浙江省名校协作体2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

2024学年第二学期浙江省名校协作体试题 高三年级数学学科 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷． 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（ ▲ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则 A． B． C． D． 3．已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ▲ ） A． B． C． D． 4．一个底面边长为的正四棱柱形状的容器内装有一些水（底面放置于桌面上），现将一个底面半径为的铁制实心圆锥放入该容器内，圆锥完全沉入水中且水未溢出，并使得水面上升了．若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ▲ ） A． B． C． D． 5．已知数列的前项和为，且为等差数列，若，则（ ▲ ） A．13 B．26 C．30 D．33 6．已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为（ ▲ ） A． B． C． D．2 7．已知函数，若在区间内恰好存在两个不同的，使得，则的最小正周期不可能为（ ▲ ） A． B． C． D． 8．设函数，若，则的最小值为（ ▲ ） A． B． C． D．0 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ▲ ） A．有一组数1，2，3，5，这组数的第75百分位数是3 B．在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05 C．随机变量，若，则 D．用拟合一组数据时，经代换后得到的回归直线方程为，则， 10．若正实数满足，则下列不等式正确的是（ ▲ ） A． B． C． D． 11．已知直棱柱的所有棱长均为，动点满足，则下列说法正确的是（ ▲ ） A．当时， B．当时，三棱锥的体积为 C．当时，三棱锥的外接球的表面积为 D．记点到直线的距离为，当时，则的最小值为 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，常数项是 ▲ ． 13．已知定义在上的函数，满足是偶函数， 是奇函数，则 ▲ ． 14．如图所示网格中，要从点出发沿实线走到点，距离最短的走法中，经过点的概率为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知的内角的对边分别是，已知． （I）求角的大小； （II）若为上一点，且为的角平分线，求线段的长． 16．（本小题满分15分） 如图，在四棱锥中，是棱的中点，． （I）求证：平面； （II）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（本小题满分15分） 已知函数． （I）求函数的单调区间； （II）若对于任意恒成立，求整数的最大值． 18．（本小题满分17分） 已知离心率为的椭圆与轴正半轴、轴正半轴分别交于、两点且． （I）求椭圆的标准方程； （II）设经过椭圆左焦点的直线与椭圆交于两点，点为坐标原点．若面积为，求直线的方程； （III）点，点在椭圆上，且满足（记直线的斜率为，直线斜率为），过点作的垂线，垂足为，问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求出此定值，若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分17分） 定义：为在集合中去掉一个元素后得到的集合；为集合中的所有元素之和．已知由个正整数组成的集合，若对于，都存在两个集合，使得，且，就称集合为“完美集”． （I）若，判断是否为“完美集”，并说明理由； （II）若集合是“完美集”，证明：是奇数； （III）若集合是“完美集”，且中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数列，则称为“等差完美集”．已知集合是“等差完美集”，求的最小值． 命题：桐乡高级中学 缙云中学 审校：玉环中学 温州中学 学科网（北京）股份有限公司 $$2024学年第二学期浙江省名校协作体试题 高三年级数学学科参考答案 命题：桐乡高级中学缙云中学审校：玉环中学温州中学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 题号 2 3 4 5 6 8 答案 C C D A D B 0 A 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BD BCD ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.把答案填在答题卡中的横线上 12.-6 13.1 14。 5 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.【解析】(I)2cos(A-C)+2=4 sin AsinC+3, ……2分 2cos(A+C)=1,cosB=- 2 ………4分 B= 3 ….6分 。0=2,则c=2a, (Ⅲ)油角平分线定理得：二=4D ….7分 余弦定理得：g2+402-2a20(=9,0=35 ….9分 再由面积相等，得：)aBD.sin号+2a-BD.sin号=-2a2sim2 ……11分 3 09 7 ….13分 I6.【解析】(I)取F为PA中点，连接EF,BF, :EF∥AD∥BC且EF=AD=BC, 2分 2 所以EFBC为平行四边形，故CE∥FB, …4分 且CE:平面PAB,FBC平面PAB,所以CE∥平面PAB …6分 (I)取AD的中点为O,连接OP,OC,以O为原点，OB、OA为x轴、y轴正向，垂直面ABO向 上为：轴，建立空间直角坐标系O-y, ….7分 由PB=√7，BC⊥面POC,得：在R△PCB中，PC=√6，PO=V3,CO=1, cos∠P0C=3tl-6.-5 2×V3x13 ….9分 则P(-l,0,V2),A01,0),B11,0),C,00), pA=(1,1-2),AB=(1,0,0),P元=(2,0，-2) …10分 则平面PAB的法向量为n=(0,√2，)， .12分 PC.n2 1 ∴.sin0= Pc川m563 ….15分 (如有其它解法，酌情给分) 17.【解析】(1)fx)=x2+6x-8-8nx定义域为(0，+o). f0=2x+6-8.2+6r-8_2x+4Xx- 2分 令(x)<0,得0<x<1:令(x)>0,得x>1 4分 所以，函数(x)的单调递减区间为(0，】，递增区间为[山，+∞). 6分 (l)/2am,即as@=x+6-80+ln成立： …4………8分 记g(=x+6-80+h边，则g'=1-1-0+n.+8nx x2 x2 记x)=x2+81nx,显然x)为增函数，且h1)=1>0: 又由nx≤x-1得h得=停+8ns停+8g-小=(-骨<0 所以存在6e(得)，使得0)=0，即8n=-62:… 10分 且x∈(0，)时，hx)<0,g'(x)<0,g(x)递减： x∈(xo+o)时，hx)>0,g(x)>0,g(x)递增： 所以g(x)mn=g(x0）<g0)=-l…… 11分 且8m=8(6o)=6+6-81+n =5+6-8=近=2x-8+6>2x8-8+6=->-2 8 0 98 9 9 即-2<g(x)mn<-l,…… 13分 注：七范围中的左端点。可以改为{、、。同理都可得该结果) 8、7、 6 所以由整数a≤g(x)恒成立，即整数a≤g(x)mn 得a≤-2，即整数Q的最大值为-2.………………………………… 15分 法二：记g(x)=f(x)-ax=x2+(6-a)x-8-8Inx 由g(0)=-1-a20得a≤-1…8分 当a=-1时，8)=2+7x-8-8nx,g)=2x+8-8.2+8x-8 g0)=1>0,gx)在x=1附近递增，则x<1且x→1时，g(x)<g()=0 a=-1不符合条件… 10分 当a=-2时，8)=2+8x-8-8nx,g=2x+7-8-2x2+7x-8 令g(x)>0,得x>25-2:令g()<0,得0<x<25-2 ∴g(x)在(0,2√2-2)内单调递减，在(2√2-2，+∞)内单调递增， ……12分 则g(x)mn=g(25-2)=8v2-4-81n(22-2)>0 六.a=-2时，g(x)≥0恒成立，符合条件.………………… 14分 综上所述，整数a的最大值为-2……………………………………… 15分 18.【解折】（1)油题意可得e=9=5三=5，又+6-万， 2分 a 2 a 2 六a=26=5,故椭圆E的标准方程为兰+ -=1 4分 43 (Ⅱ)显然直线I的斜率不会为0，设直线CD:x=少-1，设C(x,),D(x,2),则 任+号-126r4少.a-90 x=y-1 61 9 为+为+4%= 32+4 6分 sow=r-为小2 +,36-6+.62 8分 32+432+47 解得1=】 所以，直线1的方程为x+y+1=0或x-y+1=0.…… 10分 (Ⅲ)若直线MN的斜率存在，设直线MN:y=:+m,M(x,y,N(x,y), 后+号-l26e+3水+w4n2-ln0 y=kx+m -8km 4m2-12 .x3+X4 4k2+3= 4k2+3 由 、3 k1+k2= -1x2-1 (x1-1)x2-1) 4 即4+m-2Xx-)+,+m-2X名-刃+3(-X-)=0 整理得(3+8k)x3x+(4m-4k-9)x3+x4)+15-8m=0 ∴.(3+8k)(4m2-12)+(4m-4k-9)(-8km)+(15-8m)(4k2+3)=0 整理得(2k+2m-3)10k+2m-1)=0 2k+2m-3=0或10k+2m-1=0 14分 当2+2-3=0即m-+号时，直线w:=-0+号过点Q,不行合： 3 2 当10k+2m-1=0即m=-5k+时，直线AN:y=kx-列+分过点5，符合： 15分 而QH⊥MN,故QH⊥RH,即点H在QR为直径的圆上， 所以只需取QR的中点CB),则IGH作1O 故存在G3,,使得1GH1为定值厅 17分 19.【解析】(1){1,2,3,5,6}不是“完美集”， …1分 因为去掉2时，{1,3,5,6}所有元素和为15，无法拆分为两个和相等的集合： .3 分 (Ⅱ)记S(A)为集合A中的所有元素之和，S(4)-a,=S(B)+S(C)=2S(B)是偶数， 所以S()与a,必定同奇同偶 5分 当S(A)为奇数时，a,也是奇数，S(4A)是奇数个奇数相加，故n是奇数： 7分 当S(4)为偶数时，a,也是偶数，设a=2b,则{，b2,…,bn}也是“完美集”，重复上述操作有限次， 便可得各项均为奇数的“完美集”，此时集合元素个数是奇数： 所以得证： .9分 ()n最小值是7. …….11分 设{an}是等差数列，A={a1,a2,…,an}. 当n=3时，去掉a,时，2≠a,不成立： ……12分 当n=5时，（解法一）：A={a,a2,43,a4,a5}，不妨设a1<a2<a3<a4<a5, 去掉a2,假设{a,a4,a4,a5}可以拆分成两个交为空且和相等的集合， 则有两种情况：①a+a5=a3+a4,因为a+a5=a2+a4=2a3,∴.a2=a3,这与a2<a3矛盾： ②a,+a+a4=45,因为42+45=4+a4,∴a2=-a1,这与an均为正整数矛盾，故假设不成立： (解法二)：A={a,a+d,a+2d,a1+3d,a+4d(d>0), 去掉a,+d,则a+a+2d+a+3d+a+4d=4a+9d,需要拆分成两个和为2a+号d的 9,4+2d,4+3d,4+4d小中任意两个数或三个数之和均不等于 且24+号d>+4d,故n=5时不成立 …….14分 故n≥7，下证n的最小值为7. 当n=7时，构造A={1,3,5,7,9,11,13(写出一个即可)，S(A)=49 去掉1，(B)=(49-1)+2=24,B=3,5,7,9},C={11,13}: 去掉3，S(B)=(49-3)÷2=23,B=1,9,13},C={5,7,11: 去掉5，S(B)=(49-5)+2=22,B={1,3,7,11),C=9,133: 去掉7，S(B)=(49-7)÷2=21,B={1,9,11},C={3,5,13}: 同理去掉9，S(B)=20,B={1,3,5,11}，C={7,13}: 去掉11，S(B)=19,B=1,5,13},C=3,7,9: 去掉13，S(B)=18,B=1,3,5,9),C={7,11}: 所以，=1,3,5,7,9,11,13}是“等差完美集”.（只写出这个集合没有证明给1分） 17分 综上所述，n的最小值为7.