的 C. 甲共报了轮 D. 甲在前四轮所报数字之和大于 11. 如图，在直三棱柱中，P，Q分别为线段，的中点，，，则（ ） A. 异面直线与所成的正弦值为 B. 平面截三棱柱所得截面的面积为 C. 二面角的余弦值为 D. 多面体的体积为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，，，若为直角，则实数_____. 13. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖、八角攒尖.如图是圆形攒尖，可近似看作圆锥与圆柱的组合体（圆锥与圆柱的底面重合且半径相等），已知此组合体中圆柱底面的半径为4，圆锥与圆柱的高相等，若圆锥的顶点与圆柱的上、下底面圆周都在同一个球面上，则该球的体积为______. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，射线分别交于两点（为坐标原点），若，则的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角的大小； （2）延长到，使得，，求的面积. 16. 如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 随着国内人均消费水平的提高，居民的运动健身意识不断增强，加之健康与解压需求的增长，使得健身器材行业发展趋势强劲，下表为年中国健身器材市场规模（单位：百亿元），其中年年对应的代码依次为. 年份代码 中国健身器材市场规模 （1）由上表数据可知，可用指数型函数模型拟合与的关系，请建立关于的归方程（，的值精确到）； （2）数据显示年购买过体育用品类的中国消费者中购买过运动防护类的占比为，用频率估计概率，现从年购买过体育用品类的中国消费者中随机抽取人，记购买过运动防护类的消费者人数为，求的分布列及数学期望. 参考数据： 其中，. 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 18. 已知抛物线，过点的直线与交于不同的两点，且，其中为坐标原点． （1）求的方程； （2）若垂直于直线的直线与交于不同的两点，且以为直径的圆过两点，求直线的斜率． 19. 已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，求和的值； （3）已知函数不存在零点，且当时具有性质，若数列满足，，且，求的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $