精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2024-2025学年高一上学期期末数学试题

哈三中2024—2025学年度上学期 高一学年期末数学试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值求得答案. 【详解】. 故选：A 2. 已知扇形的圆心角为，面积为25，则该扇形的弧长为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据扇形面积公式求出半径，再根据弧长公式求出弧长. 【详解】已知扇形圆心角，面积. 由扇形面积公式，可得，即，解得或（半径不能为负舍去），所以. 由弧长公式，已知，，可得弧长. 故选：C. 3. 方程的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】令，因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，，，则， 所以，方程的零点所在的区间为. 故选：B. 4. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得，根据即可求得结果. 【详解】将两边同时平方可得，， 可得， 又，所以； 易知， 可得； 又，所以. 故选：B 5. 函数（其中，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象的对称轴为直线 D. 函数的单调递增区间为 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的图象，求出函数的解析式，再逐项分析求解即可. 【详解】观察函数图象，，函数的最小正周期,解得， ，由，得， ，则， 对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，由，得， 函数的图象的对称轴为直线，C错误； 对于D，由，得， 因此函数的单调递增区间为，D正确. 故选：D 6. 在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数单调性，结合对数函数、二次函数单调性列式求解. 【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递增， 则函数在上单调递减，因此，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 7. 已知角的终边经过点，则角的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数符号确定点角的终边所在象限，再利用三角函数定义，结合诱导公式求出角的值可能. 【详解】由，则，点在第三象限， ，，可以是，A是； 对于B，，B不是； 对于C，，C不是； 对于D，，D不是. 故选：A 8. 已知函数，若关于的方程只有个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，可得出，令，设函数的两个零点分别为、，分三种情况讨论：（i），；（ii），；（iii），.前两种情况直接求出的值，检验即可，在第三种情况中，根据二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】当时，， 设，则，令， 设函数的两个零点分别为、， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，直线与函数的图象交点个数为、、、， 因为关于的方程只有个不相等的实数根，分以下几种情况讨论： （i），，则，可得， 则关于的方程为，解得，，不合乎题意； （ii），，则，解得， 由韦达定理可得，解得，不合乎题意； （iii），，由二次函数的零点分布可得， 解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：C. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 的图象关于点对称 D. 将的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正切函数的周期公式求出周期判断A；求出定义域判断B；验证判断对称性判断C；利用平移变换求出解析式判断D. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A错误； 对于B，由，得，的定义域为，B正确； 对于C，当时，函数无意义，则的图象关于点对称，C正确； 对于D，将的图象向左平移个单位，得，D正确. 故选：BCD 10. 设正实数m，n，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用逐项分析计算即可. 【详解】对于A，， 当且仅当，即时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 11. 已知在上是单调函数，对任意满足，且．则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 若函数在上有最小值无最大值，则实数a的取值范围为 C. 若时函数不单调，且至多有2个零点，则实数的取值范围为 D. 方程在上恰有3个不同的实根，则实数的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用条件得到对称轴和对称中心，结合余弦函数性质得到解析式，再利用正弦函数的性质判断A选项，结合余弦函数的图象判断BC选项，方程的根，判断D选项. 【详解】因为，所以是一个对称中心，因为，所以是一条对称轴， 又因为在上是单调函数，和一定相邻，所以，所以，即，所以， 又因为在时取得最大值，所以，所以，因为，所以， 从而， A选项，， ，所以是奇函数，故A正确； B选项，，，结合余弦函数图象，得，故B错误； C选项，，，结合余弦函数图象得，解得，故C正确； D选项，时，此时区间为，， 令得，得或， 由可得所以，故D错误； 故选：AC. 【点睛】思路点睛：三角函数中的整体代换思想，在余弦型函数中，将看成一个整体，利用余弦函数的性质研究余弦型函数的性质. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 若，则的值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 13. 幂函数在上单调递增，则实数________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及单调性，列式求出. 【详解】由幂函数在上单调递增， 得，解得， 所以实数. 故答案为：2 14. 若，，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式化简可得，再利用平方关系及基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，由，得，， 由，得， 则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用二倍角的正余弦公式变形，把用的正余弦表示是求解问题的关键. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； （2）若，且，求的值. 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“列表描点连线”可作出函数在一个周期上的图象； （2）由已知条件可得出的值，利用同角三角函数的基本关系可得出，再利用两角和的正弦公式可求得的值. 【小问1详解】 列表如下： 作出函数在一个周期内的图象如下图所示： 【小问2详解】 因为，且，所以，， 所以，， 因此， . 16. 哈尔滨冰雪大世界的雪花摩天轮总高120米，转轮直径约为106米，共有48个月冕型轿厢，每个轿厢可容纳10人.雪花摩天轮旋转一圈时间约是24分钟，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设开始转动t（单位；min）后距离地面的高度为H（单位：m） （1）求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； （2）若甲、乙两人进舱时间相差4分钟，从第一个人进仓开始记时，则在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）第一次达到最大时所需要的时间t，并求该最大值. 【答案】（1），. （2）分钟时，第一次达到最大值53米. 【解析】 【分析】（1）摩天轮的运动可以看作是一个圆周运动，其高度随时间的变化可以用正弦函数或余弦函数来表示.我们需要根据摩天轮的相关参数确定函数的各项参数. （2）在求出（1）中函数解析式的基础上，根据甲、乙进舱时间差，分别写出两人距离地面高度的表达式，然后求高度差的表达式，再通过分析这个表达式来找出高度差第一次达到最大时的时间和最大值. 【小问1详解】 摩天轮转轮直径约为米，那么半径米，摩天轮总高米. 摩天轮旋转一圈时间约是分钟，根据三角函数的周期公式（这里），可得. 游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设. 因为，，. 所以，. 【小问2详解】 设甲进舱时间为，则乙进舱时间为. 甲距离地面高度.乙距离地面高度. 高度差. 根据两角和的余弦公式，. 则进一步化简. 根据两角差的余弦公式，. 当，即分钟时，第一次达到最大值53米. 17. 已知函数，（）的周期是. （1）求函数的解析式并求函数在上的单调增区间； （2）解不等式； （3）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式、辅助角公式化简，结合周期求出确定，根据的范围确定的范围，即可确定函数的单调递增区间. （2）将看成整体，解不等式，即可求解. （3）根据的范围确定的范围，由此确定的范围，得到不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 因为 ， 因为，所以，所以， 因为，所以， 当时，即时函数单调递增， 所以函数的单调递增区间为：. 【小问2详解】 因为，即， 所以，， 解得：，， 所以不等式的解集为：. 【小问3详解】 当时，，此时， 因为不等式恒成立， 所以，解得：. 18. 已知函数为定义在上的偶函数. （1）求实数p的值； （2）解关于m的不等式； （3）设，若函数恰有三个零点，求k的值及该函数的三个零点. 【答案】（1）； （2）； （3），3个零点为 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用偶函数的定义列式求出值. （2）探讨函数的单调性，再结合偶函数性质求解不等式. （3）由（2）求出的值域，令并确定其根的情况，再将函数恰有3个零点转化为方程有1和大于1的两个根，进而求出及3个零点. 【小问1详解】 函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，则， 而不恒为0，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，，函数在上单调递增，而在上单调递增， 于是函数在上单调递增，又在上单调递增， 因此在上单调递增，又函数为偶函数， 不等式， 则，整理得，解得或， 所以原不等式的解集为. 【小问3详解】 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，， 函数的值域为，令，当且仅当时，；当时，有2个不等根， 函数，则， 由函数恰有三个零点，得关于的方程有1和大于1的两个根， 于是，解得，此时的两根为， 显然0是函数的一个零点，由，即， 解得，， 所以，该函数的3个零点为. 19. 定义在上的函数满足：①；②，. （1）求的值； （2）若（，），试求的最大值； （3）在（2）的条件下，已知函数，，其中，实数m，n为与x无关的常数，记函数的最大值为M，试求M的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，进行计算即可求出； （2）由函数的定义可以求得的周期为3，从而求得的值，根据的值建立方程，可以求得的解析式. （3）由函数的图象与性质，将三角函数与二次函数分开研究即可求解. 【小问1详解】 由，，得， 所以，，. 【小问2详解】 由（1）得，， 所以的周期为3，即，所以. 所以. 又， 解得， 所以，. 【小问3详解】 由（2）知 因为 ，且满足 的最小正数为 ，所以 令则 当时，． 相邻两个这样的 相差 ，对应的函数值在与之间交替出现． 取满足上述等式且不小于 的最小一个数为 ，则 因此 所以 都在区间 内，并且相邻两点的函数值一高一低． 在这三个点中，既有一对“先低后高”的相邻点，也有一对“先高后低”的相邻点． 下面证明 ． 设则 当 时，因为 ，所以 在 上单调不减． 从上面的三个点中取一对“先低后高”的相邻点 ，则 且 因此 所以 又因为 ，，所以 故 当 时，因为 ，所以 在 上单调递减． 从上面的三个点中取一对“先高后低”的相邻点 ，则且 因此 所以 同理，所以仍有 综上，对于任意实数 ，均有 当时，所以 而前面已经说明区间 内存在使 或 的点，因此此时 故 的最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2024—2025学年度上学期 高一学年期末数学试卷 考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟； 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知扇形的圆心角为，面积为25，则该扇形的弧长为（ ） A. 5 B. C. 10 D. 3. 方程的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 不确定 5. 函数（其中，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数的图象的对称轴为直线 D. 函数的单调递增区间为 6. 在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知角的终边经过点，则角的值可能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于的方程只有个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的定义域为 C. 的图象关于点对称 D. 将的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为 10. 设正实数m，n，满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知在上是单调函数，对任意满足，且．则下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 若函数在上有最小值无最大值，则实数a的取值范围为 C. 若时函数不单调，且至多有2个零点，则实数的取值范围为 D. 方程在上恰有3个不同的实根，则实数的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上． 12. 若，则的值为________. 13. 幂函数在上单调递增，则实数________. 14. 若，，且，则的最小值为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； （2）若，且，求的值. 16. 哈尔滨冰雪大世界的雪花摩天轮总高120米，转轮直径约为106米，共有48个月冕型轿厢，每个轿厢可容纳10人.雪花摩天轮旋转一圈时间约是24分钟，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设开始转动t（单位；min）后距离地面的高度为H（单位：m） （1）求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式； （2）若甲、乙两人进舱时间相差4分钟，从第一个人进仓开始记时，则在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）第一次达到最大时所需要的时间t，并求该最大值. 17. 已知函数，（）的周期是. （1）求函数的解析式并求函数在上的单调增区间； （2）解不等式； （3）若时，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 18. 已知函数为定义在上的偶函数. （1）求实数p的值； （2）解关于m的不等式； （3）设，若函数恰有三个零点，求k的值及该函数的三个零点. 19. 定义在上的函数满足：①；②，. （1）求的值； （2）若（，），试求的最大值； （3）在（2）的条件下，已知函数，，其中，实数m，n为与x无关的常数，记函数的最大值为M，试求M的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $