精品解析：广东省大湾区2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

大湾区2024—2025学年高一年级第一学期期末统一测试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合交集运算直接求解. 【详解】集合，，则. 故选：C. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为，. 故选：D 3. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将自变量的值代入解析式求函数值即可. 【详解】由题设，则. 故选：B 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由可得或，即可判断. 【详解】由可得或， 又或 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选: 5. 已知偶函数，当时，，则当时，（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，可得出，求出的表达式，利用偶函数的性质可得出函数在时的解析式. 【详解】当，则，， 又为偶函数，所以，当时，． 故选：D. 6. 若多项式有一个因式是，则（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据多项式乘法以及多项式相等的条件，建立方程组，可得答案. 【详解】由题意可得， 则，解得. 故选：A. 7. 若，都是正数，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过条件，将变形成和为定值的形式，利用基本不等式，即可求出最小值. 【详解】因为，又，都是正数，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立． 故选：C． 8. 已知二次函数．甲同学：的解集为；乙同学：的解集为，丙同学：的对称轴在y轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设描述，由一元二次不等式的解集列不等式求参数a，结合假命题个数确定参数范围. 【详解】若的解集为，则； 若的解集为，则； 若对称轴在y轴右侧，则； 又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假， 综上，. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用作差法判断选项A；利用不等式的性质判断选项B；利用不等式的性质判断选项C；利用列举法判断选项D． 【详解】A项，=所以A选项是错误的； B项，若，可得：，故，故B正确； C项，若可得，由可得：，故C正确； D项，举当时，则不成立，故D不正确； 故选：BC． 10. 已知函数的定义域为，在上单调递减，，且是奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由是奇函数，可得，即可判断AB；易得函数在上是减函数，即可判断C；由，可得或，即可判断D. 【详解】因为函数是由函数向左平移个单位得到的， 而是奇函数，所以函数关于对称， 且，故B正确； 所以，故A错误； 又因为函数在上单调递减， 所以函数在上是减函数， 则不等式，即为，所以， 所以不等式的解集是，故C正确； 又，则当时，，当时，， 因为， 所以或，解得或， 所以不等式解集是，故D正确. 故选：BCD. 11. 设，，为实数，，记集合，，若、分别表示集合、的元素的个数，则下列结论能成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】 方程的解的个数取决于，至少有一个；方程的解得个数取决于及，分情况讨论举例可得答案. 【详解】A：当时，方程无实根，所以，或； 当时，，由得，此时； 当，时，，由得，此时；故存在A成立； B：当时，方程有三个根，所以，，，设为的一个根，即，则，且，故为方程的根，故有三个根，即时，必有，故不可能是，；故B错； C：当时，由得或； 由得或；只需，即可满足，；故存在C成立； D：当时，由得，即；由得；即；故存在D成立； 故选：ACD. 【点睛】本题考查了集合中元素的个数及集合元素的特征，同时考查了二次方程的解，属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象经过点，求__________. 【答案】 【解析】 【分析】设幂函数，为常数，根据图象经过点，求出，进而求解. 【详解】设，为常数， 因为，所以，即， 所以. 故答案为：. 13. 已知，则的值是_____ 【答案】32 【解析】 【分析】根据指数幂的运算结合条件即得. 【详解】因为， 所以. 故答案为：32. 14. 已知函数.记，则（1）_______；（2）若函数（t为常数）在上有8个零点，则的取值范围为_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用归纳法，根据函数的周期性思想，可得函数值的求解；根据题意，利用数形结合思想，结合函数的对称性，可得答案. 【详解】当时，；假设当时，； 当时，. 根据数学归纳法，可得，在上恒成立. ， 由题意可得（）， 则可得（）为函数的图象与直线在上交点的横坐标，如下图： 由图可得， 当时，显然当时，可得， ， 结合图象，函数的图象在上关于直线对称， 由题意同理可得，函数的图象在上关于直线对称， 函数的图象在上关于直线对称， 函数的图象在上关于直线对称， 不妨设， 则，，，， 所以. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立. （1）证明函数是上的减函数； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，由条件得，再由条件可得，即可得证； （2）求出，利用单调性脱去函数符号解不等式求解. 小问1详解】 设，则， 当时，恒成立，则， ，即 函数是上的减函数． 【小问2详解】 易知，则． ，所以，解得或 故x的取值范围是. 16. 已知定义在上的奇函数，其中. （1）求函数的值域； （2）解不等式：. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义可得的值，再利用指数函数的性质即可得其值域； （2）原不等式可化为，借助换元法计算可得的取值范围，再利用指数函数的性质计算即可得解. 【小问1详解】 为定义在上的奇函数， ，， 当时，，符合题意， ， ，， ， 的值域为； 【小问2详解】 由（1）有， 原不等式可化为， 令，则， ，即， ，， 不等式的解集为. 17. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵、研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）满足方程，其中表示鲑鱼耗氧量的单位数，表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差. （1）当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为，求此时的值； （2）当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？ 【答案】（1） （2）9倍 【解析】 【分析】（1）根据已知条件直接代入方程，结合对数的运算即可求解； （2）根据已知条件以及对数的运算性质即可求解. 【小问1详解】 由题意可得：，解得，所以. 【小问2详解】 设乙鲑鱼耗氧量偏差为，乙鲑鱼的耗氧量为， 则甲鲑鱼耗氧量偏差为，甲鲑鱼的耗氧量为， 因为甲、乙两条鲑鱼游速相同，则， 化简得， 则，即，可得， 所以甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的9倍. 18. 已知函数，其中. （1）判断的奇偶性（直接写出结论，不必说明理由）； （2）证明：当时，； （3）若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分和，两种情况，结合函数奇偶性的定义，即可求解； （2）根据题意，得到，分，和，三种情况讨论，分别得到，即可得证； （3）设，问题可转化为函数有三个大于0的零点，分，和，三种情况讨论，转化为在有且仅有1个零点，在上有且仅有2个零点，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 当时，，其定义域为，且， 所以函数为偶函数； 当时，函数，可得且， 所以函数既不是奇函数又不是偶函数. 【小问2详解】 由函数， 可得， 当时，因为，，所以； 当时，； 当时，， 综上可得，当时，. 【小问3详解】 设， 因为是关于的单调增函数，问题可转化为函数有三个大于0的零点， 当时，，所以只有一个零点为0，不符合题意； 当时，，所以无零点，不符合题意； 当时，， 因为的图象的对称轴为，所以在上递增， 所以在上至多有1个零点； 又因为的图象对称轴为，所以在上至多有2个零点， 问题等价于在有且仅有1个零点，在上有且仅有2个零点， 则满足，即，解得， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题第3问解决的关键是先分析得，再分类讨论去掉绝对值，结合二次函数的性质与根的分布即可得解. 19. 对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合. （1）分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由， ①；②； （2）若（）是集合中的元素，求的最小值； （3）若，求证：是的充分不必要条件. 【答案】（1）答案见解析 （2）1 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）判断①时，取结合定义进行分析；判断②时，根据的结果进行分析； （2）分别考虑： ，然后根据定义结合对数运算以及对数函数单调性分析出时，时，由此可确定出的最小值； （3）根据定义直接分析充分性，证明必要性成立时取，然后分析在上的单调性，由此推出矛盾完成证明. 【小问1详解】 ①不是. 当时，， ， 所以不是集合中的元素； ②是. ，， 所以是集合中的元素. 【小问2详解】 当时，，， ， 因为，在上单调递减， 故成立，即； 若，令，， ， 因为，在上单调递减， 所以，因此， 综上所述，的最小值为1. 【小问3详解】 充分性：因为，所以，，，进而， 同理，相加得，即，所以充分性满足； 必要性：设，，， 所以，此时，当时，， 所以在上单调递减，因此，所以必要性不满足； 综上所述，是的充分不必要条件. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，涉及参数范围求解、充分不必要条件的证明等问题，对学生的分析与推理能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键：证明充分性时，通过将和加起来，以此证明；证明必要性时，构造并分析的单调性是证明的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大湾区2024—2025学年高一年级第一学期期末统一测试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则为（　　） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5 已知偶函数，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 6. 若多项式有一个因式是，则（ ） A 3 B. C. 5 D. 7. 若，都是正数，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 8. 已知二次函数．甲同学：的解集为；乙同学：的解集为，丙同学：的对称轴在y轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的定义域为，在上单调递减，，且是奇函数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集是 11. 设，，为实数，，记集合，，若、分别表示集合、元素的个数，则下列结论能成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象经过点，求__________. 13. 已知，则值是_____ 14. 已知函数.记，则（1）_______；（2）若函数（t为常数）在上有8个零点，则的取值范围为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立. （1）证明函数是上的减函数； （2）若，求的取值范围. 16. 已知定义在上的奇函数，其中. （1）求函数的值域； （2）解不等式：. 17. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵、研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）满足方程，其中表示鲑鱼耗氧量的单位数，表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差. （1）当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为，求此时的值； （2）当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？ 18. 已知函数，其中. （1）判断的奇偶性（直接写出结论，不必说明理由）； （2）证明：当时，； （3）若函数有三个零点，求的取值范围. 19. 对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合. （1）分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由， ①；②； （2）若（）是集合中的元素，求的最小值； （3）若，求证：是的充分不必要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$