精品解析：广东省广州市第二中学2024-2025学年高一上学期期末数学试题

广州市第二中学2024学年第一学期期末考试 高一数学 命题：高一数学备课组 审校：高一数学备课组 2025年01月15日 本试卷共4页，19小题，满分为150分.考试用时150分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上. 2．答选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只需将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由命题的否定的定义即可得解. 【详解】命题“”的否定为. 故选：B. 2. 已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由条件确定结合中的元素，由此可得集合的子集个数. 【详解】因为，， 所以， 所以集合的子集个数为. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切函数的和角公式，由可得答案. 【详解】． 故选：B. 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义以及函数单调性判断可得结论. 【详解】对于A，易知定义域为，不关于原点对称，不是偶函数，即A错误； 对于B，易知为偶函数，但在上为单调递增，即B错误； 对于C，易知为偶函数，且在上为单调递减，即C正确； 对于D，易知为偶函数，但在上不单调，即D错误. 故选：C 5. 已知点是角终边上的一点，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. 或2 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的定义计算可得； 【详解】由三角函数定义可得，解得， 所以的值为或. 故选：D. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用二倍角公式化简求出，再利用二倍角变形即可求得. 【详解】 ， 故选：D 7. 已知函数，则方程的根个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】设，所以，求出的值，得到或， 解方程求解即可. 【详解】令，即根的个数， 设，所以，即或，解得或， 即或，即或，解得； 或或，无符合题意的解. 综上所述：程的根个数为个. 故选：A. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的运算与换底公式比较，利用中间数，分别作差比较，从而得解. 【详解】因为，， 又因为，，所以， 又因为， 因，，故，所以，即， 又，因，，故， 所以，即，所以， 故. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 半径为3，弧长为的扇形的面积为 B. 计算的值为2 C. 函数的零点所在的一个区间是 D. 已知，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】直接利用扇形面积计算判断A；利用对数运算性质计算判断B；根据零点存在定理判断C；结合指数运算利用基本不等式求解最值判断D. 【详解】对于A，扇形的面积为：，错误； 对于B，，正确； 对于C，由于在定义域上为增函数，图象连续不断，且，， 故在区间上无零点，错误； 对于D，由题意得，， 所以， 当且仅当，即时取等号，正确. 故选：BD 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】由图象可看出函数的周期，并由，可将函数方程求出，方程为，再求在闭区间上的值域，以及图形的变换“左加右减”即可知选项C是错误的，最后再求对称点. 【详解】对于A：由图可知：，故A正确， 由，知，因为，所以， 所以，即， 又因为，所以，所以函数为， 对于B：当时，，所以，故B错误， 对于C，将函数图象向右平移个单位长度， 得到的图象，故C错误， 对于D：将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到图象， 因为当时，， 可得到的图象关于点对称，D正确. 故选：AD. 11. 已知函数.则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. C. 函数在定义域上单调递增 D. 若实数a，b满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用对数运算性质得得到，即可判断A、B；利用对数复合函数单调性及对称性判断单调性，即可判断C、D. 【详解】，故， 即的图象关于点对称，故，故A、B对； 由上单调递减，而单调递增， 所以在上递减，又关于点对称，故在定义域R上递减， 由，结合C分析结果知，故， 所以C错，D对. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义在上的奇函数满足：当，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数性质求得，再由奇函数对称性求函数值. 【详解】∵是定义在上的奇函数， ∴，则， ∴． 故答案为： 13. 若，，且，，则______； 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，再根据的范围确定其具体值. 【详解】因，所以. 所以， 因为，，， 所以， 所以 因为，，所以. 在这个区间内，时，. 故答案为：. 14. 若对任意的，恒成立，则实数a=________． 【答案】## 【解析】 【分析】分两种情况分别化简恒成立为等价不等式组计算求参即可. 【详解】对任意的，恒成立， 当时，对任意的或恒成立， 当恒成立， 令，开口向上，对称轴为， 在单调递增，所以恒成立转化为， 所以，得； 当恒成立， ，开口向上，对称轴为， 在单调递增，所以恒成立转化为， 所以，得； 综上； 当时，对任意的，恒成立， ，开口向上，对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以不能恒成立，所以无解； 所以上. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：解题思路是分类讨论，把不等式应用符号法分为两部分，分别恒成立计算求参. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式得到，从而求出的解集； （2）换元后得到对于能成立，利用函数单调性求出，得到答案. 【小问1详解】 ，令， 则原不等式可化为，解得，即 所以，不等式的解集． 【小问2详解】 当时，令，可得， 原不等式可化为对于能成立， 即可得对于能成立， 由对勾函数性质可知在上单调递增，所以， 因此只需即可，得； 即的取值范围是． 16. 已知函数，. （1）求的最小正周期和单调区间； （2）求在闭区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间是，单调递减区间是； （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得，利用正弦函数的性质即得； （2）利用正弦函数的性质即求． 【小问1详解】 由 ， ∴的最小正周期为， 由，得， 由，得 ∴函数单调增区间为，函数单调减区间为； 【小问2详解】 由于， 所以， 所以， 故， 故函数的最小值为，函数的最大值为． 17. 如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形，喷泉观景区的形状为，且C在OB上，D在OA上，P在上，记． （1）试用θ分别表示矩形和的面积； （2）若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元．求当θ为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用． 【答案】（1）矩形的面积为； 的面积为： （2），万元 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，，进而求得矩形和的面积的表达式； （2）根据题意，得到总费用为：，设，结合二次函数与三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，所以，， 所以矩形PCOD的面积为， 的面积为. 【小问2详解】 解：由题意，可得建造观景区所需总费用为：， 设，则， 又由， 所以， 当，即时，有， 所以（万元）， 即当平时，建造该观景区总费用最低，且最低费用为万元． 18. 已知函数的定义域为R，且，． （1）若，求A与； （2）证明：函数既是偶函数又是周期函数； （3）若为的一个周期，且在上单调递减，记的正的零点从小到大依次为，，，…，证明：在区间上有4048个需点，且． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1） 根据函数值计算求出余弦函数的参数值； （2）应用偶函数定义证明，应用周期定义证明； （3）赋值法得出零点结合对称性及周期性即可证明函数的零点个数及恒等式. 【小问1详解】 因为，      ① 令，可得，，     因为，所以， 由，得．         由，得， 解得． 因为，所以，     所以. 小问2详解】 由（1）得，，     ①中，令可得，， 即，所以函数为偶函数； 令得，，     即有， 从而可知，，     故， 即．         所以函数是一个周期为的周期函数． 【小问3详解】 由（1）得，， 在中， 令，可得， 因为，所以， 所以，又因为在上是减函数， 所以在上有且仅有一个零点． 中，令，得． 所以在区间上有且仅有一个零点．     又因为是偶函数，所以在上有且仅有一个零点，即在一个周期内有且仅有2个零点． ， 所以在内的零点为和．         ，，． 因此，对任意，在上有且仅有两个零点： ，．     在上有4048个零点： ，，，，，，， 其中，． 【点睛】方法点睛：赋值法得出零点结合对称性及周期性即可证明函数的零点个数及恒等式. 19. 列奥纳多达芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为． （1）证明：； （2）求不等式：的解集； （3）函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）（ （3） 【解析】 【分析】（1）结合双曲余弦函数和双曲正弦函数代入计算即可； （2）求出的单调性和奇偶性，得到，，求出解集； （3）参变分离得到在有2个实数根，换元得到，由对勾函数单调性得到的值域，与有两个交点，故需满足，即. 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 因为恒成立，故是奇函数． 又因为在上严格递增，在上严格递减， 故是上的严格增函数， 所以，即， 所以，解得， 即所求不等式的解集为； 【小问3详解】 因为的图象在区间上与轴有2个交点， 所以， 即在有2个实数根， 所以在有2个实数根， 令，易知在上单调递增， 所以， 则， 令，， 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与轴有2个交点， 所以，即. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市第二中学2024学年第一学期期末考试 高一数学 命题：高一数学备课组 审校：高一数学备课组 2025年01月15日 本试卷共4页，19小题，满分为150分.考试用时150分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上. 2．答选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只需将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（　　） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ） A. 7 B. 8 C. 16 D. 32 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是角终边上的一点，且，则的值为（ ） A 2 B. C. 或2 D. 或 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则方程的根个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8 设，，，则（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 半径为3，弧长为的扇形的面积为 B. 计算的值为2 C. 函数的零点所在的一个区间是 D. 已知，则的最小值为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 11. 已知函数.则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. C. 函数在定义域上单调递增 D. 若实数a，b满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义在上的奇函数满足：当，，则__________． 13. 若，，且，，则______； 14. 若对任意的，恒成立，则实数a=________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 16. 已知函数，. （1）求的最小正周期和单调区间； （2）求在闭区间上的最大值和最小值． 17. 如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形，喷泉观景区的形状为，且C在OB上，D在OA上，P在上，记． （1）试用θ分别表示矩形和的面积； （2）若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元．求当θ为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用． 18. 已知函数的定义域为R，且，． （1）若，求A与； （2）证明：函数既是偶函数又是周期函数； （3）若为的一个周期，且在上单调递减，记的正的零点从小到大依次为，，，…，证明：在区间上有4048个需点，且． 19. 列奥纳多达芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）是意大利文艺复兴三杰之一．他曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数表达式，其中为悬链线系数，称为双曲余弦函数，其函数表达式为，相反地，双曲正弦函数的函数表达式为． （1）证明：； （2）求不等式：解集； （3）函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $