精品解析：山东省菏泽市曹县第一中学2024-2025学年高二上学期期末模拟数学试题

高二数学试题 一、选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题 目要求的. 1. 抛物线的准线是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行六面体中，一以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C D. 4. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A 4 B. C. 2 D. 5. 设等比数列前n项和为，且满足，，若，则数列的前10项和是（ ） A. B. C. 25 D. 35 6. 如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 数列的前项和为 ，已知，则下列说法错误的是（ ） A. 是递减数列 B. 数列的前 2025 项和为 2017 C. D. 设 ，当且仅当时，数列的前项和取最大值 8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分， 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要 求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得 3 分， 有选错的得 0 分. 9. 已知点在圆上，点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线与圆相离 B. 当最大时， C. 点到直线的距离最大值为 D. 点到直线的距离最小值为 10. 如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值． B. 无论点在线段的什么位置，都有平面平面 C. 线段上存在点，使平面平面． D. 为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则（ ） A. 曲线有两条对称轴 B. 曲线上的点到原点的最大距离为 C. 曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为 D. 四叶草面积小于 三、填空题： 本题共3个小题， 每小题 5 分， 共15分. 12. 已知数列的通项公式为，则此数列的前项和______. 13. 已知椭圆的其中一个焦点为，过点的直线交椭圆于、两点，若 的中点坐标为，则椭圆的方程为_____ 14. 已知实数满足，则的最小值为_____. 四、解答题： 本题共 5小题， 共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，， （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）令，证明： 16. 在平面直角坐标系内，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线 的距离少. （1）求曲线的方程; （2）点在曲线上，直线交抛物线于、两点（、异于点）. 若，证明: 直线过定点. 17. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18 已知数列中，，且，设数列. （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，数列的前项和为，求证：. 19. 已知椭圆C：，若点，，，中恰有三点在椭圆C上． （1）求C的方程； （2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点P，Q． （ⅰ）证明：点B在以PQ为直径的圆内； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学试题 一、选择题： 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题 目要求的. 1. 抛物线准线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出抛物线标准方程，再确定准线方程即可. 【详解】由题设，抛物线标准方程为，故其准线方程为. 故选：A 2. 在平行六面体中，一以顶点为端点的三条棱长均为，且，则对角线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量将线段的长度转化成求解向量的模，结合空间向量的数量积运算即可得解.. 【详解】由题意可知，，，如图， 则， 因为， 所以 ， 所以，即. 故选：A. 3. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设双曲线的方程为，进而待定系数求解即可. 【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以，双曲线的标准方程是． 故选：A． 4. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，为交点， . 则，当且仅当时，等号成立. 即面积的最大值为. 故选：B. 5. 设等比数列的前n项和为，且满足，，若，则数列的前10项和是（ ） A. B. C. 25 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式及等比数列前n项和公式基本量运算得出，再应用等差数列前n项和公式计算即可. 【详解】设等比数列的公比为q，由题意易知， 则解得 所以，所以， 所以数列前10项和． 故选：C． 6. 如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立合适空间直角坐标系，然后根据点到直线的距离的向量求法求解出结果. 【详解】以为原点，分别以，过垂直于，方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 因为且四边形是菱形， 所以，且，即， 所以， 设点到直线的距离为， 所以， 故选：D. 7. 数列的前项和为 ，已知，则下列说法错误的是（ ） A. 是递减数列 B. 数列的前 2025 项和为 2017 C. D. 设 ，当且仅当时，数列前项和取最大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据作差求出的通项公式，即可判断A、C；再由并项求和法判断B；列出的前几项，再分析其余项的特征，即可判断D. 【详解】因为，当时， 当时， 所以， 经检验当时也成立，所以， 因为，所以， 所以是递减数列，故A正确； 因为， 记的前项和为， 则 ，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为，所以，， 又，所以，，，，， 当时，，，，所以， 所以当或时数列的前项和取最大值，故D错误. 故选：D 8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答. 【详解】依题意，直线都过点，如图，有，， 设，则，显然有，， ， 因此，，在，， 即，解得，即，令双曲线半焦距为c， 在中，，即，解得， 所以E的离心率为. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，进而转化为的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以或转化为关于的方程（不等式），解方程（不等式）即可得（的取值范围）. 二、选择题： 本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分， 在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要 求.全部选对的得 6 分， 部分选对的得 3 分， 有选错的得 0 分. 9. 已知点在圆上，点，则下列说法正确是（ ） A. 直线与圆相离 B. 当最大时， C. 点到直线的距离最大值为 D. 点到直线的距离最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】写出直线方程，根据圆心到该直线距离判定直线与圆位置，数形结合判断最大时的位置，即可判断各项的正误. 【详解】由题意，，即， 又的圆心为，半径为， 所以到的距离为，故直线与圆相交，A错； 要使最大，只需与圆相切，则，B对； 由A分析知，点到直线的距离，最大值为，最小值为，C对，D错. 故选：BC. 10. 如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的有（ ） A. 三棱锥的体积为定值． B. 无论点在线段的什么位置，都有平面平面 C. 线段上存在点，使平面平面． D. 为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；选项B，根据条件，可得面，利用面面垂直的判定定理可得平面平面，即可作出判断，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断C和D选项的正误． 【详解】对于选项A，因为平面，平面平面， 所以，点到平面的距离等于， 的面积为， 所以，，故选项A正确； 对于选项B，连接，易知面，又面，所以， 又分别为棱的中点，则，而，所以， 又面，，所以面， 又面，所以平面平面，故选项B正确， 对于选项C，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、、 、、，、， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， 设，可得点，其中， 则， 所以，解得， 故平面与平面不平行，所以选项C错误， 对于选项D，由选项C知，，， 设直线与所成角为， 则， 当时，取得最大值，此时最小，所以选项D正确， 故选：ABD. 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则（ ） A 曲线有两条对称轴 B. 曲线上的点到原点的最大距离为 C. 曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为 D. 四叶草面积小于 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过方程中的变换得新曲线的对称轴判断A，利用基本不等式及距离公式判断B，设出曲线中第一象限的点，利用基本不等式即可求出矩形面积最大值判断C，由该曲线在以原点为圆心，半径为的圆内，故面积小于圆的面积判断D. 【详解】对于A：当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 综上可知：有四条对称轴，错误； 对于B：因为，所以，所以，所以， 取等号时，所以最大距离为，正确； 对于C：设任意一点，所以围成的矩形面积为， 因为，所以，所以， 取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，正确； 对于D：由B可知，所以四叶草包含在圆的内部， 因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，正确. 故选：BCD. 三、填空题： 本题共3个小题， 每小题 5 分， 共15分. 12. 已知数列的通项公式为，则此数列的前项和______. 【答案】 【解析】 【分析】结合等比数列前n项和公式，根据错位相减法求和即可. 【详解】由题知，① 所以，② ①-②得， 所以. 故答案为： 13. 已知椭圆的其中一个焦点为，过点的直线交椭圆于、两点，若 的中点坐标为，则椭圆的方程为_____ 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆的方程为，利用点差法结合已知条件能求出椭圆方程． 【详解】设椭圆的方程为， 由题意知，且直线的斜率， 设，，则， 两式相减得， 由的中点坐标为，知， 所以， 所以，即， 又，所以，， 故椭圆C的方程为． 故答案为：． 14. 已知实数满足，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先将转化为，从而将问题转化为圆上任一点到点与的距离之和，数形结合即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 则， 相当于圆上的任一点到点与的距离之和，如图， 因为，当在线段与圆的交点处时，即为所求， 所以所求最小值为. 故答案为：. 四、解答题： 本题共 5小题， 共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，， （1）证明：数列为等比数列； （2）求的通项公式； （3）令，证明： 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列是等比数列. （2）根据（1）的结论可求数列的通项公式. （3）分析数列的单调性，即可证明. 【小问1详解】 因为，且. 所以是以为首项，以为公比的等比数列. 【小问2详解】 由（1）可得：，所以. 【小问3详解】 ， 因为，故. 而， 所以数列为递增数列，所以. 所以成立. 16. 在平面直角坐标系内，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线 的距离少. （1）求曲线的方程; （2）点在曲线上，直线交抛物线于、两点（、异于点）. 若，证明: 直线过定点. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得曲线上任意一点到点的距离跟到直线的距离相等，结合抛物线的定义求出方程； （2）首先求出，当直线的斜率存在时，设直线，、，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，根据，求出、的关系，即可求出直线过定点坐标，再求出斜率不存在时也符合题意. 【小问1详解】 因为曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少， 所以曲线上任意一点到点的距离跟到直线的距离相等， 又点不在直线上， 根据抛物线的定义可知，曲线是以为焦点，为准线的抛物线， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 因为点在曲线上， 即，解得（负值已舍去），所以， 当直线的斜率存在时，显然斜率不为，设直线， 设、，联立可得， 所以，可得， 由韦达定理可得，， 所以 即， 即， 所以或， 当时直线， 令，可得，即直线过定点， 当时直线， 令，可得，即直线过定点，不符合题意，故舍去； 当直线的斜率不存在时，设，， 则，， 因为，所以，解得（舍去）或， 所以直线的方程为，显然过点； 综上可得直线恒过定点. 17. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【小问1详解】 取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 18. 已知数列中，，且，设数列. （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意得：，结合题意可得，即可得证，又，代入公式，即可得答案. （2）由（1）可知，代入所求，可得，利用裂项相消求和法，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得： ，即，且， 是以为首项为公比的等比数列； （2）由（1）得，； 【点睛】解题的关键是熟练掌握等比数列的定义，并灵活应用. 裂项常见形式有（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 19. 已知椭圆C：，若点，，，中恰有三点在椭圆C上． （1）求C的方程； （2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点P，Q． （ⅰ）证明：点B在以PQ为直径的圆内； （ⅱ）求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）6 【解析】 【分析】（1）由椭圆对称性可知，，两点在椭圆上，则，有一点在椭圆上，将两点代入椭圆中，解方程组即可求得椭圆C的方程； （2）（i）分别将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出P，Q两点坐标，由数量积可得为钝角，得出证明； （ii）由（i）可写出四边形的面积为，再利用基本不等式以及函数单调性即可得出面积的最大值为6. 【小问1详解】 由椭圆对称性可知，，两点在椭圆上， 则，有一点在椭圆上， 设点在椭圆上， 则，方程组无解，所以点在椭圆上 代入，可得，，即椭圆方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）易知，，由椭圆对称性可知，不妨设，，，， 根据题意可知直线AM，BM斜率均存在，且，， 所以直线AM的方程为，BM的方程为， 联立直线AM和椭圆方程，消去y可得， 由韦达定理可得，解得，则； 联立直线BM和椭圆方程，消去y可得， 由韦达定理可得，解得，则； 则， ， 所以， 即可知为钝角，以点B在以PQ为直径的圆内； （ⅱ）由（i）四边形APBQ面积为 ， 设，，则，当且仅当时等号成立， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 所以，可得， 所以时，四边形的面积最大为6，此时点M的坐标为， 由对称性可知，即当点M的坐标为或时，四边形的面积最大，最大值为6． 【点睛】方法点睛：证明点和圆的位置关系时，可利用向量数量积的正负判断与直径所对圆周角的大小即可得出结论；在求解四边形面积的最值时，首先可用一个变量表示出面积的表达式，再根据函数单调性或基本不等式求出最值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$