精品解析：辽宁省葫芦岛市2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试卷

2025年1月葫芦岛市普通高中期末考试 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名､准考证号，并核对条形码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效. 第I卷（选择题，共58分） 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用并集概念计算即可. 【详解】，则. 故选：C. 2. 设命题，则为（ ） A. B. C. . D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得结果. 【详解】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得为：. 故选：A. 3. 在中，为边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】如图， 故选：C. 4. 为了关注学生的健康成长，某学校开展了一次高一年级学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则从图中能得出的信息是（ ） A. 样本中A层次身高的女生少于男生 B. 样本中B层次身高的学生人数最多 C. 样本中D层次身高的学生人数占总人数的17% D. 样本中E层次身高的男生有6人 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题中统计图可判断各选项正误. 【详解】对于A，样本中女生人数为，则样本中男生有（人），样本中A层次身高的男生人数为，女生人数为4，所以样本中A层次身高的女生少于男生．故A正确； 对于B，因为男生中B层次身高的人数比例最大，女生中B层次身高的人数比例也最大，所以样本中B层次身高的学生人数最多．故B正确； 对于C，样本中D层次身高的女生有8人，D层次身高的男生有（人），所以样本中D层次身高的学生人数占总人数的比例为．故C正确； 对于D，样本中E层次身高的男生有（人）．故D错误. 故选：ABC 5. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的性质及特例即可判断； 【详解】由可得：， 所以， 取，可得：，不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：B 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域，根据函数解析式有意义，对于函数，可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】对于函数，，则， 所以，函数的定义域， 对于函数，有，即，解得. 因此，函数的定义域为. 故选：D. 7. 甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击.约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先要明确前4次中甲恰好射击3次的所有可能情况，然后根据每次射击命中与否相互独立这一条件，利用独立事件概率的乘法公式来计算每种情况的概率，最后将所有情况的概率相加得到最终结果. 【详解】前4次中甲恰好射击3次有三种情况： 第一种情况：第一次甲命中，第二次乙命中，第三次甲没命中，第四次甲射击. 第二种情况：第一次甲没命中，第二次甲没命中，第三次甲命中，第四次乙射击 . 第三种情况：第一次甲没命中，第二次甲命中，第三次乙命中，第四次甲射击 . 甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与， 则甲、乙两人每次射击没有命中目标的概率分别为与. 计算第一种情况的概率: 根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为. 计算第二种情况的概率: 根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为. 计算第三种情况的概率: 根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为. 计算前4次中甲恰好射击3次的总概率: 将三种情况的概率相加得，前4次中甲恰好射击3次的概率为. 故选：B. 8. 已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，，则的值（ ） A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【详解】根据幂函数的定义和单调性求的值，分析函数的奇偶性，根据为奇函数可得结果． 【分析】∵函数是幂函数，，解得或， 或， ∵对任意的且，满足， 在上为增函数，则， ，为上单调递增的奇函数， ，， ，故． 故选：B 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 个数据的平均数为，另个数据的平均数为，则这个数据的平均数是 B. 一组数据、、、、、的分位数为 C. 若样本数据、、、的平均数为，则数据、、、的平均数为 D. 若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用百分位数的定义可判断B选项；利用平均数的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，个数据的平均数为，另个数据的平均数为， 则这个数据的平均数是，A对； 对于B选项，将数据由小到大排列依次为：、、、、、， 因为，因此，该组数据的分位数为，B错； 对于C选项，若样本数据、、、的平均数为， 则数据、、、的平均数为，C错； 对于D选项，若样本数据、、、的方差为， 则数据、、、的方差为，D对. 故选：AD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数、为实数，若，则的最大值为 D. 设、为实数，若，则的最大值 【答案】BD 【解析】 【分析】取，利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；由已知等式变形得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；由基本不等式可得出关于的不等式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数无最小值，A错； 对于B选项，当时，则， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数的最小值为，B对； 对于C选项，因为正数、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，C错； 对于D选项，因为、为实数，且， 则， 可得，解得， 当且仅当时，即当时，取最大值，D对. 故选：BD. 11. 如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（ ） A. B. 向量与共线 C. D. 若，则最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面向量的基本定理求出关于、的表达式，可判断A选项；利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量共线的基本定理可判断B选项；推导出，可得出、、面积的关系，可判断C选项；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，，则， 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为，则存在，使得， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 因为、不共线，所以，，解得，故，A对； 对于B选项，， 所以，、不共线，B错； 对于C选项，因为为的中点，则， 因为，则， 故，同理可得， 所以，，C对； 对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得， 所以，， 因为、不共线，则，，故， 因此，的最大值为，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于选择基底，将问题中相关的向量利用基本向量加以表示，再结合平面向量相关知识求解. 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】要求的值，需要先找到时的值，然后将其代入已知等式中求解. 【详解】令，则，得. 把代入中， 此时，那么. 故答案为：2. 13. “阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是__________.（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】设至少需要经过天，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】设至少需要经过天，木棒第一天剩余的长度为米， 木棒第二天剩余的长度为米，木棒第三天剩余的长度为米，， 以此类推可知，木棒第天剩余的长度为米， 由题意可得，可得， 所以，， 所以，，则， 故至少需要天. 故答案为：. 14. 已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】零点问题转化为直线与函数的图象有四个交点，作出函数图象数形结合可得结果. 【详解】由得，， 问题转化为直线与函数的图象有四个交点，作出函数图象如下： 由图可知，的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，集合. （1）当，求集合； （2）当，求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式，再结合交集，补集概念计算即可； （2）运用集合之间的包含关系构造不等式组计算即可. 【小问1详解】 由，得， 解得，所以. 当时，集合， 即 则或 则 【小问2详解】 由的两个根为， 因为 所以， 又因为， 解得 所以实数的取值范围为 16. 在中，是重心，直线过点，交于点，交于点. （1）求； （2）若为正实数，求的最小值. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）法一，由重心坐标公式即可求解；法二，由可求解； （2）由三点共线得到，再结合基本不等式即可求解； 【小问1详解】 设点，由中心坐标公式得： ， ， 又， 所以，， 故 法二： 根据题意：， 所以，. 【小问2详解】 由， 得， 所以 因为三点共线， 所以. 则 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6. 17. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值，并判断函数的单调性（不必说明理由）； （2）解不等式； （3）设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），函数是定义域上的增函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，然后利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性； （2）利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可； （3）分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【小问1详解】 对任意的，， 所以，的定义域为且函数为奇函数， 所以，则， 因为， 所以是奇函数，符合题意，故成立； ，是定义域上的增函数，理由如下： 对任意的、且，则， 所以， ，即， 所以，函数为上的增函数. 【小问2详解】 因为函数是实数集上的增函数又是奇函数， 所以由可得， 所以，，可得，即， 因为，则，解得， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 因为函数，显然，所以有 可得，则，则， 因为 ， 令，当时，， 设，所以，， 于是当时，， 对，总，使得成立， 所以，函数的值域为函数在上的值域的子集，即， 所以有，解得，即实数的取值范围为. 18. 为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分分.参加测试的学生共人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计全校高一年级体测成绩的分位数； （2）为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在）内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差. 【答案】（1），分位数为 （2） （3）平均数为，方差为 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为，可求出的值，利用百分位数的概念可求出分位数； （2）分析可知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、，在的有人，设为、、，利用列举法结合古典概型的概率公式可求出所求事件的概率； （3）利用分层抽样的均值和方差公式可求得结果. 【小问1详解】 由题意得：，解得， 抽取的样本中，设第百分位数为， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以，， 则， 解得，因此高一年级体测成绩的的分位数为. 【小问2详解】 由题意知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、， 在的有人，设为、、. 则样本空间为， ， 设事件两人分别来自和， 则，则， 因此，所以两人得分分别来自和的概率为. 【小问3详解】 由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 记在区间的数据分别为、、、，平均分为，方差为， 在区间的数据分别为为、、、，平均分为，方差为； 这个数据的平均数为，方差为. 由题意，，，，， 且，，则. 由分层抽样方差公式可得： 故得分在内的平均数为，方差为. 19. 若两函数与同时满足下列两个条件：①定义域为的非常值函数；②均有，则称为的“函数”. （1）判断函数是否为的“函数”； （2）若为的“函数”，判断函数的奇偶性，并证明； （3）在（2）的条件下，如果，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由. 【答案】（1）不是的“函数”， （2）是奇函数，证明：为奇函数. 令，则有， 令，则有， 两式相加得， 因为是定义在上的非常值函数，所以不恒为0， 所以，所以是奇函数. （3），理由：令，则 令 ， 因为，所以， 令，则， 令，则 若， 若 ， 则， 综上可知满足题意. 再用反证法证是满足题意的最小正数， 若满足要求，令， 则，即， 故， 而， 所以，矛盾，故不符题意. 所以存在是满足题意的最小正数. 【解析】 【分析】（1）利用新定义代入计算验证即可； （2）根据奇函数的定义及函数新定义的概念即可求解； （3）根据奇函数的性质及赋值法，结合递推关系判定周期性，再用反证法判定最小正周期即可. 【小问1详解】 不是“函数”， 易知① ② 显然①②两式不相等，即不是的“函数”， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用函数的奇偶性，周期性，结合反证法及赋值法来处理问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年1月葫芦岛市普通高中期末考试 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生须在答题卡和试题卷上规定的位置，准确填写本人姓名､准考证号，并核对条形码上的信息.确认无误后，将条形码粘贴在答题卡上相应位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上各题目规定答题区域内，超出答题区域书写或写在本试卷上的答案无效. 第I卷（选择题，共58分） 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则为（ ） A. B. C. . D. 3. 在中，为边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 4. 为了关注学生的健康成长，某学校开展了一次高一年级学生身高的抽样调查，随机抽取了100名学生，将他们的身高划分成了A，B，C，D，E五个层次，根据抽样结果得到如下统计图，则从图中能得出的信息是（ ） A. 样本中A层次身高的女生少于男生 B. 样本中B层次身高的学生人数最多 C. 样本中D层次身高的学生人数占总人数的17% D. 样本中E层次身高的男生有6人 5. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击.约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，，则的值（ ） A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 个数据的平均数为，另个数据的平均数为，则这个数据的平均数是 B. 一组数据、、、、、的分位数为 C. 若样本数据、、、的平均数为，则数据、、、的平均数为 D. 若样本数据、、、的方差为，则数据、、、的方差为 10. 下列说法正确的有（ ） A. 的最小值为 B. 已知，则的最小值为 C. 若正数、为实数，若，则的最大值为 D. 设、为实数，若，则的最大值 11. 如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（ ） A. B. 向量与共线 C. D. 若，则最大值 第II卷（非选择题，共92分） 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则__________. 13. “阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是__________.（参考数据：，） 14. 已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，集合. （1）当，求集合； （2）当，求实数的取值范围. 16. 在中，是重心，直线过点，交于点，交于点. （1）求； （2）若为正实数，求的最小值. 17. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值，并判断函数的单调性（不必说明理由）； （2）解不等式； （3）设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围. 18. 为了解高一年级学生身体素质的基本情况，抽取部分高一年级学生开展体质健康能力测试，满分分.参加测试的学生共人，考核得分的频率分布直方图如图所示. （1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计全校高一年级体测成绩的分位数； （2）为提升同学们的身体素质，校方准备增设体育课的活动项目.现采用分层抽样的方法，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在）内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差. 19. 若两函数与同时满足下列两个条件：①定义域为的非常值函数；②均有，则称为的“函数”. （1）判断函数是否为的“函数”； （2）若为的“函数”，判断函数的奇偶性，并证明； （3）在（2）的条件下，如果，当时，，且对所有实数均成立，求满足要求的最小正数，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $