精品解析：河北省2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

高一数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“是幂函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕（图1）产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状（图2），在扇形AOB中，，则扇形AOB的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（，且）的图象过定点，且角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 8. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度是摩尔/升，则该溶液的约为（ ）（参考数据：） A. 1.921 B. 1.301 C. 1.875 D. 1.079 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，存在，使得，我们称为“不动点”函数.下列函数中，是“不动点”函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 若函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 若方程在上有2个不同的实数解，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 与角终边相同的最小正角是________．（用弧度表示） 13. 函数的最小值为________． 14. 如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为__________时，总运费最低． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求的值； （2）若，求的值． 16. 已知函数（，且）的图象过点，． （1）求，的值； （2）求不等式的解集． 17. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 18. 已知是定义在上的偶函数，在上单调递增． （1）求． （2）若，，证明：． （3）求不等式的解集． 19. 将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围； （3）若函数在上有3个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再根据集合交集的概念求解即可. 【详解】由解得，由解得， 所以，， 所以, 故选：B 2. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为均在上单调递增，则在上单调递增， 由已知，，， ，， ， 由零点存在性定理可得函数的零点所在区间是. 故选：C. 3. “”是“是幂函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据是幂函数求出的值，再根据充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】若是幂函数，则，得， 所以“”是“是幂函数”的充要条件， 故选：B 4. 小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕（图1）产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状（图2），在扇形AOB中，，则扇形AOB的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形面积公式即可求解． 【详解】由已知可得扇形的圆心角，扇形半径， 则扇形面积为 故选：A. 5. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】，， 所以，，的大小关系是. 故选：A 6. 已知函数（，且）的图象过定点，且角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的性质先求出定点，然后根据任意角的三角函数的定义求解. 【详解】令，得，，则点的坐标为， 根据三角函数的定义，所以． 故选：B 7. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的单调递增区间. 【详解】由，得，即，解得. 所以函数的定义域为， 又的对称轴为，开口向下， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 故由复合函数的单调性可得的单调递增区间是. 故选：B. 8. 溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标，在化学中，常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某溶液中氢离子的浓度是摩尔/升，则该溶液的约为（ ）（参考数据：） A. 1.921 B. 1.301 C. 1.875 D. 1.079 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义及对数运算法则直接计算即可. 【详解】由题意可得 . 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质和函数单调性逐项判断即可. 【详解】由，，得，A正确； 当时，，B错误． 因为是增函数，，所以，C正确； 因为是减函数，，所以，D错误； 故选：AC 10. 对于函数，存在，使得，我们称为“不动点”函数.下列函数中，是“不动点”函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】将函数是否为“不动点”函数，转化为方程是否有解，根据方程判别式的符号判断AB；根据是方程的一个解判断C；分两种情况讨论分别判断方程是否有解即可判断D. 【详解】令，即. 因为，所以无解， 则不是“不动点”函数，A不正确； 令，即，即. 因为，所以有两个不同的非零实根， 则是“不动点”函数，B正确； 令，即， 易知是方程的一个解， 则是“不动点”函数，C正确； 当时，令，即，解得或， 则方程在上无解；当时，， 则方程在上无解.故不是“不动点”函数，D 不正确； 故选：BC. 11. 若函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 若方程在上有2个不同的实数解，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知函数化简得，根据正弦函数的图象和性质逐项判断即可. 【详解】因为， 的值域为，故A正确． 由，得，所以在上先增后减，故B错误． 因为，所以的图象关于点对称，故C正确． 由，得， 由，得， 由正弦函数的图象可得，解得，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 与角终边相同的最小正角是________．（用弧度表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据终边相同的角的概念计算即可. 【详解】与角终边相同的最小正角是，即， 故答案为： 13. 函数的最小值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再判断出函数的单调性，根据单调性可得函数的最小值. 【详解】由得，则的定义域为． 因为在上都是增函数， 所以在上是增函数， 所以的最小值为． 故答案为：1. 14. 如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为__________时，总运费最低． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知列出总运费，再应用判别式法计算求解即可. 【详解】设当地到地的距离为时，铁路每公里运费为，公路每公里运费为． 由题意得，则总运费， 要使总费用最低，只需最小即可． 设，则， 得，则，得． 当时，总费用最低，则，得， 所以当地到地的距离为时，总运费最低． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数和对数的运算法则可得； （2）根据诱导公式和同角三角函数的关系可得. 【详解】（1）． （2）． 16. 已知函数（，且）的图象过点，． （1）求，的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点，代入函数解析式，解方程组即可求解； （2）根据指数函数的单调性列不等式组求解即可. 【小问1详解】 因为函数的图象过点，， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）得， 由，得，所以， 所以或， 解得或， 即不等式的解集为． 17. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数关系和余弦的二倍角公式求解即可； （2）利用结合正弦的两角和公式求解即可. 【小问1详解】 由解得， 所以． 【小问2详解】 由，得， 则， 所以． 18. 已知是定义在上的偶函数，在上单调递增． （1）求． （2）若，，证明：． （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 由（1）得，由，得，， 因为在上单调递增，所以， 所以， 又是定义在上的偶函数， 所以． （3） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数的性质求解即可； （2）利用函数的单调性和偶函数的性质求解即可； （3）利用函数的单调性和对称性列不等式组求解即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的偶函数， 所以，解得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由且是定义在上的偶函数，在上单调递增得， 解得，即不等式的解集为． 19. 将曲线上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得曲线上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求的解析式； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围； （3）若函数在上有3个零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦函数的图象变换直接求解即可； （2）利用指数函数和正弦函数的性质可得，的值域，再根据值域的包含关系列不等式组求解即可； （3）令，则函数有两个零点，且的图象与直线，共有3个公共点，根据的图象求的取值范围即可. 【小问1详解】 由题意得. 【小问2详解】 因为是增函数，当时， 由得， 由正弦函数的图象可知， 所以， 由题意可知， 则解得，即的取值范围为． 【小问3详解】 令，则函数有两个零点， 且的图象与直线，共有3个公共点， 由的图象可知，当，时，，得， 由，得，，符合题意． 当，时，解得， 综上的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $