精品解析： 湖南省长沙市浏阳市2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年湖南省长沙市浏阳市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程2x2﹣x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2，1，3 B. 2，1，﹣3 C. 2，﹣1，3 D. 2，﹣1，﹣3 【答案】D 【解析】 【详解】根据一元二次方程的一般式：，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.故选D. 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可配方，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解： ∴ ∴ 故选：A． 3. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 4. 将二次函数化为一般形式后，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 5. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握的对称轴为，顶点坐标为； 时，函数开口向上， 时，函数开口向下． 根据二次函数的图象和性质，逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，故A不正确，不符合题意； ∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线，故B不正确，不符合题意；故C正确，符合题意； 当时，，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 7. 如图，在中，点 是弧的中点，，则弧的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质的应用，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出 ，根据弧中点得出，代入求出即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∵点 是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为 ， 故选：A． 8. 下列有关圆的相关性质的说法中，正确的为（ ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆． A. ②③④ B. ①⑤⑥ C. ①②④ D. ④⑤⑥ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，根据等圆、等弧、直径、半径、弦的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①面积相等的圆的半径相等，因此面积相等的圆是等圆是正确的，故①符合题意； ②过圆心的线段不一定是圆的直径，故②不符合题意； ③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故③不符合题意； ④半径不是弦，故④不符合题意； ⑤直径是圆中最长的弦，正确，故⑤符合题意； ⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆，正确，故⑥符合题意． ∴正确的是①⑤⑥． 故选B． 9. 在同一直角坐标系中，一次函数 和二次函数的图象大致可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断二次函数与轴交于，再根据一次函数的经过的象限判断和的正负，通过和的正负判断二次函数的开口方向和与轴的交点位置即可求解． 【详解】解：由可知二次函数图象与轴交于 观察选项A和选项B的一次函数经过一二三象限，可得， 若， ，则二次函数开口方向向上，与轴的交点在负半轴，故选项A和选项B错误； 观察选项C和选项D的一次函数经过一二四象限，可得， 若， ，则二次函数开口方向向下，与轴的交点在负半轴，故选项C错误，选项D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的图象的综合题，熟知一次函数图象与系数的关系，和二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 10. 已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过两个点，① ；②；③ ；④，则上述说法正确的是（　　） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系．熟练掌握抛物线开口方向，对称轴的位置，与y轴x轴的交点位置，与各系数的关系，二次函数与方程的关系，与不等式的关系，是解决问题的关键． 由抛物线开口向下，交y的正半轴，得到 ，，对称轴在y轴右侧，判定a、b异号，得到 ，确定①正确；根据点和都在抛物线上，得到 ，，得到，，得到， ，确定②③正确；当时，根据， ，得到；根据， ， 得到 ，确定④正确． 【详解】解：∵由抛物线开口向下， ∴ ， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴ ， ∵抛物线交y的正半轴， ∴， ∴ ， ∴①正确； ∵点和都在抛物线上， ∴ ，， ∴，， ∵， ∴， ， ∴②③正确； ∵当时， ，而 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ， ∴， 所以④正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查关于原点对称的点的坐标特点，根据“关于原点对称时，横纵坐标都为相反数”求解即可． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． 12. 方程的解_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 可得， 故答案为：． 13. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：1． 14. 将函数向左平移1个又向上平移3个单位长度可得到二次函数_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟知函数图象平移规则是解答的关键． 根据图象平移规则“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是， 故答案为：． 15. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．根据“转发两轮后共有91人被邀请参与该活动”列出方程即可． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 16. 如图，在 中， ，以为边向形外作等边 ，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，若的长________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，四边形内角和为 ．熟练掌握旋转的性质是解题关键． 由旋转的性质证 为等边三角形，证．又证三点共线，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ 是等边三角形， ∴ ， 由旋转得，， ，， ∵ ， ， ∴， ∴， ∴A、C、E三点在同一条直线上， ∴是等边三角形， ∵，， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用公式法解方程：x2﹣4x﹣7＝0． 【答案】x1＝2+，x2＝2﹣ 【解析】 【分析】先计算判别式的值得到△=44，然后代入一元二次方程的求根公式中求解即可． 【详解】解：根据题意， △＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣7）＝44， ∴x＝＝＝2±， ∴x1＝2+，x2＝2﹣． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握公式法解一元二次方程的步骤. 18. 为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调，某种药品原价为250元/瓶，经两次下调后价格变为160元/瓶，求改药品平均每次降价的百分率？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率（或下降率）问题，解题关键是熟知增长率（或下降率）问题的数量关系，结合题意列方程． 设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x， 根据题意列方程得：， 解得：（舍去）， 则该药品平均每次降价的百分率为 ， 答：该药品平均每次降价的百分率为 ． 19. 已知函数 （为常数）． （1）求当为何值时是的二次函数？ （2）在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，且， 解得 ， ∴当 时是的二次函数； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 20. 已知二次函数． （1）直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； （3）当 时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数 的图象与性质，熟练掌握二次函数 的图象与性质是解题的关键． （1）根据 的对称轴为直线,顶点坐标为即可得； （2）列表、描点、连线即可画图； （3）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：的对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 列表： x 0 1 2 3 4 y 3 0 -1 0 3 描点画图，得： 【小问3详解】 时，， 时，， ∴当 时，y的取值范围为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度， 和 的顶点均在格点上． （1）画出 关于原点O对称的； （2）将 绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若 是由 绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 【答案】（1） 解：如图； （2） 解：如图 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心， （1）根据旋转画出图形即可； （2）根据旋转画出图形即可； （3）根据旋转中旋转中心点到对应点的距离相等的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图； 是由 绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为． 22. 如图，直径为 ，弦为， 平分线交于． （1）求、、的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1），，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理； （1）根据直径所对的角是，判断出 和是直角三角形，根据圆周角 平分线交⊙O于，判断出为等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出具体值， （2）根据直角三角形的面积的求法直接计算即可． 【小问1详解】 解：∵是直径， ∴， 在中，，，， ∴， ∴； ∵平分 ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 四边形的面积的面积的面积 ． 23. 如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点 ， 交于点，连接 ．当桥下水面宽 时，．   （1）求这座石拱桥主桥拱的半径； （2）有一条宽为，高出水面 的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 【答案】（1）这座石拱桥主桥拱的半径为 （2）此渔船不能顺利通过这座桥 【解析】 【分析】本题主题考查圆的基础知识，勾股定理的运用，掌握垂径定理，勾股定理的综合运用是解题的关键． （1）根据垂径定理可得，， ，设主桥拱半径为，可得，根据勾股定理即可求解； （2）如图，设 为该渔船的上端，连接 ，根据题意可求出 的值，根据勾股定理可求出的值，再与矩形船的宽比较，由此即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴， 设主桥拱半径为，由题意可知， ， ∴，， ∵ ， ∴， ∴，解得，， ∴这座石拱桥主桥拱的半径为 ． 【小问2详解】 解：此渔船不能顺利通过这座拱桥，理由如下， 如图，设 为该渔船的上端，连接 ， ∵，船舱顶部为长方形并高出水面 ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴此渔船不能顺利通过这座桥． 24. 某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价是元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加元时，就会有一个房间空闲，空闲的房间可以出租储存货物，每个空闲房间每天储存货物可获得元的利润，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天额外支出元的各种费用，储存货物不需要额外支出费用，设空闲房间有间且全部用于出租储存货物． （1）用含的式子表示下列各量： ①供游客居住的房间数是_____________间； ②每个房间每天的定价是___元； ③该宾馆每天的总利润 是___元； （2）若游客居住每天带来的那部分总利润为元时，求空闲房间每天储存货物获得的总利润是多少元? （3）该宾馆计划接受吨的货物存储，每个房间最多可以存储吨，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天的总利润 最大，最大利润是多少元? 【答案】（1）①；②；③或化简为 （2） 元 （3）定价元，最大利润元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，找准数量关系，正确列出一元二次方程和二次函数关系式是解题的关键． （1）①根据题意列出代数式即可；②根据题意列出代数式即可；③根据题意列出代数式即可； （2）根据游客居住每天带来的那部分总利润为元，列出方程，解方程求出的值即可； （3）先根据题意确定的取值范围为，结合（1）中结论可得，结合二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：①有个房间供游客居住，空闲房间有间，则供游客居住的房间数是间； ②空闲房间有间，则每个房间每天的定价每增加元，故每个房间每天的定价是元； ③空闲房间有间，则空闲房间每天储存货物可获得元的利润，游客居住房间每个房间每天可获得元的利润，故该宾馆每天的总利润 是元； 故答案为：①；②；③或化简为． 【小问2详解】 解：游客居住每天带来的那部分总利润为， 解得： ，（舍）， 空闲房间每天储存货物获得的总利润是元． 【小问3详解】 解：该宾馆计划接受吨的货物存储，每个房间最多可以存储吨，且宾馆有个房间供游客居住， 故，且， 故的取值范围为， 由（1）得， ，且二次函数对称轴为 ， 当（为整数）时， 随的增大而减小， 当时， 最大，最大值为， 此时，每间房价定价为元，宾馆每天的总利润最大为元． 25. 如图，在矩形中，把点D沿对折，使点D落在 上的F点，已知． （1）求点F的坐标； （2）如果一条直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过点O，F，且直线是该抛物线的切线，求抛物线的解析式； （3）已知直线与（2）中的抛物线交于P，Q两点，点B的坐标为．求证：定值．（参考公式：在平面直角坐标系中，已知点，则 两点之间的距离为． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，然后由折叠的性质可知，根据勾股定理求出 的长，即可求出点的坐标； （2）根据抛物线过点和点，设抛物线的解析式为，然后联立直线，根据该直线与抛物线仅有一个交点，令 即可求出的值，从而求出结论； （3）联立方程组，设，根据根与系数的关系可得则，再根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式代入并化简即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质可知， 在中，， ∴． 【小问2详解】 解：根据题意，设抛物线的解析式为， 联立直线和得：． 则由，解得： ． 故抛物线的方程为． 【小问3详解】 解：由，得． 所以设，如下图所示， 则， 而． 从而 ， 即为定值4． 【点睛】此题考查的是矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式，掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，联立方程确定交点的情况，一元二次方程根与系数的关系和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解决此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖南省长沙市浏阳市九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程2x2﹣x﹣3=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 2，1，3 B. 2，1，﹣3 C. 2，﹣1，3 D. 2，﹣1，﹣3 2. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 4. 将二次函数化为一般形式后，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 6. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点 是弧 的中点，，则弧 的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列有关圆的相关性质的说法中，正确的为（ ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆． A. ②③④ B. ①⑤⑥ C. ①②④ D. ④⑤⑥ 9. 在同一直角坐标系中，一次函数 和二次函数的图象大致可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过两个点，① ；②；③ ；④，则上述说法正确的是（　　） A. ①② B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 点关于原点的对称点的坐标为______． 12. 方程的解_______． 13. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 _____． 14. 将函数向左平移1个又向上平移3个单位长度可得到二次函数_________． 15. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为_________． 16. 如图，在 中， ，以 为边向形外作等边 ，把绕着点D按顺时针方向旋转后得到，若的长________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用公式法解方程：x2﹣4x﹣7＝0． 18. 为切实解决群众看病贵的问题，药监部门对药品价格进行了两次下调，某种药品原价为250元/瓶，经两次下调后价格变为160元/瓶，求改药品平均每次降价的百分率？ 19. 已知函数 （为常数）． （1）求当为何值时是的二次函数？ （2）在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 20. 已知二次函数． （1）直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图； （3）当 时，直接写出y的取值范围． 21. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长均为1个单位长度， 和 的顶点均在格点上． （1）画出 关于原点O对称的； （2）将 绕点E顺时针旋转得到，画出； （3）若 是由 绕着某点旋转得到的，则该点的坐标为          ． 22. 如图，直径为 ，弦为， 平分线交于． （1）求、、的长； （2）求四边形的面积． 23. 如图2是根据图1中的石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，设所在圆的圆心为，拱顶为点 ， 交 于点，连接 ．当桥下水面宽 时，．   （1）求这座石拱桥主桥拱的半径； （2）有一条宽为，高出水面 的矩形渔船，请你判断一下，此渔船能否顺利通过这座拱桥？并说明理由． 24. 某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价是元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加元时，就会有一个房间空闲，空闲的房间可以出租储存货物，每个空闲房间每天储存货物可获得元的利润，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天额外支出元的各种费用，储存货物不需要额外支出费用，设空闲房间有间且全部用于出租储存货物． （1）用含的式子表示下列各量： ①供游客居住的房间数是_____________间； ②每个房间每天的定价是___元； ③该宾馆每天的总利润 是___元； （2）若游客居住每天带来的那部分总利润为元时，求空闲房间每天储存货物获得的总利润是多少元? （3）该宾馆计划接受吨的货物存储，每个房间最多可以存储吨，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天的总利润 最大，最大利润是多少元? 25. 如图，在矩形中，把点D沿对折，使点D落在 上的F点，已知． （1）求点F的坐标； （2）如果一条直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过点O，F，且直线是该抛物线的切线，求抛物线的解析式； （3）已知直线与（2）中的抛物线交于P，Q两点，点B的坐标为．求证：定值．（参考公式：在平面直角坐标系中，已知点，则 两点之间的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $