精品解析：山东省德州市宁津县第六实验中学等校期中联考2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级上学期第二阶段数学 练习内容（第21章至第24章第2节） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选，多选或未选均不得分． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 2. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 有最大值为9 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，则抛物线开口向上，故本选项错误，不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线，故本选项错误，不符合题意； C、函数有最大小值为9，故本选项错误，不符合题意； D、当时，随的增大而增大，故本选项正确，符合题意； 故选：D 3. 已知关于的一元二次方程有一个根为2，则另一根为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】设方程的另一根为，利用一元二次方程的根与系数的关系得到，然后解一元一次方程即可． 【详解】解：设方程的另一根为， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：如果一元二次方程的两根分别为，，则，． 4. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（　　） A. 28° B. 30° C. 36° D. 56° 【答案】A 【解析】 【分析】设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°−30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝∠AOB，即可得到∠ACB的大小． 【详解】设半圆圆心为O，连OA，OB，如图， ∵∠AOB＝86°−30°＝56°， ∴∠ACB＝∠AOB＝×56°＝28°． 故选A． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 5. △ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长． 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵AC=3，BC=4， ∴AB==5． 过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示， 由垂径定理可得M为AE的中点， ∵S△ABC=AC•BC=AB•CM，且AC=3，BC=4，AB=5， ∴CM=， 在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2， 解得：AM=， ∴AE=2AM=． 故选C． 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 6. 如图，抛物线y＝x2+2x﹣1与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，则线段CD的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的对称轴的表达式，利用函数的对称性即可求解． 【详解】解：函数的对称轴为直线x=-1， ∵CD∥AB， ∴CD=1×2=2， 故选：A． 【点睛】本题考查的是抛物线轴对称性，解答关键是利用数形结合解答问题． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元二次方程3x2﹣x+9＝0的一次项是_____． 【答案】-x 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：一元二次方程3x2﹣x+9＝0的一次项是-x． 故答案为：-x． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 9. 设、是方程的两个根，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，由此代值计算即可；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：1. 10. 如图，点A的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段若点的坐标为，则点的坐标为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴于点，通过证得，得出，，可得点的坐标， 【详解】解：过作轴于点，如图： ， ， ， ， ，， ， ，， 点A的坐标为，点的坐标为， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 11. 如图，⊙O与抛物线交于两点，且，则⊙O的半径等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接OA，AB与y轴交于点C，根据AB＝2，可得出点A，B的横坐标分别为−1，1．再代入抛物线即可得出点A，B的坐标，再根据勾股定理得出⊙O的半径． 【详解】连接OA，设AB与y轴交于点C， ∵AB＝2， ∴点A，B的横坐标分别为−1，1． ∵⊙O与抛物线交于A，B两点， ∴点A，B的坐标分别为（−1，），（1，）， 在Rt△OAC中，由勾股定理得OA＝＝＝， ∴⊙O的半径为． 故答案为：. 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及二次函数图象上点的特征，求得点A的纵坐标是解题的关键． 12. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），若固定，改变的位置（其中点位置始终不变），且，点在直线的上方．当的一边与的某一边平行时，则所有可能的度数为：________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，注意利用两角互余的性质，角的和差进行计算． 分4种情况进行讨论：①；②；③；④；结合平行线的判定与性质进行求解即可． 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴； ③当时，如图， ∵， ∴， ∴； ④当时，如图， ∵， ∴， ∴； 综上所述：当或或时，有一组边互相平行． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，正确分解因式是解题的关键． （1）用因式分解发法求解即可； （2）先将方程化简整理成一元二次方程的一般式，再用因式分解发法求解即可． 【小问1详解】 解： 或， ∴，． 【小问2详解】 解：， 化简整理，得， ， 或， ∴，． 14. 如图，在边长为3的正方形中，E为边上的一点，连接，将绕点D逆时针方向旋转得到． （1）旋转角为_____度； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理． （1）由正方形的性质得，再由旋转的性质得，即可得出． （2）先由勾股定理求得，再证明是等腰直角三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是正方形， ， ∵将绕点D逆时针方向旋转得到． ∴， ∴， 即旋转角为90度； 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ， 在中，， 旋转得到， ， 在中，． 15. 已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点 (－3，0)，(2，－5)． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？ 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上， 【解析】 【分析】（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）代入x=-2求出y值，将其与3比较后即可得出结论． 【详解】（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+3； ∵二次函数的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5），则有： 解得； ∴y=﹣x2﹣2x+3． （2）把x=-2代入函数得y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=﹣4+4+3=3， ∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上， 【点睛】考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键. 16. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵将线段绕点旋转到的位置， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键． (1)由旋转的性质可得，利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出； (2)根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么．由，得出，再根据三角形外角的性质即可求出，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴的度数为． 17. 已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根． 【答案】（1）m＜； （2）x1＝0，x2＝3． 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（−3）2−4（m＋1）＞0，然后解关于m的不等式即可； （2）当m＝−1时，方程变形为x2−3x＝0，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：根据题意得Δ＝（−3）2−4（m＋1）＞0， 解得m＜； 【小问2详解】 解：当m＝−1时，方程变形为x2−3x＝0， x（x−3）＝0， x＝0或x−3＝0， 所以x1＝0，x2＝3． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，李大爷想用的围栏，再借助房屋的外墙（长）围成一个矩形羊圈，并在边BC上留一个宽的门．当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ 【答案】当羊圈的长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设，则边，根据围成一个面积为的羊圈，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设矩形的边，则边， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：， ∴当时，（舍去）， 当时，， 答：当羊圈的长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 19. 如图，点A、B、C在⨀O上，∠ACB＝125°．请仅用无刻变的直尺分别按下列要求作图． （1）在图（1）中，作一个度数为55°的圆周角； （2）在图（2）中，作一个度数为35°的圆周角． 【答案】 （1）如图(1)， ∠BDA即为所求； （2）如图(2)， ∠ECA即为所求． 【解析】 【分析】（1）在优弧上任意取一点D，连接DA，DB即可； （2）作圆的直径BF，连接CF即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了圆中的基本作图，熟练掌握圆的内接四边形性质，直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 20. 已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点，． （1）求二次函数的表达式； （2）结合图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的图象及性质． （1）先把代入，得出点B的坐标，然后用待定系数法即可求出二次函数的表达式． （2）另，，要使，即，的函数图像在的函数图像上方，结合函数图像即可解题． 【小问1详解】 把代入， 得， ， 把分别代入， 得，解得， 二次函数解析式为； 【小问2详解】 由（1）可得出， 另， 要使， 即，的函数图像在的函数图像上方， 结合函数图像可知，当或时可满足． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵， ∴， 又点E是的中点， ∴， ∵为直径， ∴， 又， ∴， ∴， 即； ∴， 则为的切线．· （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了直径对的圆周角是直角，切线的判定与性质，勾股定理等知识，连半径证切线是常作的辅助线． （1）连接，由半径相等及点E是的中点，可得；由为直径及可得，从而问题解决； （2）设半径为r，在中，由勾股定理建立方程，求出r即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设半径为r，则， ∵为的切线， ∴， 即为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 22. 某超市需购进某种商品，每件的进价10元．设该商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，该商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表： 销售单价x（元/件） 10 20 日销售量y（件） 180 120 （1）请求出当时，y与x之间的函数关系式； （2）设该商品的日销售利润为w元，当该商品的销售单价x（元/件）定价为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）当该商品的销售单价定价为20元时，日销售利润最大，最大利润是1200元． 【解析】 【分析】(1)根据题意可设函数关系式为，利用待定系数法求解即可；(2)根据日销售利润=(销售单价-进货单价) 日销售量，即可得到日销售利润关于销售单价的关系式，即可求解． 【详解】解：（1）设，由题意得: ， 解得， ∴． （2）由题意得 ， 当时，w最大， ∵x的取值范围为：， 而当时，w随x的增大而增大， ∴时，， 答：当该商品的销售单价定价为20元时，日销售利润最大，最大利润是1200元． 【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的实际应用，先设出函数关系式为，利用待定系数法求解，正确读懂题意是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时，经历了以下探究过程： （1）列表（完成下列表格）． … －3 －2 －1 0 1 2 3 … … 6 3 2 3 3 6 … （2）描点并在图中画出函数的大致图象； （3）根据函数图象，完成以下问题： ①当函数的图象向下平移______个单位时，图象与轴有三个公共点； ②结合图象探究发现，当满足______时，方程有四个解． 【答案】（1），2； （2）描点确定函数图象如下： （3）①3，②2＜p＜3． 【解析】 【分析】（1）把x＝，1分别代入函数表达式即可求解； （2）描点确定函数图象； （3）根据函数图象性质即可求解． 【详解】解：（1）把x＝，1分别代入得， m＝，n=2； 故答案为，2； （2）略 （3）①观察图象可知，当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点； 故答案为：3 ②从图象看，2＜p＜3时，方程x2﹣2|x|+3＝p有四个解； 故答案为：2＜p＜3． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，主要通过函数作图，确定函数的性质，依据函数的性质，确定函数与直线的位置关系，通过图象求解问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期第二阶段数学 练习内容（第21章至第24章第2节） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选，多选或未选均不得分． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴为直线 C. 有最大值为9 D. 当时，随的增大而增大 3. 已知关于的一元二次方程有一个根为2，则另一根为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 4. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（　　） A. 28° B. 30° C. 36° D. 56° 5. △ABC中，∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为( ) A. B. C. D. 6. 如图，抛物线y＝x2+2x﹣1与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB，则线段CD的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元二次方程3x2﹣x+9＝0的一次项是_____． 8. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 9. 设、是方程的两个根，则_________． 10. 如图，点A的坐标为，点是轴正半轴上的一点，将线段绕点A按逆时针方向旋转得到线段若点的坐标为，则点的坐标为______ ． 11. 如图，⊙O与抛物线交于两点，且，则⊙O的半径等于_______． 12. 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起（其中，，），若固定，改变的位置（其中点位置始终不变），且，点在直线的上方．当的一边与的某一边平行时，则所有可能的度数为：________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解方程： （1） （2） 14. 如图，在边长为3的正方形中，E为边上的一点，连接，将绕点D逆时针方向旋转得到． （1）旋转角为_____度； （2）连接，若，求的长． 15. 已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点 (－3，0)，(2，－5)． (1)试确定此二次函数的解析式； (2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？ 16. 如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）若，求的度数． 17. 已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m＝﹣1时，求出此时方程的两个根． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，李大爷想用的围栏，再借助房屋的外墙（长）围成一个矩形羊圈，并在边BC上留一个宽的门．当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ 19. 如图，点A、B、C在⨀O上，∠ACB＝125°．请仅用无刻变的直尺分别按下列要求作图． （1）在图（1）中，作一个度数为55°的圆周角； （2）在图（2）中，作一个度数为35°的圆周角． 20. 已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于点，． （1）求二次函数的表达式； （2）结合图象，直接写出当时x的取值范围． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，求的半径． 22. 某超市需购进某种商品，每件的进价10元．设该商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，该商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表： 销售单价x（元/件） 10 20 日销售量y（件） 180 120 （1）请求出当时，y与x之间的函数关系式； （2）设该商品的日销售利润为w元，当该商品的销售单价x（元/件）定价为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 某数学兴趣小组在探究函数的图象和性质时，经历了以下探究过程： （1）列表（完成下列表格）． … －3 －2 －1 0 1 2 3 … … 6 3 2 3 3 6 … （2）描点并在图中画出函数的大致图象； （3）根据函数图象，完成以下问题： ①当函数的图象向下平移______个单位时，图象与轴有三个公共点； ②结合图象探究发现，当满足______时，方程有四个解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $