精品解析：江西省赣州市于都县2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

于都县2024-2025学年第一学期期中质量检测卷 八年级数学 （考试时间为120分钟，满分为120分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 汉字是中华文明的标志，从甲骨文到后来的金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 信息课上，小文同学利用计算机软件绘制了美丽的蝴蝶，如图，在绘图过程中，小文建立平面直角坐标系，先画出一半图形，利用对称性画出另一半．若图中点A的坐标为，则其关于y轴对称的点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 3. 如图是小明奶奶制作的工艺品，其表面是由正五边形组成的，正五边形每个内角的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 明明家有一块三角形菜地，现要在该菜地安装一个灌溉装置，使得该装置到这块三角形菜地三个顶点的距离相等，则灌溉装置应安装在（ ） A. 三角形三条中线的交点处 B. 三角形三条角平分线的交点处 C. 三角形三条高线的交点处 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点处 5. 如图，已知，点，，，在同一直线上，延长交边于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，，点、分别在轴正半轴和轴正半轴上，且，，则等于（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图是照相机的三角支架，它的作用是保持相机的稳定性，其中依据的数学道理是___________． 8. 如图，，，则______cm． 9. 小宇阅读了一篇《东方窗棂之美》的文章，文章中有一张如图所示的图片，图中有许多不规则的多边形组成，代表一种自然和谐美．如图是从图图案中提取的由六条线段组成的图形，若，则的度数是____． 10. 如图，，，要使，则可添加的一个条件是______（写出一个即可）． 11. 如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷路板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，，则上下可转动的最大角度______． 12. 如图，在中，，，平分，点D在射线上，连接．当是等腰三角形时，的度数是__________________． 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分） 13. 已知，，是的三边．且，． （1）求第三边的取值范围； （2）若第三边为奇数，判断的形状． 14. 三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 请完成这个定理的证明． 已知：如图，是的一个外角． 求证：． 15. 如图，在与中，于点E，于点D，，．证明：． 16. 如图，在中，于点，平分分别交，于点，，已知，求的度数． 17. 图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．，，均为格点，按下列要求画图： （1）在图1中，画一条不与线段重合的线段使与关于某条直线对称（，的对应点分别为，），且，均为格点． （2）在图2中，画一个，使与关于直线对称（，，的对应点分别为，，），且，，均为格点． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图所示的象棋盘上，若帅位于点上，相位于点上，则： （1）炮位于点______，马位于点______； （2）马与炮的距离是______，与帅的距离是______； （3）要把炮移动到关于轴对称的位置，则移动后炮的位置是______； （4）若另一炮所在位置的坐标为，此位置到轴的距离与到轴的距离相等，则此炮的位置是______． 19. 已知，如图，，，于． （1）与相等吗？为什么？ （2）试说明是的高． 20. 如图，在四边形中，，平分． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的度数． 五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共计18分） 21. 图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 22. 如图，在中，D为延长线上一点，且交于点F． 　　 （1）求证：是等腰三角形； （2）在（1）的条件下（如图2），F为中点．求证：． 六．解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图①，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（点，，，在同一平面上），过点作于点． （1）【初步探究】如图①，求证：； （2）【变式探究】如图②，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为，，则，，之间的数量关系为______； （3）【类比拓展】如图（3），在中，，直线经过点，，，且，请判断，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 于都县2024-2025学年第一学期期中质量检测卷 八年级数学 （考试时间为120分钟，满分为120分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 汉字是中华文明的标志，从甲骨文到后来的金文、小篆、隶书、楷书、草书、行书等多种字体，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面的小篆是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 信息课上，小文同学利用计算机软件绘制了美丽的蝴蝶，如图，在绘图过程中，小文建立平面直角坐标系，先画出一半图形，利用对称性画出另一半．若图中点A的坐标为，则其关于y轴对称的点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称点的坐标特征，直接利用关于关于y轴对称点的性质（横坐标互为相反数，纵坐标不变）即可得出答案． 【详解】解：∵图中点A的坐标为， ∴其关于y轴对称的点B的坐标为． 故选：A． 3. 如图是小明奶奶制作的工艺品，其表面是由正五边形组成的，正五边形每个内角的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了多边形的内角和定理，正五边形的性质，熟练掌握多边形的内角和定理，理解正五边形的五个内角都相等是解决问题的关键．首先根据多边形的内角和定理求出五边形的内角和的度数，然后再根据正五边形的五个内角都相等即可求出正五边形每个内角的度数． 【详解】解：∵五边形的内角和的度数为：， 正五边形的五个内角都相等， ∴正五边形每个内角的度数为：． 故选：D． 4. 明明家有一块三角形菜地，现要在该菜地安装一个灌溉装置，使得该装置到这块三角形菜地三个顶点的距离相等，则灌溉装置应安装在（ ） A. 三角形三条中线的交点处 B. 三角形三条角平分线的交点处 C. 三角形三条高线的交点处 D. 三角形三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意；因此要使该装置到这块三角形菜地的三个顶点距离相等，则可根据线段垂直平分线的性质进行求解． 【详解】解：由“线段垂直平分线上的点到哦线段两端点的距离相等”可知：要使该装置到这块三角形菜地三个顶点的距离相等，则需安装在三角形三条边的垂直平分线的交点处； 故选D． 5. 如图，已知，点，，，在同一直线上，延长交边于点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，根据全等三角形的性质可得，即可求出，即可解答，熟练利用全等三角形，对应角相等的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，，点、分别在轴正半轴和轴正半轴上，且，，则等于（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，关键是推出和．过C作轴于M，轴于N，推出，证，推出，求出，代入求出即可． 【详解】解：过C作轴于M，轴于N， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图是照相机的三角支架，它的作用是保持相机的稳定性，其中依据的数学道理是___________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，理解题干“照相机的三角支架”以及“保持相机的稳定性”这些文字信息是解题的关键． 【详解】解：依题意，依据的数学道理是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性 8. 如图，，，则______cm． 【答案】3 【解析】 【分析】全等得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键． 9. 小宇阅读了一篇《东方窗棂之美》的文章，文章中有一张如图所示的图片，图中有许多不规则的多边形组成，代表一种自然和谐美．如图是从图图案中提取的由六条线段组成的图形，若，则的度数是____． 【答案】##300度 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角，根据外角和为即可求解． 【详解】多边形的外角和等于 故答案为：． 10. 如图，，，要使，则可添加的一个条件是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有：． 【详解】解：添加条件，理由如下： ∵， ∴，即， 又∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷路板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，，则上下可转动的最大角度______． 【答案】40 【解析】 【分析】根据题意，得，结合，得到，结合平角定义计算即可． 本题考查了等腰三角形三线合一性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40． 12. 如图，在中，，，平分，点D在射线上，连接．当是等腰三角形时，的度数是__________________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线有关计算，三角形内角和定理．能根据等腰三角形两个底角相等，用其中一个角求出另外两个角是解题关键．注意分类讨论． 先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得的度数，再分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论继续运用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ①当，即D点在处时， 此时 ； ②当时，即D点在处时， 此时， ③当时，即D点在处时， 此时， 综上所述的度数是或或． 故答案为：或或． 三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分） 13. 已知，，是的三边．且，． （1）求第三边的取值范围； （2）若第三边为奇数，判断的形状． 【答案】（1） （2）等腰三角形 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系（确定第三边的取值范围），等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （1）由三角形三边之间的关系可得，于是得解； （2）由“第三边为奇数”且可得，进而可得，于是可得答案． 【小问1详解】 解：由三角形三边之间的关系可得：， 即：， ， 第三边的取值范围为； 【小问2详解】 解：第三边为奇数，且， ， ， 是等腰三角形． 14. 三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 请完成这个定理的证明． 已知：如图，是的一个外角． 求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理以及平角的定义可得，即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质的证明，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 15. 如图，在与中，于点E，于点D，，．证明：． 【答案】 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意利用判定即可得到本题答案． 【详解】略 16. 如图，在中，于点，平分分别交，于点，，已知，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂线的定义和三角形内角和定理可得，再利用角平分线的定义求得，最后利用外角的性质即可得到． 【详解】解：， ， ， 平分， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，三角形外角的性质，熟练进行角度的转换计算是解题的关键． 17. 图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．，，均为格点，按下列要求画图： （1）在图1中，画一条不与线段重合的线段使与关于某条直线对称（，的对应点分别为，），且，均为格点． （2）在图2中，画一个，使与关于直线对称（，，的对应点分别为，，），且，，均为格点． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2） 解：如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形； （1）是网格的对角线，在正方形网格中找一个或的长方形网格的对角线，且不与重合，关于某条直线与对称的即可； （2）以直线为对称轴即可画出满足题意的． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图所示的象棋盘上，若帅位于点上，相位于点上，则： （1）炮位于点______，马位于点______； （2）马与炮的距离是______，与帅的距离是______； （3）要把炮移动到关于轴对称的位置，则移动后炮的位置是______； （4）若另一炮所在位置的坐标为，此位置到轴的距离与到轴的距离相等，则此炮的位置是______． 【答案】（1）， （2）3，2 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的应用、坐标与图象变换-轴对称，根据已知两点的坐标建立平面直角坐标系是解题的关键． （1）根据已知得到平面直角坐标系，在坐标系中进行判断即可得； （2）结合坐标系，观察图形即可得； （3）结合图形和轴对称的性质即可得； （4）根据点到x轴的距离与到y轴的距离相等，则可知此时点的横、纵坐标相等或互为相反数，据此列方程求出m的值后即可得． 【小问1详解】 解：由题意，建立平面直角坐标系如图所示， ， 根据坐标系可知，炮位于点，马位于点， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由图可知马与炮的距离是3，与帅的距离是2， 故答案为3，2； 【小问3详解】 解：要把炮移动到关于y轴对称的位置，由图可知移动后炮的位置是，故答案为：； 【小问4详解】 解：由题意得或，解得：或， 则此炮的位置是或， 故答案为：或． 19. 已知，如图，，，于． （1）与相等吗？为什么？ （2）试说明是的高． 【答案】（1） ，理由如下： ， ， ； （2） 证明：，， ， ， ， ，即是的高． 【解析】 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行得到，再根据两直线平行，同位角相等证明结论； （2）根据平行线的性质得到，根据三角形的概念证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质、三角形的高的概念，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 20. 如图，在四边形中，，平分． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的含义，等腰三角形的判定与性质，熟练的证明等腰三角形是解本题的关键． （1）先证明，，可得，从而可得结论； （2）先证明，再利用三角形的内角和定理求解，再结合（1）的结论可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 五．解答题（本大题共2小题，每小题9分，共计18分） 21. 图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 【答案】（1） 是的平分线 理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 22. 如图，在中，D为延长线上一点，且交于点F． 　　 （1）求证：是等腰三角形； （2）在（1）的条件下（如图2），F为中点．求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2） 证明：过A作于G， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， 又∵F为中点, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】(1)根据等边对等角，等角的余角相等，对顶角相等，运用等角对等边证明． (2) 过A作于G，证明，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一性质的应用，熟练掌握等腰三角形判定和性质是解题的关键． 六．解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图①，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（点，，，在同一平面上），过点作于点． （1）【初步探究】如图①，求证：； （2）【变式探究】如图②，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为，，则，，之间的数量关系为______； （3）【类比拓展】如图（3），在中，，直线经过点，，，且，请判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即：； （2） （3） ，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】（1）由可得，由，可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，利用可证得，于是可得，，由线段之间的和差关系可得，于是结论得证； （2）由直线，直线，垂足分别为，可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由可得，进而可得，利用可证得，于是可得，，由线段之间的和差关系可得，然后利用等量代换即可得出结论； （3）由三角形外角的性质可得，结合，，可得，由三角形外角的性质可得，结合，可得，利用可证得，于是可得，，由线段之间的和差关系可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：直线，直线，垂足分别为，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质（和），三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余，线段的和与差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $