精品解析：辽宁省兴城市第二初级中学等校2024-2025学年八年级上学期阶段检测数学试卷

期中质量检测八年级数学学科试题 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 在以下节水、绿色食品、质量安全、可回收物等四个标志中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12，AB＝3，BC＝4，则AC的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（ ） A. 75° B. 95° C. 105° D. 125° 5. 如图，在中，，，请观察尺规作图的痕迹（，，分别是连线与边的交点），则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝132°，则∠A为（　　） A. 40° B. 22° C. 30° D. 52° 7. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD与∠ACB的外角平分线CD相交于点D，∠D＝30°，则∠A等于（　　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 8. 如图,七边形ABCDEFG中,AB、ED的延长线交于点O,若∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°,则∠BOD的度数为（ ） A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 9. 如图，在中，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 10. 如图，点，，在同一直线上，和均是等边三角形，与交于点，，分别与，交于点，，有如下结论：；②；③；④；⑤．其中正确的结论有：（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二．填空题（共5小题，每小题3分） 11. 点关于轴对称的点的坐标是______． 12. 如图，已知是的边上的中线，若的周长比的周长多，则____． 13. 如图，在中，、是的两条高，，，，则的长等于______． 14. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___． 15. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．设运动时间为，则当点Q的运动速度为__________时，. 三．解答题（共8小题，第16题8分；第17题8分；第18题9分；第19题8分；第20题9分；第21题10分；第22题10分；第23题12分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是 （1）将向上平移4个单位长度得到，请画出； （2）请画出与关于轴对称的； （3）请写出的坐标． 17. 已知：如图，在中，，平分，于，交于，，求：的度数． 18. 如图，，点D在边上，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 如图，在△ADC中，AD＝DC，且AB∥DC，CB⊥AB于点B．CE⊥AD交AD的延长线于点E． （1）求证：CE＝CB． （2）连接BE，求证：AC垂直平分BE． 20. 如图，在等腰中，，点D为直线BC上一点，连接AD，以AD为腰在AD的右侧作等腰，，，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：； （2）当， ①如图2，求证：； ②探究线段CE、AB、CD之间的数量关系，请直接写出结论． 21. 【学习概念】：规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图1，在中，，，请根据规定①，写出图中所有的“等角三角形”； （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，，，请根据规定②，求证：CD为△ABC的等角分割线； 【应用概念】： （3）在△ABC中，，CD是△ABC的等角分割线，=_________． 22. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”． 问题1：如图1，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为的长． 【数学思考】有很多问题都可用类似的方法去思考解决． （1）如图3，在等边三角形中，是边上的高，为的中点，为上一动点，若，，求周长的最小值； （2）如图4，在中，，是中线，点是上一动点，为上一动点，的面积等于6，则的最小值为______． 23. 如图1，，，直线是经过点A的直线，于D，于E，则． （1）如图2，中，，，直线是经过点A的任一直线，于D，于E，证明：． （2）如图3，在中，，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果，那么（1）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，，，三条线段之间有怎样的数量关系？直接写出结论． （3）如图4，把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，已知直角顶点H在y轴正半轴上，顶点G在第一象限且使其横、纵坐标始终相等， ①若另一顶点落在第四象限，求的值； ②直接写出顶点K的横、纵坐标的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中质量检测八年级数学学科试题 一．选择题（共10小题，每小题3分） 1. 在以下节水、绿色食品、质量安全、可回收物等四个标志中，轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念进行分析即可． 【详解】解：A．该标志不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该标志是轴对称图形，故此选项符合题意； C．该标志不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该标志不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形的识别．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可以完全重合． 2. 如图，是的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查画三角形的高，根据三角形的高线的定义，进行判断即可． 【详解】解：由题意：是的高，可得： 故选C． 3. 如果△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12，AB＝3，BC＝4，则AC的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的周长相等求出△ABC的周长，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】∵△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12， ∴△ABC的周长为12，又AB＝3，BC＝4， ∴AC＝5， 故选D． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的周长相等，面积相等是解题的关键． 4. 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（ ） A. 75° B. 95° C. 105° D. 125° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据直角三角形可得，再根据三角形的内角和为180°即可得． 【详解】解：如图， ， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和为180°，熟练掌握三角形的内角和为180°是解题关键． 5. 如图，在中，，，请观察尺规作图的痕迹（，，分别是连线与边的交点），则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出，由作图方法可知是的 中垂线，则，可得，进而求出，由作图方法可知是的角平分线，则． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图方法可知是的 中垂线， ∴， ∴， ∴， 由作图方法可知是的角平分线， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等边对等角，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 6. 如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝132°，则∠A为（　　） A. 40° B. 22° C. 30° D. 52° 【答案】B 【解析】 【分析】利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理可得结果． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出的度数． 7. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD与∠ACB的外角平分线CD相交于点D，∠D＝30°，则∠A等于（　　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】设点E在BC的延长线上，AC与BD交于点F，利用角平分线的定义及三角形的外角性质可得出∠ACD＝∠DBC+∠D及∠ABF＝∠DBC，由三角形内角和定理及对顶角相等，可得出∠A＝2∠D，进而可得出∠A的度数． 【详解】解：设点E在BC的延长线上，AC与BD交于点F，如图所示： ∵∠DCE＝∠DBC+∠D，CD平分∠ACE， ∴∠ACD＝∠DCE＝∠DBC+∠D． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠DBC． 又∵∠ABF+∠A+∠AFB＝180°，∠DCF+∠D+∠CFD＝180°，∠AFB＝∠CFD， ∴∠ABF+∠A＝∠DCF+∠D，即∠ABF+∠A＝∠DBC+∠D+∠D， ∴∠A＝2∠D＝2×30°＝60°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质与内角和定理，准确分析题目是解题的关键． 8. 如图,七边形ABCDEFG中,AB、ED的延长线交于点O,若∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°,则∠BOD的度数为（ ） A. 30° B. 35° C. 40° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】在DO延长线上找一点M，根据多边形AOEFG的外角和为360°可得出∠BOM=140°，再根据邻补角互补即可得出结论． 【详解】在DO延长线上找一点M，如图所示． ∵多边形AOEFG的外角和为360°， ∴∠BOM=360°-215°=145°． ∵∠BOD+∠BOM=180°， ∴∠BOD=180°-∠BOM=180°-145°=35°． 故选B． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角以及邻补角，解题的关键是根据多边形的外角和为360°找出∠BOM=145°． 9. 如图，在中，平分交于点，过点作交于点，且平分，若，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的直角三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据平行线的性质，角平分线的定义得，，然后求出，然后再利用的直角三角形的性质求得的长，从而可以求得的长． 【详解】解：∵平分，， 平分， ∴，， ∴，， 在中，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 10. 如图，点，，在同一直线上，和均是等边三角形，与交于点，，分别与，交于点，，有如下结论：；②；③；④；⑤．其中正确的结论有：（　　） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得、、，进而有，那么，由此便可判断①的正误； 根据全等三角形对应角相等可得，然后再求出的度数，结合，便可判断②的正误，进而可得③的正误； 证明是等边三角形，然后求出，故，利用平行线的判定定理即可判断④； 由全等三角形的知识可得，在、中，借助三角形内角和定理可判断⑤的正误． 【详解】解：和均是等边三角形， ，，， ，即． 在和中， ， ， ，，故①正确． ， ． 在和中， ， ，故②正确， ，， ，即，故③正确． ，， 是等边三角形， ， ， ，故④正确． ， ． 中，， ． ， ，故⑤正确． 综上所述，正确的结论有①②③④⑤，共5个． 故答案为：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 二．填空题（共5小题，每小题3分） 11. 点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标，关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．由此即可得出答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，已知是的边上的中线，若的周长比的周长多，则____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的定义，根据题意得出，，代入数据即可求解． 【详解】解：∵是的边上的中线， ， 又，的周长比的周长多， ， 即， ， 故答案为：10． 13. 如图，在中，、是的两条高，，，，则的长等于______． 【答案】3.75 【解析】 【分析】本题考查三角形的高的有关计算，根据三角形面积公式得出，即可求解． 【详解】解：、是的两条高， ， ， 故答案为：3.75． 14. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___． 【答案】2 【解析】 【分析】过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE=PD，再利用平行线的性质得到∠PCE=∠AOB=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到PE=PC=2，从而得到PD的长． 【详解】解：过P点作PE⊥OB于E，如图， ∵∠AOP=∠BOP=15°， ∴OP平分∠AOB，∠AOB=30°， 而PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE=PD， ∵PC∥OA， ∴∠PCE=∠AOB=30°， ∴PE=PC=×4=2， ∴PD=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形的性质和平行线的性质． 15. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．设运动时间为，则当点Q的运动速度为__________时，. 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定的应用．设点Q的运动速度是，由，则，列出方程，然后求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为， 又∵，， ∴， ∵， ∴， 则：， 解得：； 故答案为：1． 三．解答题（共8小题，第16题8分；第17题8分；第18题9分；第19题8分；第20题9分；第21题10分；第22题10分；第23题12分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是 （1）将向上平移4个单位长度得到，请画出； （2）请画出与关于轴对称的； （3）请写出的坐标． 【答案】（1）如图所示：，即为所求； （2）如图所示：，即为所求； （3）． 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案； （3）利用所画图象得出对应点坐标. 【详解】（1）略 （2）略 （3）． 【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键. 17. 已知：如图，在中，，平分，于，交于，，求：的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件证明从而得到，根据等腰直角三角形得出． 【详解】解：在中， ∵ ，平分， ∴，即， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ．  故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及全等三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 18. 如图，，点D在边上，和相交于点O． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 解：∵ ∴ ∵ ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和、三角形的外角性质： （1）先由三角形的外角性质得，结合，即可证明作答． （2）由得，结合三角形的内角和公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ 则 ∵ ∴ 19. 如图，在△ADC中，AD＝DC，且AB∥DC，CB⊥AB于点B．CE⊥AD交AD的延长线于点E． （1）求证：CE＝CB． （2）连接BE，求证：AC垂直平分BE． 【答案】 （1）证明：∵AD＝CD， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵AB∥CD， ∴∠DCA＝∠CAB， ∴∠DAC＝∠CAB， ∴AC是∠EAB的角平分线， ∵CE⊥AE，CB⊥AB， ∴CE＝CB； （2）证明：由（1）知，CE＝CB， ∵CE⊥AE，CB⊥AB， ∴∠CEA＝∠CBA＝90°， 在Rt△CEA和Rt△CBA中， ， ∴Rt△CEA≌Rt△CBA（HL）， ∴AE＝AB，CE＝CB， ∴点A、点C在线段BE的垂直平分线上， ∴AC垂直平分BE． 【解析】 【分析】（1）根据AD＝DC，且AB∥DC，可得AC是∠EAB的角平分线，然后利用角平分线的性质定理，即可求证； （2）由（1）证得Rt△CEA≌Rt△CBA，根据全等三角形的性质可得AE＝AB，CE＝CB，即点A、点C在线段BE的垂直平分线上，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质定理，线段垂直平分线的判定定理是解题的关键． 20. 如图，在等腰中，，点D为直线BC上一点，连接AD，以AD为腰在AD的右侧作等腰，，，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：； （2）当， ①如图2，求证：； ②探究线段CE、AB、CD之间的数量关系，请直接写出结论． 【答案】 （1）证明：， ， 在与中， ， ； （2）①证明，， 是等边三角形， ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）根据，推出，由已给条件可得，； （2）①由题可得是等边三角形，由得，，从而得出，故，同位角相等，两直线平行，即可得出答案； ②由得，，由是等边三角形得，等量代换即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）①略 ②，理由如下： ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查三角形的判定与性质以及平行线的证明，根据题目已知条件找准全等的判定方法是解题的关键． 21. 【学习概念】：规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 【理解概念】： （1）如图1，在中，，，请根据规定①，写出图中所有的“等角三角形”； （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，，，请根据规定②，求证：CD为△ABC的等角分割线； 【应用概念】： （3）在△ABC中，，CD是△ABC的等角分割线，=_________． 【答案】（1）与，与，与是“等角三角形”； （2）证明：∵在中，， ∴， ∵为角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴为的等角分割线； （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据“等角三角形”的定义解答即可； （2）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得到，根据“等角三角形”的定义证明即可； （3）分是等腰三角形，和是等腰三角形，四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可分别求得 【详解】（1）解：∵在中，， ∴，， ∴， ∴与，与，与是“等角三角形”； （2）略 （3）解：当是等腰三角形，时，， ∴， 当是等腰三角形，时，， ∴， 当是等腰三角形，时，， ∴， 当是等腰三角形，时，， 设，则， 则， 由题意得，，解得， ∴， ∴， ∴的度数为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 22. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李欣《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”． 问题1：如图1，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为的长． 【数学思考】有很多问题都可用类似的方法去思考解决． （1）如图3，在等边三角形中，是边上的高，为的中点，为上一动点，若，，求周长的最小值； （2）如图4，在中，，是中线，点是上一动点，为上一动点，的面积等于6，则的最小值为______． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识． （1）连接，则的长度即为与和的最小值； （2）作于E，交于点P，则的长度即为与和的最小值． 【小问1详解】 解：如图，连接，与交于点，此时最小， 是等边三角形，， ∴垂直平分，， ， ， 即就是的最小值， ∵，， ∴， ，点是边的中点， ， 的最小值是， 即周长的最小值是； 【小问2详解】 解：作于E，交于点P，如图， ∵的面积等于6，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴是边上的高线，即垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 23. 如图1，，，直线是经过点A的直线，于D，于E，则． （1）如图2，中，，，直线是经过点A的任一直线，于D，于E，证明：． （2）如图3，在中，，若顶点A在直线m上，点D，E也在直线m上，如果，那么（1）中结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，，，三条线段之间有怎样的数量关系？直接写出结论． （3）如图4，把等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内，已知直角顶点H在y轴正半轴上，顶点G在第一象限且使其横、纵坐标始终相等， ①若另一顶点落在第四象限，求的值； ②直接写出顶点K的横、纵坐标的关系． 【答案】（1） 证明：∵ ∴ ∴，， ， 在和中， ， ，， ， ； （2）不成立， （3）①5；②互为相反数 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由“”可证，可得，，可得结论； （2）由“”可证，可得，，可得结论； （3）由“”可证，可得，，列出等式可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 结论不成立，，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 ①如图4，过点作轴于，过点作轴于， 设， ， ， ， 又， ， ，， 顶点在第一象限且使其横、纵坐标始终相等，顶点落在第四象限， ，，， ，， ， ． ②设 由①得，，， ，， ∴横纵坐标互为相反数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $