精品解析：内蒙古自治区通辽市霍林郭勒市第一中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

2024—2025学年第一学期期末学业质量检测 高二数学试题（选择性必修1+选择性必修2） 出题人：王玥 本试卷共2页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目固定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（ ） A. 或1 B. C. D. 1 2. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，且，则点P到y轴的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 焦点在y轴上的双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且虚半轴长为2，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是极大值点 C. 的图象在点处的切线的斜率等于0 D. 在区间内一定有2个极值点 6. 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 记等差数列的前n项和为，已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 10. 已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x B. 以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C. 点P的横坐标为±1 D. △PF1F2的面积为 11. 数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为等比数列 B. C. 若，则为等差数列 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的极大值点为__________. 13. 表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为，则____________． 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … 14. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 16. 已知数列为等差数列，，数列中，点在直线上，其中是数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的最大项． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为的中点，点G在上且 （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值； （3）求平面与平面所成的二面角的正弦值． 18. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若，求实数m的取值范围． 19. 已知双曲线的离心率为2，焦点到一条渐近线的距离为． （1）求双曲线C的方程； （2）若过双曲线的左焦点F且斜率不存在的直线l交双曲线于A，B两点，求； （3）若过双曲线的左焦点F的直线l交双曲线于A，B两点，交y轴于P，设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期末学业质量检测 高二数学试题（选择性必修1+选择性必修2） 出题人：王玥 本试卷共2页，19小题，满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试题卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目固定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（ ） A. 或1 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 2. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，且，则点P到y轴的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义求出点的坐标即可得解. 【详解】抛物线的准线方程为，设点， 由，得，解得，则，解得， 所以点P到y轴的距离为. 故选：D 3. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义求给定点处的切线斜率，进而确定倾斜角大小. 【详解】因为， 所以，又切线的倾斜角的范围为，求倾斜角为. 故选：C 4. 焦点在y轴上的双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且虚半轴长为2，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，进而求出双曲线方程. 【详解】令双曲线的实轴长为，焦距为，而虚轴长， 依题意，，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故选：C 5. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是极大值点 C. 的图象在点处的切线的斜率等于0 D. 在区间内一定有2个极值点 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象，结合导函数与原函数的关系，以及导数的几何意义、函数的极值点的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的图象，可得当时，， 所以函数在区间为单调递增函数，所以，所以A错误； 对于B中，由A知，函数在区间为单调递增函数， 因为，所以不是函数的极值点，所以B错误； 对于C中，由函数的图象，可得， 所以函数的图象在点处的切线的斜率大于，所以C不正确； 对于D中，由函数的图象，当时，；当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以D正确. 故选：D. 6. 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 以中点为原点，设，根据，得到点轨迹方程，再表示出，利用圆上的点到定点的距离得到答案. 【详解】以中点为原点，所在直线为轴， 则，， 设，所以由， 可得， 整理得， ， 其中看作是 圆上的点到点的距离的平方， 所以其最大值为， 所以的最大值为， 故选：C. 【点睛】本题考查求圆的轨迹方程，圆上的点到定点的距离，属于中档题. 7. 记等差数列的前n项和为，已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前项和公式建立方程组，可得答案. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得. 故选：B. 8. 已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造，利用导数研究单调性，再依次比较各项对应函数值大小即可. 【详解】设，，则， 在上单调递增， 对于A，，化简得，A正确； 对于B，，化简得，B错误； 对于C，，化简得，C错误； 对于D，，化简得，D错误. 故选：A 【点睛】关键点点睛：构造函数，利用导数探讨函数单调性是比较大小的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量平行的条件、向量的模、向量垂直的充要条件、向量夹角余弦的求法运算即可得解. 【详解】对于选项A，由题意，，， 假设，则存在实数，使得， 即，所以，方程组无解， 即不存在实数，使得，所以和不平行，故A错误； 对于选项B，由，，可得， ，则，故B正确； 对于选项C，由，， 可得， 因为，所以，故C正确； 对于选项D，由，， 可得，故D错误. 故选：BC． 10. 已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则（ ） A. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x B. 以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 C. 点P的横坐标为±1 D. △PF1F2的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项结合渐近线的公式即可求出结果；B选项确定圆心半径即可求出结果；C选项设出点P(x0，y0)，解方程组即可求出结果；D结合三角形的面积公式即可求出结果. 【详解】等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确； 由双曲线的方程可知F1F2＝， 所以以F1F2为直径的圆,圆心为，半径为，则圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误； 点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上， 不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上， 所以由解得|x0|＝1， 则点P的横坐标为±1，故C正确； 由上述分析可得△PF1F2的面积为，故D正确． 故选：ACD. 11. 数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则为等比数列 B. C. 若，则为等差数列 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，构造等差数列求出通项公式，再逐项判断即可. 【详解】数列中，，显然，则， 于是数列是公差为3，首项为1的等差数列，， 对于A，，，为等比数列，A正确； 对于BD，，BD错误； 对于C，， 则，为等差数列，C正确. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的极大值点为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式，利用导数与函数极值的关系，可得答案. 【详解】由，得. 当时，0，当时，， 即函数在上均单调递增，在上单调递减， 从而的极大值点为，极小值点为. 故答案为：. 13. 表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为，则____________． 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 4 7 10 13 16 19 … 5 9 13 17 21 25 … 6 11 16 21 26 31 … 7 13 19 25 31 37 … … … … … … … … 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的定义以及通项公式，可得答案. 【详解】由题意可得第行的首项为，则第行的首项为， 由每一行都是等差数列，第行数列的公差为，则第行的公差为， 所以. 故答案为：. 14. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求导得，由题意得在区间上恒成立，分离参数得在区间上恒成立，即在区间上恒成立，求出在上的最大值即可求解. 【详解】 ， 若在区间上单调递增， 则在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 则在区间上恒成立， ， ， ， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，再求切线方程； （2）根据（1）的结果，再根据两直线平行的几何关系，列式求解. 【小问1详解】 ，，， 所以曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 由(1)可得：曲线在点处的切线方程为， 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，从而. 16. 已知数列为等差数列，，数列中，点在直线上，其中是数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的最大项． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程组，可得的通项，利用，结合等比数列的通项，可得答案； （2）由题意写出数列的通项，构造函数，利用导数研究其单调性，可得答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，解得， 所以； 由点在直线上，则， 当时，，解得； 当时，，整理可得. 所以数列是以首项为，公比为的等比数列，则. 【小问2详解】 ，令，求导可得， 令，解得，可得下表： 极大值 由，则. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为的中点，点G在上且 （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值； （3）求平面与平面所成的二面角的正弦值． 【答案】（1）在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 于是，，则， 即，所以. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）利用空间向量求线线夹角的方法求解. （3）求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 所以与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 由（1）知，， 设平面的法向量，则， 取，得， 设平面的法向量，则， 取，得， 设平面与平面所成的二面角的大小为， 则， 所以平面与平面所成的二面角的正弦值. 18. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合分类讨论思想，可得答案； （2）利用参数分离整理不等式，构造函数，利用导数求得新函数的最大值，可得答案. 【小问1详解】 由，已知其定义域为， 求导可得， 当时，在上恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得，可得下表： 极大值 所以当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 要证，只需证， 令，求导可得， 令，解得，可得下表： 极大值 则，所以. 19. 已知双曲线的离心率为2，焦点到一条渐近线的距离为． （1）求双曲线C的方程； （2）若过双曲线的左焦点F且斜率不存在的直线l交双曲线于A，B两点，求； （3）若过双曲线的左焦点F的直线l交双曲线于A，B两点，交y轴于P，设，证明：． 【答案】（1） （2）6 （3）证明：由（1）知，由过双曲线的左焦点的直线交双曲线于，两点，交轴于， 知直线的斜率存在，设其方程为：，，而， 由得：，， ，，， ，，， 由，得，即，， 所以 . 【解析】 【分析】（1）由双曲线的离心率，焦点到一条渐近线的距离建立等量关系，求解即可. （2）求出直线的方程，与双曲线方程联立求出交点的纵坐标即可. （3）设出直线的方程，联立方程组，得到韦达定理，由，解得，证明即可. 【小问1详解】 设双曲线的左焦点，由其离心率为2，得，即， 由点到双曲线的渐近线的距离为，得， 而，解得：， 所以双曲线的方程为：. 【小问2详解】 由（1）知，直线，则，解得， 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $