精品解析：云南省昆明市云南师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期教学测评期末数学试卷

云南师大附中2027届高一年级上学期教学测评期末卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角所对三条边为，已知，则角（ ） A. B. C. D. 5. 函数定义域是（ ） A. B. C. D. 6 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中不是周期函数的是（ ）（注：D选项中表示不超过的最大整数） A. B. C. D. 8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．一全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列给出的角中，正弦值与的正弦值相同的角有（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题为假命题是（ ） A 若，则 B. “”是“”的一个必要不充分条件 C. “”的充要条件是“” D. 函数的最小值是 11. 函数，若是的最大值，则（ ） A. B. C. 若相邻两个零点的最短距离是，则 D. “”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆（以为圆心）交于点．则______． 13. 函数，则的最小值为______． 14. 已知函数的对称中心是，若正数满足，则的最小值是______． 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． （1）用表示； （2）若的边长为2，试求与夹角的余弦值． 16. 已知是一个奇函数． （1）求的解析式和定义域； （2）试判断的单调性并求出的值域． 17. 已知． （1）求函数解析式和最小正周期； （2）（ⅰ）将的函数图象向右平移个单位，然后纵坐标变为原来的2倍，最后向上平移1个单位得到的函数图象，若是一个偶函数，试求的值； （ⅱ）写出的零点． 18. 某小区准备在小区内建造一个收发室，利用其一侧已有的墙体，建造一间高3米，底面积为20平方米，且背面靠墙的长方体形状的收发室．由于收发室的背面靠墙体，无需建造费用．针对这个情况，甲公司给出了如下建造报价：屋子前面新建墙体的报价为500元每平方米，屋子左右侧面新建墙体的报价为200元每平方米，屋顶和地面以及其他共报价7500元，设屋子的左右侧面长均为米． （1）当屋子的左右侧面长为多少时，屋子的建造总价最小，最小为多少？ （2）现有乙公司参与竞标，其给出的建造总报价为元，若无论左右侧面的长为多少，乙公司的报价都不超过甲公司，试求的最大整数． 19. 在指数函数和对数函数的学习中，我们发现同底数的指数函数和对数函数互为反函数，它们的函数图象关于直线对称．一般地，设函数的值域为，根据这个函数中的关系，把用表示出，得到．若对于在中的任何一个值，通过在中都有唯一的值与之对应，那么，就表示是自变量，是因变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作．习惯上，我们用表示自变量，表示因变量，所以函数的反函数通常写为． 反函数的主要性质有： ①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称； ②单调性：一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； ③定义域与值域：反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域． （1）试判断是否有反函数（直接写出答案）； （2）试求出函数的反函数，并指明函数的定义域和值域然后判断函数的单调性； （3）若关于的方程为常数）恰有两个根，且分别满足和，试求的值． （注：若关于直线对称，则直线关于直线对称） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 云南师大附中2027届高一年级上学期教学测评期末卷 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1、答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 所以，，因此，. 故选：D. 2. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，排除BC选项， 又因为，故函数为偶函数，排除A选项， 故选：D 3. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】函数的定义域为， 对任意的、且，则且，所以，， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，则， 由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是. 故选：B. 4. 在中，角所对三条边为，已知，则角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理计算角的余弦值，再结合角的范围即可求角. 【详解】， 所以，且， 所以. 故选：B. 5. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简得出，然后解不等式，可得出函数的定义域. 【详解】因为， 对于函数有，可得， 解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则 . 故选：C. 7. 下列函数中不是周期函数的是（ ）（注：D选项中表示不超过的最大整数） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出的图象可得A不是周期函数，再根据正弦、余弦函数图象性质可得BC周期为，再由的定义可得的周期为1. 【详解】对于A，易知的图象如下： 显然其不是周期函数，即A符合题意； 对于B，易知的周期为，所以B不合题意； 对于C，易知的周期为，所以C不合题意； 对于D，根据表示不超过的最大整数可知的周期为1，即D不合题意. 故选：A 8. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论结合基本初等函数的单调性及特殊值计算求参. 【详解】因为函数在上单调递减， 令，因为单调 递减，所以在上单调递增， 所以当时，在单调递增，， 所以时满足在上单调递增，即得； 当时，在单调递增，， 所以时满足在上单调递增，即得； 当时，在单调递增，， 所以时不满足在上单调递增； 综上可得. 故选：C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．一全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列给出的角中，正弦值与的正弦值相同的角有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】解方程，即可得出合适的选项. 【详解】因为， 解方程可得或， 故ACD选项合乎题意. 故选：ACD. 10. 下列命题为假命题的是（ ） A. 若，则 B. “”是“”的一个必要不充分条件 C. “”的充要条件是“” D. 函数的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用充分条件、必要条件的定义可判断BC选项；利用基本不等式可判断D选项. 【详解】对于A选项，不妨取，，则，A错； 对于B选项，由可得，解得， 因为是的真子集，故“”是“”的一个必要不充分条件，B对； 对于C选项，由可得或， 由可得且， 因为“或”“且”，且“或”“且”， 所以，“”的一个充分不必要条件是“”，C错； 对于D选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最小值是，D对. 故选：AC. 11. 函数，若是的最大值，则（ ） A. B. C. 若相邻两个零点的最短距离是，则 D. “”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，代入解析式即可判断，对于B，化简函数解析式，由是的最大值，即可判断，对于C，确定函数的零点即可判断，对于D,先确定函数的单调增区间，即可判断； 【详解】对于A：，错误； 对于B：，其中， 因为是的最大值， 所以， 所以，所以， 所以，所以，正确； 对于C：由B可知：，令,则或，, 则或，所以相邻两个零点的最短距离是，则，正确； 对于D：由B可知：， 令， 可得， 所以函数的增区间为，, 因为函数在上单调递增； 所以， 所以， 因为，可得：， 所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件，正确， 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆（以为圆心）交于点．则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义可求出的值，再利用两角和的正切公式可求得的值. 【详解】由三角函数的定义可得， 由两角和的正切公式可得. 故答案为：. 13. 函数，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系得到，结合和余弦图象，求出最小值. 【详解】， 因为，所以，， ，故最小值为. 故答案为： 14. 已知函数的对称中心是，若正数满足，则的最小值是______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据题意分析的对称中心可得的值，即可得，又由，结合基本不等式的性质分析可得结果. 【详解】根据题意, 则有，所以， 故对称中心为，可得； 又正数满足，即可得； 所以 ； 当且仅当时，即时，等号成立 此时的最小值是10. 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数解析式求得对称中心，得出，再由基本不等式的推广计算可得结果. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在等边三角形中，点满足，点满足，点是边上的中点，设． （1）用表示； （2）若边长为2，试求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量基本定理得到； （2）先由平面向量基本定理得到，从而结合（1）中，求出，再求出，，从而利用向量夹角余弦公式求出答案. 【小问1详解】 点满足，点是边上的中点， 故， ； 【小问2详解】 点满足， 故， 等边的边长为2，设与夹角为， ， ， 故， ， 故， 则. 16. 已知是一个奇函数． （1）求的解析式和定义域； （2）试判断的单调性并求出的值域． 【答案】（1），定义域为 （2）单调递减，值域为 【解析】 【分析】（1）由奇函数的定义可求得的值，即可得出函数的解析式，利用真数大于零可求得函数的定义域； （2）利用复合函数法可判断函数的单调性，求出真数的取值范围，结合对数函数的单调性可得出函数的值域. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，则， 即，可得， 即，即，所以，，解得， 当时，因为，此时，函数无意义， 当时，，合乎题意， 由可得，解得，即函数的定义域为. 【小问2详解】 ， 因为内层函数在上为减函数，外层函数为增函数， 故函数在上减函数， 当时，，则， 所以函数值域为. 17. 已知． （1）求函数的解析式和最小正周期； （2）（ⅰ）将的函数图象向右平移个单位，然后纵坐标变为原来的2倍，最后向上平移1个单位得到的函数图象，若是一个偶函数，试求的值； （ⅱ）写出的零点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用三角恒等变换计算化简得出三角函数解析式进而求出周期； （2）（ⅰ）先根据平移伸缩得出的解析式再应用偶函数求参即可；（ⅱ）根据零点定义结合余弦函数特殊值计算即可. 【小问1详解】 因为 ， 所以； 【小问2详解】 （ⅰ）将的函数图象向右平移个单位，然后纵坐标变为原来的2倍，最后向上平移1个单位得到， 又因为是一个偶函数，且，所以，所以； （ⅱ）令，得， 所以,即得， 的零点为 18. 某小区准备在小区内建造一个收发室，利用其一侧已有的墙体，建造一间高3米，底面积为20平方米，且背面靠墙的长方体形状的收发室．由于收发室的背面靠墙体，无需建造费用．针对这个情况，甲公司给出了如下建造报价：屋子前面新建墙体的报价为500元每平方米，屋子左右侧面新建墙体的报价为200元每平方米，屋顶和地面以及其他共报价7500元，设屋子的左右侧面长均为米． （1）当屋子的左右侧面长为多少时，屋子的建造总价最小，最小为多少？ （2）现有乙公司参与竞标，其给出的建造总报价为元，若无论左右侧面的长为多少，乙公司的报价都不超过甲公司，试求的最大整数． 【答案】（1）屋子的左右侧面长5米时，屋子的建造总价最小，最小为元； （2）6 【解析】 【分析】（1）由题意可得屋子的建造总价，利用基本不等式求解即可； （2）由题意可得在上恒成立，当时成立，当时，可得，结合换元及基本不等式求得，可得结果. 【小问1详解】 因为底面积为20平方米，屋子的左右侧面均为米， 所以屋子的前面长为米， 可得屋子的建造总价 ； 当且仅当，即时，等号成立； 所以屋子的左右侧面长5米时，屋子的建造总价最小，最小为元； 【小问2详解】 因为无论左右侧面的长为多少，乙公司的报价都不超过甲公司， 所以在上恒成立， 化简可得在上恒成立， 当时，显然成立， 当时，则有， 令，则， 所以， 由对勾函数性质可知， 即，所以， 又因为， 所以的最大整数为6. 19. 在指数函数和对数函数的学习中，我们发现同底数的指数函数和对数函数互为反函数，它们的函数图象关于直线对称．一般地，设函数的值域为，根据这个函数中的关系，把用表示出，得到．若对于在中的任何一个值，通过在中都有唯一的值与之对应，那么，就表示是自变量，是因变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作．习惯上，我们用表示自变量，表示因变量，所以函数的反函数通常写为． 反函数的主要性质有： ①对称性：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称； ②单调性：一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； ③定义域与值域：反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域． （1）试判断否有反函数（直接写出答案）； （2）试求出函数的反函数，并指明函数的定义域和值域然后判断函数的单调性； （3）若关于的方程为常数）恰有两个根，且分别满足和，试求的值． （注：若关于直线对称，则直线关于直线对称） 【答案】（1）无反函数，有反函数 （2）的定义域为，值域为，在和上单调递减 （3）19 【解析】 【分析】（1）分别求出的表达式，根据反函数的定义，即可判断； （2）求出的表达式，根据表达式可直接求得的定义域，根据反函数的值域为原函数的定义域，可求得的值域，再根据的表达式判断其单调性； （3）由一元二次方程根与系数的关系，求得和的值，分别化简和，可得到，则与分别是与和的两个交点的横坐标，根据反函数的性质，求得的值，从而可得到的值. 【小问1详解】 设，则，此时一个有两个与之对应，不唯一，所以无反函数； 设，则，此时一个有唯一一个与之对应，所以有反函数. 【小问2详解】 设，所以， 即，所以的定义域为， 因为的定义域为，所以的值域为， 因为，所以在和上单调递减. 【小问3详解】 方程化为，所以, 因为，所以， 即， 所以与分别是与和的两个交点的横坐标， 因为与互为反函数，关于直线对称， 所以和的中点为， 所以，即，所以，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$