精品解析：山东省德州市庆云县2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

九年级数学试题 一．选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、该图标是中心对称图形，本选项不符合题意； B、该图标不是中心对称图形，本选项符合题意；； C、该图标是中心对称图形，本选项不符合题意；； D、该图标是中心对称图形，本选项不符合题意；． 故选：B． 2. 已知是二次函数，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 或1 【答案】B 【解析】 【详解】本题考查二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，且）的函数称为二次函数．根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 【解答】解：∵是二次函数， ∴，解得． 故选：B 3. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（ ） A. 2016 B. 2018 C. 2020 D. 2022 【答案】D 【解析】 【分析】令代入原方程即可求出原式的值． 【详解】解：令代入 ∴ ∴原式 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解题关键是熟练运用一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型． 4. 用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 【详解】解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 5. 已知点，，在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．判断出二次函数的增减性，由此即可得． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 又∵点，，在二次函数的图象上， ∴， 故选：B． 6. 已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根， ． ， ， ∴ ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． 7. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误； C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，故选项正确； D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的对称轴，故选项错误． 故选：． 8. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 9. 如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、角平分线的定义、三角形的内角和定理，先根据角平分线的定义得到根据圆周角定理得到，再根据圆周角定理得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵是的直径，， ∴，，则， ∴， 故选：A． 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到，即，则在x轴正半轴上；由二次函数顶点在第二象限，得到当时，，再由二次函数与x轴无交点，得到，则点在第二象限，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∴在x轴正半轴上； ∵二次函数顶点在第二象限， ∴当时，， ∵二次函数与x轴无交点， ∴， ∴点在第二象限， ∴经过点和点的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限， 故选：C． 11. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … … … … 抛物线的对称轴为直线；抛物线的开口向上；抛物线与轴的交点坐标为；该函数图象向上平移个单位后经过原点；当时，的取值范围是，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：设，将，，代入得： ， ， ， 对称轴为直线，故错误； ， 开口向上，故正确； 当时，， 与轴的交点坐标为，故正确； 与轴的交点坐标为， 向上平移个单位后经过原点，故正确； ， 顶点坐标为，开口向上， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是，故正确， 故选：C． 12. 二次函数 (其中x是自变量且)， 当时， y随x的增大而增大，且时，y的最大值是，则m的值为（ ） A. B. C. 或6 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．先将题目中的函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴，再根据当时，y随x的增大而增大，即可得到m的正负情况，最后根据当时，y的最大值为和二次函数的性质，可以求得m的值． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴， 又∵当时，y的最大值为， ∴时，， 即， 解得，，（舍去）， 故选：D． 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）， 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的特征，解答本题的关键是掌握对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答即可． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点， 点关于原点对称的点是， 故答案为：． 14. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 【答案】2028 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 15. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为， ∴使成立的的取值范围为或， 故答案为：或． 16. 在中，，，点是上一个动点（点不与重合），以点为中心，将线段顺时针旋转得到线，，的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，外角的定义，等腰三角形的性质，解答本题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用三角形的外角的性质求出，利用旋转的性质求出，再根据即可得出结论． 【详解】解：，， ， ， ， 将线段顺时针旋转得到线， ， ， 故选：． 17. 某农场要建一个饲养场（矩形）两面靠现有墙（位置的墙最大可用长度米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长米，饲养场达到的最大面积为______平方米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，矩形的性质，配方法，二次函数的图象与性质，熟练掌握配方法和二次函数的性质是解答本题的关键． 设饲养场（矩形）的面积为平方米，一边长为米，则饲养场另一边米，根据矩形的面积公式得到与的函数关系式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可． 【详解】解：设饲养场（矩形）的面积为平方米，一边长为米，则饲养场另一边米， ， ， 当时，的最大值为平方米， ， 符合题意， 饲养场达到的最大面积为平方米， 故答案为：． 18. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，的半径为，为上一动点，为的中点，则线段长的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接并取的中点，连接，，于是可得，，然后求得抛物线与轴的交点，的坐标，进而可求得的长，接下来求得抛物线顶点的坐标，即可求得的长，于是利用勾股定理即可求得的长，进而可求得的长，最后利用三角形三边之间的关系即可得解． 【详解】解：如图，连接并取的中点，连接，， 为的中点，为的中点， 是的中位线， ， 轴， ， 又为的中点， ， 令， 解得：或， ，， ，， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， ， 当时，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， 即：长的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质（斜边中线等于斜边的一半），求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，已知两点坐标求两点距离，轴对称的性质，求函数值，勾股定理，三角形三边之间的关系等知识点，添加适当的辅助线，巧妙利用三角形的中位线定理及直角三角形的性质是解题的关键． 三．解答题（本大题共7小题，共78分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）画出将绕原点O按逆时针方向旋转，所得的； （2）请画出关于原点O成中心对称的图形； （3）在x轴上找一点P，使的周长最小，请求出点P的坐标． 【答案】（1）图形见解析 （2）图形见解析 （3）点P的坐标 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，轴对称-最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）分别作出A，B，C的对应点即可； （2）分别作出A，B，C 的对应点即可； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时的值最小． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求 【小问3详解】 解：如图，取点A关于x轴的对称点，交x轴于点P， 此时，为最小值， ∴最小， 即的周长最小， ∴点P的坐标为． 21. 如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式；(不写自变量的取值范围) （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）该运动员此次跳水不会失误， 理由：运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为4米，点的坐标为， 运动员在空中调整好入水姿势时的点的横坐标为3， 当时，， 运动员距水面高度为(米， ， 该运动员此次跳水不会失误． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式； （2）利用二次函数的解析式求得时的值，依据题意求得运动员此时距水面高度，通过比较与5米的大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：运动员在空中最高处点的坐标为， 点为抛物线的顶点， 设该抛物线的解析式为， 该抛物线经过点， ， ， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 略 22. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接．若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆的切线的判定、等腰三角形性质、垂径定理的推论及勾股定理的应用，综合运用这些知识点是解题关键． （1）连接，证明，，得出，根据是直径，D是的中点，得出，证明即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出结论． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是直径，D是的中点， ∴ ∴， ∴， ∴，即， ∵是半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 设，则， 在中， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 24. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质， （1）采用待定系数法即可求解二次函数关系式； （2）先求出平移后点B的坐标，然后把坐标代入解析式即可； （3）分为，时，时，建立方程解题即可． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，把代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：点B平移后的点的坐标为， 则，解得或（舍）， ∴m的值为； 【小问3详解】 解：当时， ∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去； 当时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意； 当时， 最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意； 综上所述，n的取值范围为． 25. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． （1）思路梳理 把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，由，得，即点F、D、G共线，易证______，故、、之间的数量关系为______．（要求写出必要的推理过程） （2）类比引申 如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，，连接，试猜想、、之间的数量关系为______，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，，求的长． 【答案】（1）， （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，求出，证明△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案； （2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，求出，证明，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案； （3）把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，连接，求出，由勾股定理可得，然后证明（SAS），根据全等三角形的性质可得答案． 【小问1详解】 解：如图1，把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合， 由旋转得：，，，， ∴，即点F、D、G共线， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 ； 证明：如图2，把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，则点G在上， 由旋转得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图3，把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，连接， 由旋转得：，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴（SAS）， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，解此题的关键是能正确作出辅助线得出全等三角形，综合性比较强，有一定的难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一．选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是二次函数，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 2 D. 或1 3. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（ ） A. 2016 B. 2018 C. 2020 D. 2022 4. 用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. B. 2024 C. D. 1 5. 已知点，，在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 函数和（是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，是的直径，，是上两点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 11. 已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … … … … 抛物线的对称轴为直线；抛物线的开口向上；抛物线与轴的交点坐标为；该函数图象向上平移个单位后经过原点；当时，的取值范围是，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 二次函数 (其中x是自变量且)， 当时， y随x的增大而增大，且时，y的最大值是，则m的值为（ ） A. B. C. 或6 D. 6 二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）， 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称点的坐标是______． 14. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 15. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是________． 16. 在中，，，点是上一个动点（点不与重合），以点为中心，将线段顺时针旋转得到线，，的度数是______． 17. 某农场要建一个饲养场（矩形）两面靠现有墙（位置的墙最大可用长度米，位置的墙最大可用长度为米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长米，饲养场达到的最大面积为______平方米． 18. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，对称轴与抛物线交于点，与轴交于点，的半径为，为上一动点，为的中点，则线段长的最大值为________． 三．解答题（本大题共7小题，共78分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，三个顶点的坐标分别为． （1）画出将绕原点O按逆时针方向旋转，所得的； （2）请画出关于原点O成中心对称的图形； （3）在x轴上找一点P，使的周长最小，请求出点P的坐标． 21. 如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式；(不写自变量的取值范围) （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． 22. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且． （1）求证：为的切线； （2）连接．若，求的长． 23. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 24. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 25. 通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． （1）思路梳理 把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，由，得，即点F、D、G共线，易证______，故、、之间的数量关系为______．（要求写出必要的推理过程） （2）类比引申 如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，，连接，试猜想、、之间的数量关系为______，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $