精品解析：湖北省部分省级示范高中2024-2025学年高一上学期期末数学试题

湖北省部分省级示范高中2024～2025学年上学期期末测试 高一数学试卷 考试时间：2025年1月17日 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，则a，b，c大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 5. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的定义域为 C. 函数的图象的对称中心为 D. 函数的单调递增区间为 10. 已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 的值域为 11. 函数的定义域为为偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. C 函数有2个零点 D. 若关于x的方程在区间上的实数根的之和为12 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则__________. 13. 某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上细菌的，要使该物质上的细菌少于原来的，则至少要喷洒______次 14. 已知定义在R上的函数满足，当时，，若对任意，都有，则实数m的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知，且，求c的值. 16. （1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 17. 南京马拉松作为江苏省的省会马拉松赛，创办于2015年，六年的时间它已成为中国马拉松金牌赛事世界田联标牌赛事，有穿越中华门、玄武湖、总统府等经典景点的比赛路线，为了迎接2023年11月南京马拉松赛的回归，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为两个全等的直角三角形和一个等腰三角形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度也都是），． （1）当时，求海报纸（矩形）的周长： （2）为了节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 18. 已知函数为奇函数. （1）求m的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围． 19. 定义域为函数满足：对任意，都有，则称具有性质. （1）分别判断以下两个函数是否具有性质：和； （2）函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省部分省级示范高中2024～2025学年上学期期末测试 高一数学试卷 考试时间：2025年1月17日 试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合B，再由集合的交运算求解集合即可. 【详解】由题设，且，则. 故选：B 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式结合题干所给条件计算即可. 【详解】 故选：B. 3. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性判断即可. 【详解】因为，， 故. 故选：C. 4. 已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出扇形的半径和弧长，先利用扇形面积公式和周长求出半径和弧长，再利用弧长公式进行求解. 【详解】设扇形的半径为，所对弧长为， 则有，解得， 故. 故选：. 5. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式求定义域，定义判断奇偶性并结合上函数值符号，应用排除法确定答案. 【详解】由解析式，有，即，故定义域为， ，即为奇函数，排除C、D； 当时，，即，排除B. 故选：A 6. 下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期性与单调性逐项判断，即可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的最小正周期为，且该函数在上单调递减，A满足条件； 对于B选项，函数最小正周期为，且该函数在上单调递减，B不满足条件； 对于C选项，函数的最小正周期为， 当时，，则函数在上不单调，C不满足条件； 对于D选项，函数的最小正周期为， 当时，，则函数在上单调递增，D不满足条件. 故选：A. 7. 已知函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】综合应用三角函数的图象与性质即可解决. 【详解】由题意，函数，可得函数的周期为. 因为，所以. 由函数在区间上有且仅有一个零点， 得，且，即，且. 当时，，解得，所以； 当时，，解得，所以； 当时，，解得，此时解集为空集. 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 8. 已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，则，可知为奇函数且在定义域上单调递增，所以可转化为，根据奇偶性和单调性可解出的范围. 【详解】令， 因为所以的定义域为， 则， 又，， 所以， 所以为奇函数； 在上为增函数，在上为增函数， 又也为增函数，所以根据函数的单调性的性质可得在上为增函数； 等价于，即， 则 解得：或， 即关于x的不等式的解集为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的定义域为 C. 函数的图象的对称中心为 D. 函数的单调递增区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据正切函数周期判断A，求出正切型函数定义域判断B，根据正切函数的对称中心判断C，根据正切函数的单调区间可判断D. 【详解】函数的最小正周期为，所以A错误； 由，则定义域为，所以B正确； 因为正切函数的对称中心为，则， 可知函数的对称中心应为，所以C错误； 由，得， 所以函数的单调递增区间为，所以D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数对称性与周期性结合诱导公式可判定A、B，再根据A、B结论及三角函数的图象与性质可判定C、D. 【详解】对于A，根据诱导公式可知： ，故的一个周期为，即A正确； 对于B，根据诱导公式可知： ，所以的图象关于对称，即B正确； 对于C，易知 ，即为偶函数， 当时，，显然此时函数单调递减， 由偶函数的对称性可知时函数单调递增，故C错误； 由B结论可知为的一个周期， 此区间上，故D正确. 故选：ABD 11. 函数的定义域为为偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B C. 函数有2个零点 D. 若关于x的方程在区间上的实数根的之和为12 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据题干中的轴对称，点对称的条件推出周期性和奇偶性，A选项有函数的奇偶性的性质结合周期性判断，B由函数的周期性分组求和即可；CD画出图像，数形结合求解； 【详解】由于为偶函数，则关于对称，则， 故，结合可得， 用取代，得到，用取代，得到， 于是，的周期为4，由可得， 结合可得，故为奇函数. 对A，由幂函数的性质，在上单调递增，由奇函数的性质，在上递增， 又关于对称，则在上递减，又周期为4，故在上单调递减，故A错误； 对B，奇函数的定义域为，故，又周期为4，故， 由，取得到，取，得到， 故， 所以，故B正确； 对C，在同一直角坐标系中作出和的图像如下： 由图象可得有两个交点，故有两个零点，故C正确； 对D，先作出在上的图象， 由，根据对称性，四个点的横坐标之和为，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义可得，再根据函数图象过点，可得. 【详解】由函数为幂函数，得，即， 所以， 又函数过点， 则， 故答案为：. 13. 某杀菌剂每喷洒一次就能杀死某物质上的细菌的，要使该物质上的细菌少于原来的，则至少要喷洒______次 【答案】 【解析】 【分析】可设喷洒次，根据题意可得出，代入即可求出，从而得出答案． 【详解】设喷洒次，则：， ， ，且， ， ，即至少喷洒次． 故答案为： 14. 已知定义在R上的函数满足，当时，，若对任意，都有，则实数m的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知利用正弦函数图象与性质、函数的周期性作出函数图象，结合函数图象进行求解即可. 【详解】由得，当时，， 故当时，， 当时，， 当时，，依次类推， 又函数的定义域为R，所以函数的大致图象为 因为，， 所以，， 所以由，可得， 当时，由的， 所以对任意，都有， 得实数的取值范围为，则实数的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了正弦函数的图象与性质及恒成立的应用，解答本题的关键是利用法则画出函数图象，正确理解函数法则是解决本题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知，且，求c的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则和根式运算化简求值即可. （2）由指对互化得，，然后利用对数的换底公式和对数运算法则求解即可. 【详解】（1）原式. （2）由得，由得，，， ，，，，. 16. （1）已知是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】（1）解方程，求出，利用同角三角函数关系式能求出结果． （2）由且，得，从而，再由，能求出结果． 【详解】（1）解方程，得，， 是关于的方程的一个实根，且是第一象限角，则， （2），且， ，则，而， 则，故， 17. 南京马拉松作为江苏省的省会马拉松赛，创办于2015年，六年的时间它已成为中国马拉松金牌赛事世界田联标牌赛事，有穿越中华门、玄武湖、总统府等经典景点的比赛路线，为了迎接2023年11月南京马拉松赛的回归，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为两个全等的直角三角形和一个等腰三角形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度也都是），． （1）当时，求海报纸（矩形）的周长： （2）为了节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 【答案】（1） （2）长，宽 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到宣传栏的面积为，得到海报周长，进而得的海报的周长； （2）由（1）知，结合基本不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设，直角三角形另一个直角边长为， 则有宣传栏的面积为， 且海报周长， 又由，即， 因为，则，所以海报周长， 答：海报纸的周长为． 【小问2详解】 解：由（1）知 ， 当且仅当时取等，此时，解得， 即长和宽时，使用纸量最少． 18. 已知函数为奇函数. （1）求m的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）若对任意的，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）函数在R上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义列式，结合指数函数性质即可得解. （2）结合指数函数的单调性，利用单调性的定义证明即可. （3）根据函数为奇函数且单调递增，分离参数得在区间上恒成立，令，利用对勾函数单调性求解最值即可得解. 【小问1详解】 因为函数为奇函数， 所以，即， 整理得，又，所以，所以. 【小问2详解】 设，且， 则， 因为，单调递增，所以， 所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 【小问3详解】 因为函数为奇函数， 所以， 又因为在上单调递增， 所以，即在区间上恒成立， 令， 因为在上单调递增， 所以，由题意，得， 所以a的取值范围为. 19. 定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质. （1）分别判断以下两个函数是否具有性质：和； （2）函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值. 【答案】（1）函数不具有性质；函数具有性质 （2）存在，， （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数具有“性质”的定义，即可判断； （2）根据函数具有“性质”，可知，可求，再讨论是否为0，即可求； （3）根据（2）可将方程转化为，再换元，结合正弦函数图象的对称性，即可求解. 【小问1详解】 ，， 故， 则函数不具有性质； ，， 故， 则函数具有性质； 【小问2详解】 若具有性质，则， 则，因为，所以， 则， 由得：， 若，则存在，使得， 而，上式不成立， 故，即，因为， 所以，则， 即，则， 验证：当，时，， 则对任意，， ， 等式成立， 故存在，，使函数具有性质； 【小问3详解】 由（2）知，，， 令，由题知，在区间上恰有三个实数根，，， 由函数图象知：，， 则， 故， 化简得， 则. 【点睛】关键点点睛：本题前2问的关键是理解函数具有“性质”的定义，以及应用，第三问的关键是利用换元转化为的图象的应用问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $