2025年重庆市中考数学二轮复习课件：动态几何与函数综合

动态几何与函数综合 用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为动态几何问题，此类问题的显著特点是图形中的某个元素（如点、线段、三角形）或整个图形按照某种规律运动，图形的各个元素在运动变化过程中互相依存、和谐统一，体现了数学中“变”与“不变”、“一般”与“特殊”的辩证思想. 动态几何与函数综合问题将重点放在了对函数、方程的应用上，其中通过图 中已给几何图形构建函数是重点考查对象.不过从近几年中考的趋势上看，要求所 构建的函数为很复杂的二次函数的可能性略小，大多是一个较为简单的函数关系 式，体现了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想. 专题解读 　　例1　（2023沙坪坝二模）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D ＝90°，过点A作AE⊥BC于点E，AB＝5，BC＝7，BE＝3.动点P从点B出 发，沿B→A→D运动，到达点D时停止运动.设点P的运动路程为x，△APE的 面积为y1. 典例剖析 （1）请直接写出y1与x之间的函数关系式以及对应的x的取值范围； （2）请在直角坐标系中画出y1的函数图象，并写出函数y1的一条性质； （3）若直线y2的函数图象如图2所示，结合你所画y1的函数图象，直接写出 当y1＞y2时x的取值范围.（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】解：∵∠D＝90°，AD∥CE，AE⊥BC， ∴CD⊥CE，即∠C＝90°＝∠D＝∠AEC， ∴四边形AECD为矩形.∵BE＝3，CB＝7， ∴CE＝AD＝4.在Rt△ABE中，∵AB＝5，BE＝3， ∴AE＝4＝AD，∴矩形AECD为边长为4的正方形. （1）当点P在AB上运动时， 如图，过点P作PH⊥AE于点H， 则y1 AE·PH AE·AP·sin∠BAE＝－ x＋6（0≤x≤5）. 当点P在AD上运动时，同理可得：y1＝2x－10（5＜x≤9）. 即y1＝ （2）当x＝0时，y1＝6；当x＝5时，y1＝0；当x＝9时，y1＝8. 将上述坐标描点连线绘制图象如下： 从图象看，当0≤x≤5时，y1随x的增大而减小；当5＜x≤9时，y1随x的增 大而增大.（答案不唯一） （3）从图象看，当y1＞y2时x的取值范围为0≤x＜3.3或7.2＜x≤9.（答案 不唯一，只要误差不超过0.2即可） 例2　（2023育才）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5 cm，BC＝6 cm，点D为BC的中点，点P从点D出发，沿D→C→A方向以每秒1 cm的速度匀速运动到点A. 设点P的运动时间为x秒，△ADP的面积为ycm2. 根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化规律进行探究. （1）请直接写出y与x的函数关系式，注明x的取值范围，并画出y的函数 图象； （2）观察y的函数图象，写出一条该函数的性质； （3）观察图象，当y＝AD时，x的值为 　　　　　.（结果保留一位小数， 误差不超过0.2） 【解析】（1）根据等腰三角形三线合一，计算出AD＝4，再根据面积公式， 分类计算即可.（2）根据图象的性质描述即可.（3）分类计算即可. 【答案】解：（1）∵AB＝AC＝5 cm，BC＝6 cm，点D为BC的中点， ∴AD⊥BC，BD＝CD BC＝3 cm， ∴AD 4（cm）. 当0≤x≤3时，y ×x×4＝2x； 当3＜x≤8时，如图，过点P作PE⊥BC于点E， 则PC＝x－3，PE＝PC·sin∠PCB PC （x－3）， ∴y CD·AD－ CD·PE＝6－ × （x－3）＝－ . 综上所述，y＝ 画图象如下： （2）根据图象，可得当0≤x≤3时，y随x的增大而增大.（答案不唯一） （3）∵AD＝4， ∴y＝2x＝4或y＝－ 4. ∵保留一位小数，误差不超过0.2， ∴可取x＝2或4.7. 故答案为：2或4.7.（答案不唯一，只要误差不超过0.2即可） 1. （2024重庆B卷）如图1，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，点P为AB上一点， 过点P作PQ∥BC交AC于点Q. 设AP的长度为x，点P，Q间的距离为y1， △ABC的周长与△APQ的周长之比为y2. 针对训练 （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； 解：（1）∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∴ ∴ y2 ∴y1 x（0＜x≤6），y2 （0＜x≤6）. （2）在图2给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并分别写出函数 y1，y2的一条性质； 解：（2）函数y1与y2的图象如下： 性质：y1随x的增大而增大；y2随x的增大而减小.（答案不唯一） （3）结合函数图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围.（近似值保留一位小数，误 差不超过0.2） 解：（3）由函数图象可知，当y1＞y2时，x的取值范围为2.2＜x≤6. 2. （2024一中）如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以每秒 个单 位长度的速度沿A→B→D的路径运动，动点Q以每秒2个单位长度的速度沿 C→B→D的路径运动，当点Q到达点D时，两点都停止运动.设运动时间为t 秒，点P，Q间的距离为y1. （1）请直接写出y1关于t的函数解析式，并注明自变量t的取值范围； 解：（1）当0≤t≤4时，点P在AB上，点Q在BC上，∴AP t，CQ＝2t， ∴PB＝6－ t，BQ＝8－2t，∴ 1－ t， 1－ t，∴ . 又∵∠ABC＝∠PBQ，∴△BPQ∽△BAC， ∴ 1－ t.又∵BD＝AC 10， ∴y1＝PQ＝10（1－ t）＝－ t＋10；当4＜t≤9时，点P，Q在BD上移动， 这时y1＝PQ＝（2t－8）－（ t－6） t－2. 综上所述，y1关于t的函数解析式为y1 （2）在图2所示的平面直角坐标系中画出函数y1的图象，并写出该函数的一 条性质； 解：（2）函数y1的图象如图1： 性质：当0≤t≤4时，y随x的增大而减小.（答案不唯一） 图1 （3）结合函数图象，请直接写出当函数y2＝－ t＋b与上述函数y1的图象有两个 交点时b的取值范围. 解：（3）结合图象可得，当直线y2＝－ t＋b在两条虚线之间（如图2）时，与y1 的图象有两个交点， ∴b的取值范围为2＜b＜7. 图2 3. （2024巴蜀）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，D为 AB的中点，动点P以每秒1个单位长度的速度沿折线A→C→B方向运动，当点P 运动到点B时停止运动.设运动时间为x秒，△APD的面积为y1. （1）请直接写出y1关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； 解：（1）过点D作DM⊥AC于点M，如图1， 则DM∥BC，∴△ADM∽△ABC， ∴ .∵D为AB的中点，∴ ∴ ∴DM BC＝4.当0＜x≤4时，AP＝x，DM＝4， ∴S△APD AP·DM x×4＝2x. 当4＜x＜12时，过点D作DN⊥BC于点N，如图2. 图2 图2 图1 同理，可得DN＝2.又∵CP＝x－4，BP＝12－x， ∴S△APD＝S△ABC－S△ACP－S△PDB＝ ×4×8－ ×4×（x－4）－ ×2×（12－x）＝－x＋12. 综上所述，y1关于x的函数解析式为y1＝ 图2 图2 图1 （2）在给出的平面直角坐标系中画出函数y1的图象，并写出y1的一条性质； 解：（2）函数y1的图象如图3： 性质：当0＜x≤4时，y随x的增大而增大；当4＜x＜12时，y随x的增大而减小. （答案不唯一） 图3 图3 （3）如图2，y2 （x＞0）的图象如图所示，结合函数图象，请直接写出当 y1≥y2时x的取值范围.（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 解：（3）当y1≥y2时，x的取值范围为1.7≤x≤11.5. 4. （2024沙坪坝）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，过点A作 AD⊥BC于点D. 动点E，F同时从点B出发，点E以每秒 个单位长度的速度沿 折线B→A→C运动，点F以每秒1个单位长度的速度沿线段BC运动.当点E到达 点C时，E，F两点同时停止运动.设运动时间为x秒，线段EF和线段DF的长度 和记为y1. （1）请直接写出y1关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围； 解：（1）当0≤x＜6时，点E在AB上. ∵AB＝10，AB＝AC，AD⊥BC，BC＝12，∴BD＝CD＝6， ∴AD 8. 由题意，得BE x，BF＝x，∴ .又∵∠EBF＝∠ABD， ∴△EBF∽△ABD，∴ 即 ∴EF x. 又∵DF＝6－x，∴y1＝EF＋DF x＋6－x x＋6. 当6≤x≤12时，点E在AC上. 同理可得EF∥AD， ∴△CEF∽△CAD，∴ 即 ∴EF＝16－ x.又∵DF＝x－6， ∴y1＝EF＋DF＝16－ x＋x－6＝－ x＋10. 综上所述，y1关于x的函数解析式为 y1＝ （2）在图2给定的平面直角坐标系中画出函数y1的图象，并写出该函数的一 条性质； 解：（2）函数y1的图象如图1： 性质：函数y1的图象是轴对称图形，对称轴是直线x＝6. 图1 图1 （3）在运动过程中记线段DF的长度为y2，结合函数图象，请直接写出2y1＝3y2 时x的值.（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 解：（3）由（1）知y2＝6－x或y2＝x－6， 设y y2，画出图象如图2： 结合函数图象可知，x≈1.6或x≈10.4. 图2 $$